超洋2023年新高考超洋押題卷6之05數(shù)學(xué)解析注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．若集合，則的元素個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】由題意得，，故，即共有4個元素，故選：C．2．復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，故選：B.3．已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，所以，所以，向量在向量上的投影向量為.故選：C．4．科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”III型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”III型浮空艇的體積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為（m），而圓臺一個底面的半徑為（m），則（m3），（m3），（m3），所以（m3）．故選：A．5．已知等差數(shù)列的前項和為，若且，則（

）A．25 B．45 C．55 D．65【答案】D【詳解】由等差數(shù)列的前項和為，所以為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由，知，所以，所以，所以，故選：D．6．函數(shù)的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，區(qū)域①和區(qū)域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，由題意可得：，解得，故，可得，即，可知的圖象過點，即，∵，則，∴，解得.故選：A.7．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，焦距為4，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的左、右支分別交于，兩點，，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，解得設(shè)，，，根據(jù)題意可知，設(shè)雙曲線方程為，設(shè)，若P點在雙曲線的左支上，則雙曲線的焦半徑為：，，由題意可得，，所以，根據(jù)變形得，所以故，同理可得，同理可得，若P點在雙曲線的右支上，則雙曲線的焦半徑為：，，根據(jù)雙曲線焦半徑公式可得：，；，，，解得.故選：C8．對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意，知，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，易知，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.令，則對任意的，不等式恒成立，等價于當(dāng)時，，當(dāng)時，.當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以是的零點，即，即，即.構(gòu)造函數(shù)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，所以，即.令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知，故.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知圓M：，直線l：，直線l與圓M交于A，C兩點，則下列說法正確的是（

）A．直線l恒過定點B．的最小值為4C．的取值范圍為D．當(dāng)最小時，其余弦值為【答案】ABC【詳解】A.直線，即，直線恒過點，故A正確；B.當(dāng)定點是弦的中點時，此時最短，圓心和定點的距離時，此時，故B正確；C.當(dāng)最小時，最小，此時，此時，當(dāng)是直徑時，此時最大，，此時，所以的取值范圍為，故C正確；D.根據(jù)C可知當(dāng)最小時，其余弦值為，故D錯誤.故選：ABC10．有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起，第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，．隨機取一個零件，記“零件為次品”，“零件為第臺車床加工”，，，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】對于A：因為，故A錯誤；對于B：因為，故B正確；對于C：因為，，所以，故C正確；對于D：由上可得，又因為，故D錯誤，故選：BC．11．已知，若關(guān)于的方程恰好有6個不同的實數(shù)解，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】記，則所以在單調(diào)增，在單調(diào)減所以的大致圖像如下所示：令，所以關(guān)于的方程有6個不同實根等價于關(guān)于方程在內(nèi)有2個不等實根.即與在內(nèi)有2個不同交點又的大致圖像如下所示：又，所以.對照四個選項，AB符合題意.故選：AB12．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點E為邊的中點，點F為棱上一動點（異于P、C兩點），則下列判斷中正確的是（

）．A．直線與直線互為異面直線B．存在點F，使平面C．存在點F，使得與平面所成角的大小為D．直線與直線所成角的余弦值的最大值為【答案】ABD【詳解】對于A，假設(shè)直線與直線共面，于是E、F、A、P四點共面，則直線與直線共面，與直線、直線互為異面直線矛盾，所以直線與直線互為異面直線，A正確；對于B，當(dāng)時，過點F作交于點G，連，則，平面，平面，面，，平面，平面，平面，又，平面，平面，則平面平面，因為平面，平面，于是存在點F，使平面，B正確；對于C，以點D為原點，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，設(shè)平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，，令，則，于是，所以，因此不存在點F，使得與平面所成角的大小為，C錯誤；對于D，，設(shè)直線與直線所成角為，，當(dāng)時，等號成立，所以直線與直線所成角的余弦值的最大值為，D正確．故選：ABD．第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分,其中第16題第一空2分，第二空3分．13．已知向量，，寫出一個與垂直的非零向量______．【答案】（答案不唯一）【詳解】由題意可知．設(shè)，則．取，則，所以與垂直的非零向量可以為．（答案不唯一）故答案為：（答案不唯一）14．2023年春節(jié)期間，電影院上映《滿江紅》《流浪地球2》《熊出沒·伴我“熊芯”》等多部電影，這些電影涵蓋了懸疑、科幻、動畫等多類型題材，為不同年齡段、不同圈層的觀眾提供了較為豐富的觀影選擇.某居委會有6張不同的電影票，獎勵給甲、乙、丙三戶“五好文明家庭”，其中一戶1張，一戶2張，一戶3張，則共有______種不同的分法.【答案】360【詳解】從6張電影票中任選1張，有種選法；從余下的5張中任選2張，有種選法；最后余下3張全選，有種選法.由于甲、乙、丙是不同的三戶“五好文明家庭”，因此共有種不同的分法.故答案為:36015．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，，則的最小值為_____________.【答案】8【詳解】解：因為，由正弦定理得，因為，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為8.故答案為：816．Cassini卵形線是由法國天文家Jean—DominiqueCassini（1625—1712）引入的．卵形線的定義：線上的任何點到兩個固定點，的距離的乘積等于常數(shù)．b是正常數(shù)，設(shè)，的距離為2a，如果，就得到一個沒有自交點的卵形線；如果，就得到一個雙紐線；如果，就得到兩個卵形線．若，．動點P滿足．則動點P的軌跡C的方程為______：若A和是軌跡C與y軸交點中距離最遠(yuǎn)的兩點，則面積的最大值為______．【答案】【詳解】由題意可得，，故動點P的軌跡為雙紐線，設(shè)，因為，所以，即，所以動點P的軌跡C的方程為；令，可得，解得或,所以不妨設(shè)，由對稱性，故可考慮P在第一象限的情況，因為為定值，所以面積最大時，即點P的橫坐標(biāo)最大，又即，所以，令，則因為，所以，故，當(dāng)時，取得最大值1，即的最大值為1，則x的最大值為1，所以的最大值為，故面積的最大值為.故答案為：；.四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知各項都是正數(shù)的數(shù)列，前項和滿足.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)記是數(shù)列的前項和，是數(shù)列的前項和.當(dāng)時，試比較與的大小.【答案】．(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，所以或（舍去），當(dāng)時，有兩式相減得，整理得，因為的各項都是正數(shù)，所以，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）得，則，所以，由（1）得所以，因為，所以，故，所以當(dāng)時，.18．在中，是邊BC上的點，AD平分，的面積是的面積的兩倍.(1)如圖1，若，且，求的面積；(2)如圖2，若點在邊AB上，且，，求的值.【答案】(1)(2)1【詳解】（1）因為的面積是的面積的兩倍，，且，平分.所以，所以，又因為，所以，所以，所以的面積為；（2）由（1）知.設(shè)，則，又因為，，所以是以為直角的直角三角形，在中，由正弦定理可得在中，由正弦定理可得，因為，所以，又因為，均為銳角，所以，所以的值為1.19．在四棱錐中，平面平面，，為的中點.(1)求證：；(2)若，，，，點在棱上，直線與平面所成角為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）∵，為的中點，∴又∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴（2）由，，可知四邊形為等腰梯形，易知，∵，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，平面的法向量為，設(shè)，則，，，∵直線與平面所成角為，∴，∴①∵點在棱上，∴，即，∴，，代入①解得或（舍去）.，，，設(shè)平面的法向量為，，令，得，，所以點到平面的距離20．根據(jù)教育部的相關(guān)數(shù)據(jù)，預(yù)計2022年中國大學(xué)畢業(yè)生將達(dá)到1076萬人，比2021年增長167萬人，規(guī)模和數(shù)量將創(chuàng)歷史新高．國家對畢業(yè)生就業(yè)出臺了許多政策，某公司積極響應(yīng)國家政策決定招工400名(正式工280名，臨時工120名)，有2500人參加考試，考試滿分為450分，考生成績符合正態(tài)分布．考生甲的成績?yōu)?70分，考生丙的成績?yōu)?30分，考試后不久甲僅了解到如下情況：此次測試平均成績?yōu)?71分，351分以上共有57人．(1)請用你所學(xué)的統(tǒng)計知識估計甲能否被錄用，如錄用能否被錄為正式工?(2)考生乙告訴考生丙：“這次測試平均成績?yōu)?01分，351分以上共有57人．”請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙同學(xué)辨別乙同學(xué)信息的真?zhèn)危⒄f明理由．附：【答案】(1)甲能被錄用為臨時工.(2)答案見解析【詳解】（1）設(shè)此次測試的成績記為，則.由題意知.因為，且，所以.因為，且，所以前400名的成績的最低分低于分.又，所以甲能被錄用.當(dāng)時，.又，所以甲能被錄用為臨時工.（2）假設(shè)乙所說的為真，則.因為，且，所以，則，而.答案示例1：可以認(rèn)為乙同學(xué)信息為假.理由如下：事件“”為小概率事件，即“丙同學(xué)的成績?yōu)?30分”是小概率事件，可認(rèn)為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙同學(xué)信息為假；答案示例2：無法辨別乙同學(xué)信息真假.理由如下：事件“”即“丙同學(xué)的成績?yōu)?30分”發(fā)生的概率雖然很小，一般不容易發(fā)生，但是還是有可能發(fā)生的，所以無法辨別乙同學(xué)信息真假.21．已知橢圓的右頂點為A，左焦點為F，過點F作斜率不為零的直線l交橢圓于兩點，連接，分別交直線于兩點，過點F且垂直于的直線交直線于點R．(1)求證：點R為線段的中點；(2)記，，的面積分別為，，，試探究：是否存在實數(shù)使得？若存在，請求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析.(2)存在，.【詳解】（1）證明：由題意知，，設(shè)，，，聯(lián)立，得，，則，，直線的方程為，令，得，所以，同理，．所以,直線，令得，所以，則，故點R為線段的中點．（2）由（1）