第21章代數方程（基礎、典型、易錯）分類專項訓練【基礎】一、單選題1．（2022春·上海·八年級校考期中）下列說法正確的是（

）A．是二項方程 B．是無理方程C．是二元二次方程 D．是分式方程【答案】C【分析】根據方程的定義，無理方程的定義，二元二次方程的定義，分式方程的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A、方程含有兩個未知數項，沒有非零常數項，不是二項方程，故本選項不符合題意；B、根號內沒有未知數，不是無理方程，故本選項不符合題意；C、方程是二元二次方程，故本選項符合題意；D、分母中沒有未知數，不是分式方程，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了方程、無理方程、二元二次方程、分式方程的定義等知識點，注意：根號內含有未知數的方程，叫無理方程，分母中含有未知數的方程，叫分式方程．2．（2022春·上海奉賢·八年級校考期中）用換元法解分式方程時，如果設，那么原方程可化為（

）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】把代入原方程，得出，再進行整理即可．【詳解】解：整理，得，把代入方程得：，整理得：，故選A．【點睛】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握利用換元法，把一個式子做為整體進行替換，將分式方程化簡為一元二次方程．3．（2022春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學校考期中）下列方程中，有實數根的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】A利用二次根式的性質解題；B利用立方根的性質解題；C利用去分母的方法解決問題；D利用二次根式的性質解決問題．【詳解】解：A中根據題目條件得，∴x=1，此時方程沒有實數根；B中是三次方程，∴x的取值范圍是全體實數，∴此方程有解；C中去分母得1=0，∴此方程無解；D∵≥0，∴+3＞0，∴此方程沒有實數根．故選：B．【點睛】本題主要考查解無理方程的知識點，去掉根號把無理式化成有理方程是解題的關鍵，注意觀察方程的結構特點，需要同學們仔細掌握．4．（2023春·八年級單元測試）下列方程組中，為二元二次方程組的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二元二次方程組的定義進行判斷即可．【詳解】解：A、兩個方程都是二元一次方程，所組成的方程組為二元一次方程組，所以A選項不正確；B、兩個方程都是分式方程，所組成的方程組為分式方程組，所以B選項不正確；C、有一個方程是無理方程，所組成的方程組不是二元二次方程組，所以C選項不正確；D、兩個方程都是二元二次方程，所組成的方程組為二元二次方程組，所以D選項正確．故選：D．【點睛】本題考查了二元二次方程組：有兩個二元二次方程或一個二元二次方程，一個一元一次方程所組成的方程組稱為二元二次方程組．二、填空題5．（2022春·上海奉賢·八年級校聯考期中）用換元法解分式方程時，如果設，將原方程化為關于y的整式方程，那么這個整式方程是___________．【答案】y2﹣y﹣2＝0【分析】設，則原方程化為y﹣＝1，再方程兩邊都乘y即可．【詳解】解：，設，則原方程化為：y﹣＝1，方程兩邊都乘y，得y2﹣2＝y，即y2﹣y﹣2＝0，故答案為：y2﹣y﹣2＝0．【點睛】本題考查了用換元法解分式方程，能正確換元是解此題的關鍵．6．（2022春·上海·八年級階段練習）在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b和y＝mx+n相交于點（2，﹣1），則關于x，y的方程組的解是______．【答案】【分析】利用方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標解決問題．【詳解】解：∵一次函數y＝kx+b和y＝mx+n相交于點（2，﹣1），∴關于x，y的方程組的解是．故答案為．【點睛】本題考查了一次函數與二元一次方程（組）：方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數的值，而這一對未知數的值也同時滿足兩個相應的一次函數式，因此方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標．7．（2022春·上海·八年級期中）當k＝_____時，方程會產生增根．【答案】6或﹣4．【分析】由題意根據增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根，進而把增根代入化為整式方程的方程即可求出k的值．【詳解】解：分式方程去分母得：2（x﹣1）+3（x+1）＝k，由分式方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，把x＝1代入整式方程得：k＝6；把x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣4，綜上，k的值為6或﹣4時，方程會產生增根，故答案為：6或﹣4．【點睛】本題考查分式方程的增根，注意掌握增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．8．（2022春·上海·八年級專題練習）方程的根是____．【答案】．【分析】首先把方程兩邊同時平方，然后解一元二次方程，最后要驗根．【詳解】解：，，，，經檢驗是原方程的根，．故答案為：．【點睛】本題考查了無理方程的解法，把方程兩邊同時平方是解題的關鍵，要注意解答后一定要檢驗．9．（2022春·上海·八年級專題練習）方程的解是____________【答案】．【分析】首先把方程兩邊同時平方，然后解一元二次方程，最后要驗根．【詳解】解：，則有且，即：,，，，(舍)，是原方程的根，．故答案為：．【點睛】本題考查了無理方程的解法，把方程兩邊同時平方是解題的關鍵，要注意解答后一定要檢驗．三、解答題10．（2022春·上海·八年級開學考試）解方程：．【答案】x＝﹣4【分析】先去分母，然后解整式方程，最后檢驗，進而得到正確答案．【詳解】解：去分母，得（x+2）2+x2﹣4＝16，整理，得x2+2x﹣8＝0，解得x1＝2，x2＝﹣4，經檢驗x1＝2是增根，舍去；x2＝﹣4是原方程的根，所以原方程的根是x＝﹣4．【點睛】本題主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解題的關鍵．11．（2022春·上海奉賢·八年級校考階段練習）解方程：【答案】，【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：，經檢驗：，是原方程的根所以，原方程的根是，．【點睛】本題考查解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．12．（2022春·上海·八年級上海市泗塘中學校考階段練習）解方程：【答案】【分析】移項后兩邊平方，即可得出一個一元二次方程，求出方程的解，再把所得的結果進行檢驗即可．【詳解】解：（x-3）（4x-13）=0，解得：，經檢驗：是原方程的增根，舍去所以，原方程的根是．【點睛】本題考查解無理方程，能把無理方程轉化成有理方程是解題的關鍵，在計算時要注意檢驗．13．（2022秋·上海奉賢·八年級校考期中）解方程：【答案】【分析】把一元二次方程化為方程的一般形式，再按因式分解的方法解方程即可．【詳解】解：，【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用十字乘法分解因式是解題的關鍵．14．（2022春·上海·八年級期中）解方程組：【答案】，【分析】先把方程組中的第一個方程轉化為兩個二元一次方程，再和方程組中的第二個方程組成二元一次方程組，求解即可．【詳解】解：，由①得：（x＋2y）（x＋3y）＝0，∴x＋2y＝0③或x＋3y＝0④,由②③，②④聯立得方程組，,解方程組，得,解方程組，得,所以原方程組的解為：，．【點睛】本題考查了二元二次方程組的解法，把二次方程轉化為兩個一次方程，是解決此類題目常用的辦法．解決本題亦可變形組中的一次方程，代入二次方程先求出其中一個未知數的值，再求另一個未知數的值．15．（2022春·上海奉賢·八年級校考期末）古語有“四方上下曰宇，古往今來曰宙”，自古以來，中華民族對于宇宙的探索從未停歇．在2022年6月5日，神舟十四號成功發射，而即將到來的7月，問天實驗艙也將發射升空．HYDZ公司的G項目組承擔了實驗艙某個電子設備的研發工作，在順利完成一半研發工作時，由于受疫情影響，開發效率被迫減緩為原來的60%，結果最后比原計劃多了10天完成任務，問：該電子設備原計劃的研發時間為多少天．【答案】該電子設備原計劃的研發時間為30天【分析】設該電子設備原計劃的研發時間為x天，則實際完成后一半研發工作的時間為天，根據實際完成后一半研發工作時的工作效率為原計劃工作效率的60%，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．【詳解】解：設該電子設備原計劃的研發時間為x天，則實際完成后一半研發工作的時間為天，依題意得：60%＝，解得：x＝30，經檢驗，x＝30是原方程的解，且符合題意,答：該電子設備原計劃的研發時間為30天．【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．【典型】一、單選題1．（2020春·上海靜安·八年級校考期中）下列方程組中，屬于二元二次方程組的為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據一元一次方程組的定義對A進行判斷；根據整式方程組的定義對B、C進行判斷；根據二元二次方程組的定義對D進行判斷．【詳解】解：A、兩個方程都是二元一次方程，所組成的方程組為二元一次方程組，所以A選項不正確；B、兩個方程都是分式方程，所組成的方程組為分式方程組，所以B選項不正確；C、有一個方程是無理方程，所組成的方程組不是二元二次方程組，所以C選項不正確；D、有一個方程是二元二次方程，另一個是一元一次方程，所組成的方程組為二元二次方程組，所以D選項正確．故選D．【點睛】本題考查二元二次方程組：有兩個二元二次方程或一個二元二次方程，一個一元一次方程所組成的方程組稱為二元二次方程組．2．（2020春·上海靜安·八年級校考期中）下列方程中,有實數解的方程的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二次根式的非負性對A進行判斷；利用根的判別式的意義對B進行判斷；解無理方程對C進行判斷；解分式方程對D進行判斷．【詳解】解：A、移項得：，∵≥0，所以原方程沒有實數解，所以A選項錯誤；B、因為△＝22?4×3＝?8＜0，所以原方程沒有實數解，所以B選項錯誤；C、、移項得：，方程兩邊同時平方得：，化為一般形式為：，解得x1=1，x2=-3，經檢驗x1=1時不滿足原方程，所以x=-3，所以C選項正確；D、解方程得x=2，經檢驗當x=2時分母為零，所以原方程無實數解，所以D選項錯誤．故選C．【點睛】本題考查了解無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉化為有理方程來解，在變形時要注意根據方程的結構特征選擇解題方法．也考查了一元二次方程和分式方程．3．（2019春·八年級課時練習）方程組有兩組不同的實數解，則（

）A．≥ B．＞ C．＜＜ D．以上答案都不對【答案】B【分析】將y=x2與y=x+m函數聯立，根據解的個數求解即可．【詳解】方程組有兩組不同的實數解，兩個方程消去y得，，需要△＞0，即1+4m＞0，所以＞,故選B.【點睛】本題考查了二元二次方程，用到的知識點是加減消元法解方程組，根的判別式、解一元二次方程等知識，關鍵是根據根的判別式求出m的值．4．（2019春·八年級單元測試）下列各對未知數的值中，是方程組的解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題根據方程組的解的定義，運用代入排除法即可作出選擇．【詳解】把四個選項的答案分別代入方程組，發現只有A中的答案適合兩個方程．故選A．【點睛】本題主要考查了方程組的解的定義．5．（2019春·上海松江·八年級統考期末）下列說法正確的是（

）A．是二項方程 B．是二元二次方程C．是分式方程 D．是無理方程【答案】A【分析】根據整式方程、分式方程和無理方程的概念逐一判斷即可得．【詳解】A．方程是一般式，且方程的左邊只有2項，此方程是二項方程，此選項正確；B．x2y?y＝2是二元三次方程，此選項錯誤；C．是一元一次方程，屬于整式方程，此選項錯誤；D．是一元二次方程，屬于整式方程；故選A．【點睛】本題主要考查無理方程，解題的關鍵是掌握整式方程、分式方程和無理方程的定義．6．（2019春·八年級課時練習）方程組的解有（

）組.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由①+②得：2x2=18，解出x的值，分別代入①求出y即可．【詳解】解：，①+②得：2x2=18,解得：;把x=3代入①得：，把x=-3代入①得：∴方程組的解為：，故選D.【點睛】本題考查了二元二次方程組和解一元二次方程的應用，關鍵是能把方程組轉化成一元二次方程．二、填空題7．（2019春·上海·八年級校考期中）方程________二項方程（填“是”或不是）【答案】不是【分析】根據二項方程的定義判斷即可.【詳解】解：根據二項方程的定義可知，方程不是二項方程，故答案為不是.【點睛】本題考查了二項方程的定義，注意二項方程的左邊只有兩項，一項含未知數，一項是常數，右邊為0．8．（2019春·上海·八年級校考期中）寫出一個以為解的二元二次方程，可以是__________________【答案】（答案不唯一）【分析】把代入x與y的任意一個有意義的二次整式計算得出其值，再根據其值列出方程便可.【詳解】解：∵∴以為解的二元一次方程組為故答案為（答案不唯一）【點睛】此題考查高次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊成立的未知數的值，根據解寫方程應先列算式再列方程．9．（2021春·上海寶山·八年級統考期末）數學家斐波那契編寫的《算經》中有如下問題：一組人平分10元錢，每人分得若干；若再加上6人，平分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第一次分錢的人數．設第一次分錢的人數為x人，則可列方程_____．【答案】【分析】根據“第二次每人所得與第一次相同，”列分式方程即可得到結論．【詳解】解：根據題意得，，故答案為：【點睛】本題主要考查分式方程的實際應用，找出等量關系，列出分式方程，是解題的關鍵．10．（2019春·八年級課時練習）二元二次方程2x2+3xy－6y2+x－4y=3中，二次項是__________，一次項是__________，常數項是_______________.【答案】

2x，3xy，－6y

x，－4y

－3.【分析】根據二元二次方程的一般形式：ax+bxy+cy+dx+ey+f=0解答即可.【詳解】二元二次方程2x2+3xy－6y2+x－4y=3中，二次項是:2x，3xy，－6y;一次項是:x，－4y;常數項是:-3,故答案為

(1).2x，3xy，－6y

(2).x，－4y

(3).－3.【點睛】本題考查了二元二次方程的一般形式，二元二次方程的一般形式是：ax+bxy+cy+dx+ey+f=0，在一般形式中bxy叫二次項，ax,cy,dx,ey叫一次項，f是常數項．11．（2019春·八年級課時練習）解方程組的解為_______________【答案】【分析】首先把方程②變形為y=，然后利用代入法消去y，得到關于x的一元二次方程，解方程求出x，然后就可以求出y，從而求解．【詳解】解：，由②得:y=③把③代入①得:x2-+4()2+x--2=0.整理得:4x2-21x+27=0∴x1=3x2=.把x=3代入③得:y=1把x=代入④得:y=.∴原方程組的解為:【點睛】本題考查了二元二次方程組的解法，解答此類題目一般用代入法比較簡單，先消去一個未知數再解關于另一個未知數的一元二次方程，把求得結果代入一個較簡單的方程中即可．三、解答題12．（2019春·上海浦東新·八年級統考期末）解方程：.【答案】【分析】先移項，再兩邊平方，即可得出一個一元二次方程，求出方程的解，最后進行檢驗即可．【詳解】解：移項得：，兩邊平方得：，整理得：，解得：，，經檢驗不是原方程的解，舍去，∴是原方程的解.【點睛】本題考查了解無理方程的應用，解此題的關鍵是能把無理方程轉化成有理方程，注意：解無理方程一定要進行檢驗．13．（2019春·上海徐匯·八年級上海市田林第三中學校考階段練習）解方程組：【答案】【分析】由第一個等式可得x（x+y）=0，從而討論可①x=0，②x≠0，（x+y）=0，這兩種情況下結合第二個等式（x+2y）=9可得出x和y的值．【詳解】∵x(x+y)=0，①當x=0時,(x+2y)=9，解得：y=

,y=?；②當x≠0，x+y=0時，∵x+2y=±3，解得：或.綜上可得,原方程組的解是.【點睛】此題考查二元二次方程組，解題關鍵在于掌握運算法則.14．（2019春·上海浦東新·八年級校聯考期中）已知方程組有兩組相等的實數解，求的值，并求出此時方程組的解.【答案】,當時;當時【分析】聯立方程組，△＝0即可求m的值，再將m的值代入原方程組即可求方程組的解；【詳解】解：把②代入①后計算得，∵方程組有兩組相等的實數解，∴△＝（12m）2?4（2m2+1）?12＝0，解得：，當時，解得當時，解得【點睛】本題考查了解二元二次方程組，能把二元二次方程組轉化成一元一次方程是解題關鍵．【易錯】一．選擇題（共3小題）1．（2022春?上海期中）下列方程中，二項方程是（）A．x2+2x+1＝0 B．x5+x2＝0 C．x2＝1 D．+x＝1【分析】根據二項方程的定義判斷求解．【解答】解：∵x2+2x+1＝0有三項，不符合二項方程定義，∴A不合題意．∵x5+x2＝0左邊是二項式，右邊為0，不符合二項方程的定義．∴B不符合題意，∵x2＝1，可得x2﹣1＝0，符合二項方程定義．∴C符合題意．∵+x＝1是分式方程，∴D不合題意．故選：C．【點評】本題考查二項方程的定義，掌握二項方程的定義是求解本題的關鍵．2．（2022春?徐匯區校級期中）對于二項方程axn+b＝0（a≠0，b≠0），當n為偶數時，已知方程有兩個實數根，那么ab一定（）A．ab＜0 B．ab＞0 C．ab≥0 D．ab≤0【分析】根據偶數次方的非負性求解．【解答】解：∵axn+b＝0（a≠0，b≠0），∴xn＝﹣，∵n為偶數時，已知方程有兩個實數根，∴﹣＞0，∴ab＜0．故選A．【點評】本題考查高次方程的解，注意偶數次方的非負性是求解本題的關鍵．3．（2022春?楊浦區校級期中）下列方程中，是二元二次方程的為（）A．x2+2y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣2x+1 D．y2+2y﹣7＝0【分析】根據二元二次方程依次判斷即可．【解答】解：∵x2+2y＝1含兩個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程，故A符合題意．∵y＝﹣1未知數在分母上，是分式方程，∴B不合題意．∵y＝﹣2x+1的未知數次數是1，不是二元二次方程，∴C不合題意．∵y2+2y﹣7＝0含1個未知數，不是二元二次方程，∴D不合題意．故選：A．【點評】本題考查二元二次方程的定義，理解二元二次方程的條件是求解本題的關鍵．二．填空題（共5小題）4．（2022春?浦東新區校級期末）若關于x的方程無實根，則m的取值范圍是m＜2．【分析】先將無理方程轉化為有理方程，再求解．【解答】解：∵x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4＞0，∴無論x取什么數，方程始終有意義．原方程化為：（x﹣2）2+4＝m2，∴（x﹣2）2＝m2﹣4，∵（x﹣2）2≥0，∴當m2﹣4＜0時，方程無解．∴﹣2＜m＜2．∵≥0，∴當m＜0時方程無解．∴m＜2．故答案為：m＜2．【點評】本題考查無理方程的解，將無理方程轉化為有理方程是求解本題的關鍵．5．（2022春?寶山區校級月考）若關于x的方程有增根，則m的值是﹣4．【分析】根據題意可得x＝﹣2，然后把x＝﹣2代入整式方程中進行計算即可解答．【解答】解：，x＝m+2，∵方程有增根，∴x＝﹣2，把x＝﹣2代入x＝m+2中，﹣2＝m+2，∴m＝﹣4，故答案為：﹣4．【點評】本題考查了分式方程的增根，根據題意求出x的值后代入整式方程中進行計算是解題的關鍵．6．（2022春?浦東新區校級期中）方程組的解只有一組，則m的取值范圍是m＞0．【分析】根據條件表示方程組的解，再求m的范圍．【解答】解：，由①，得x﹣1＝0或y+m＝0，∴x＝1，y＝﹣m．當x＝1時，代入②得：y＝1，∴原方程組的一組解為：，當y＝﹣m時，代入②得：﹣m＝x2，∵原方程只有一組解，∴﹣m＝x2無解，∴﹣m＜0．∴m＞0．故答案為：m＞0．【點評】本題考查高次方程組的解，正確表示原方程組的解是求解本題的關鍵．7．（2022春?楊浦區校級期中）在去分母解關于x的分式方程＝2﹣的過程中產生增根，則a＝﹣4．【分析】根據題意可得x＝4，然后把x的值代入整式方程中進行計算即可解答．【解答】解：＝2﹣，x＝2（x﹣4）﹣a，解得：x＝8+a，∵分式方程產生增根，∴x＝4，把x＝4代入x＝8+a中，4＝8+a，∴a＝﹣4，故答案為：﹣4．【點評】本題考查了分式方程的增根，根據題意求出x的值后代入整式方程中進行計算是解題的關鍵．8．（2022春?楊浦區校級期中）方程的根為x＝﹣2．【分析】根據已知得出x+3＝0，＝0，求出方程的解，最后進行檢驗即可．【解答】解：∵，∴x+3＝0，＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣2，經檢驗x＝﹣3代入原方程，無意義，舍去；經檢驗x＝﹣2代入原方程，是原方程的解，故答案為：x＝﹣2．【點評】本題考查了無理方程的解法，注意：解無理方程一定要進行檢驗．三．解答題（共5