變限積分的性質(zhì)變限積分是微積分學(xué)基本定理之一，是一類很重要的函數(shù)，是產(chǎn)生新函數(shù)的重要工具，同時(shí)它也是連接不定積分和定積分的橋梁，可見它在微積分學(xué)中的重要地位。本文通過對(duì)變限積分的定義進(jìn)行簡(jiǎn)介，對(duì)變限積分的性質(zhì)進(jìn)行介紹及舉例，包括變限積分的連續(xù)性、可微性、奇偶性、單調(diào)性和周期性，還介紹了變限積分的一些應(yīng)用。通過這些介紹及得到的有關(guān)結(jié)論，希望可以讓我們更加理解變限積分的作用、地位和價(jià)值，在以后研究學(xué)習(xí)中有所幫助。關(guān)鍵詞：變限積分；連續(xù)性；可微性；奇偶性；單調(diào)性；周期性；應(yīng)用引言隨著時(shí)代的要求和科技的進(jìn)步，由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，一門新的數(shù)學(xué)分支一一微積分學(xué)產(chǎn)生了，而極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問題，微積分是與實(shí)際聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的在許多科學(xué)領(lǐng)域中，有越

來(lái)越廣泛地應(yīng)用，可見微積分在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。積分學(xué)是微積分中重要的一部分內(nèi)容，積分學(xué)可分為不定積分和定積分，而變限積分就是一種特殊的定積分，它具有許多特殊的性質(zhì)，比如連續(xù)性、可微性、奇偶性等，它是我們學(xué)習(xí)積分學(xué)經(jīng)?？疾斓囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)，研究它的性質(zhì)對(duì)我們學(xué)習(xí)微積分有重要的意義。下面我們將介紹變限積分的概念、性質(zhì)和應(yīng)用。1.變限積分的概念與理解1.1變限積分的定義設(shè)f在[a,b]上可積，根據(jù)定積分的性質(zhì)，對(duì)任何xe[a,b]，f在[a,x]也可積，于是，由TOC\o"1-5"\h\z中(x)=fxf(t)dt,xe[a,b] (1)a定義了一個(gè)以積分上限x為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分或積分上限函數(shù).類似地，又可定義變下限的定積分：中(x)=fb,f(t)dt,xe[a,b]. (2)x①與甲統(tǒng)稱為變限積分；變量復(fù)合函數(shù)定義為：fu(x)f(t)dt,fbf(t)dt,fu(x)f(t)dt,a v(x) v(x)其中u(x)、v(x)是定義在[以,P]上的函數(shù)且u(x)，v(x)e[a,b].注：在變限積分(1)與(2)中，不可再把積分變量寫成x(例如fxf(x)dx)，a以免與積分上、下限的x混淆。1.2對(duì)變限積分基本概念的理解例題，計(jì)算(1)fsinxdx;(2)fxsinxdx;(3)f2sinxdx.并由此說(shuō)明不定積分、定積分、變上限積分三者之間的聯(lián)系?！憬猓?1)I(x,c)=fsinxdx=-cosx+c;1I(x)=fxsinxdx=-cos^x=cos0-cosx=1-cosx;2 0 0(3)(3)I=J2sinxdx=-cos2=cos0一cos—=1.0 2不定積分fsinxdx表示sinx的含有任意常數(shù)的原函數(shù)；積分fxsinxdx是0?一、一……,一…，一…上限變量x的函數(shù)，也是sinx的一個(gè)原函數(shù)；而定積分f2sinxdx表示0一個(gè)數(shù)，它是sinx的任意一個(gè)原函數(shù)在x=-與x=0兩點(diǎn)處函數(shù)值之2差。籠統(tǒng)地說(shuō)，定積分13是數(shù)，變上限積分12(x)是一個(gè)函數(shù)，而不定積分I(x,c)是一族函數(shù)。I(x)+c即為I；此處取c=1可得，I=I;1 2 1 1 1 2取x弓時(shí)，12=13，三者既有聯(lián)系又有區(qū)別。2.變限積分的性質(zhì)2.1連續(xù)性：若f(x)在［a,b］上可積，則F(x)=fxf(t)dt,G(x)=jbf(t)dta x在［a,b］都連續(xù).2.2可微性(原函數(shù)存在定理)若f(x)在［a,b］上連續(xù)，則2.1中的F(x),G(x)在［a,b］上可導(dǎo)且F'(x)=djxf(t)dt=f(x),xe［a,b］dxaG'(x)=—\bf(t)dt=-f(x),xe［a,b］.dxx這就是說(shuō)：函數(shù)F是f在［a,b］上的一個(gè)原函數(shù);函數(shù)G是f在［a,b］上的一個(gè)原函數(shù)。注:2.2建立了導(dǎo)數(shù)、積分這兩個(gè)看起來(lái)似乎毫不相關(guān)的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，它證明了“連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)”的基本結(jié)論，而且說(shuō)明了jxf(t)dta是f的一個(gè)原函數(shù)。此2.2的這個(gè)結(jié)論在微積分學(xué)中具有十分重要的地位，被稱為“微積分基本定理”.2.2.1推論若f(x)在［a,b］連續(xù)，u(x)在［以,P］上可導(dǎo)且xe［以,P］，u(x)e［a,b］，則H(x)=fu(x)f(t)dt在［以,p］上可導(dǎo)，且aH'(x)=f(u(x))u'(x).2.2.2推論若f(x)在［a,b］連續(xù)，u(x)、v(x)在［以,P］上可導(dǎo)且xe［以,P］，u(x)、v(x)e［a,b］，則H(x)=fu(x)f(t)dt在［以,p］上可導(dǎo)，且v(x)H'(x)=f(u(x))u'(x)-f(v(x))v'(x).2.2.3牛頓-萊布尼茨公式

由微積分基本定理，我們還能得出一個(gè)重要的公式，即牛頓萊布尼茨公式：若函數(shù)f在［a,b］上連續(xù)，且F(x)是f(x)在［a,b］上的一個(gè)原函數(shù)，則jbf(jbf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)a例1下列計(jì)算是否正確？若有錯(cuò)，請(qǐng)訂正.d"只,xe-t2dt=e-x-2；dx0—jsinxe-t2dt=e-sin2x；dx0d00e-t2dt=e-x4.2x.dxx2(1)(2)(3)解(1)正確.因被積函數(shù)f(t)=w2是連續(xù)函數(shù)，變上限定積分jxe^dt0對(duì)上限變量求導(dǎo)數(shù)，就等于被積函數(shù)f(t)=e-t2在上限變量x處的值，即()rxe-t2dt，=e-x2.0(2)(3)錯(cuò)誤.因?yàn)樯舷辳inx是x的函數(shù)，需要利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，(2)(3)Sin"T2dtdrSinx dVSin.2〃力Sin"T2dte-t2dt= J e-t2dt =e-smxcosx.dx0 dsinx0 dx錯(cuò)誤.因?yàn)橄孪辺2是x的函數(shù)，需轉(zhuǎn)化為變上限函數(shù)積分求導(dǎo)問題—j0e-t2dt=-—\x2e-t2dt=-2xe-x4.dxx2 dx0例2設(shè)函數(shù)g(x)連續(xù)，且f(x)=Ljx(x-1)2g(t)dt，試求f'(x),f"(x).2a分析 由于f(x)的變上限積分表示式的被積函數(shù)中出現(xiàn)了積分上限變量x，故不能直接利用公式—jx中(t)dt*(x)來(lái)求導(dǎo)數(shù)f(x).dxa需先將f(x)改寫成積分的被積表達(dá)式中只含積分變?cè)猼的形式，在對(duì)其求導(dǎo).解 f(x)=-jx(x-1)2g(t)dt20=—jxg(t)dt一xjxtg(t)dt jxt2g(t)dt,2o 0 20

f'(x)=xfxg(t)dt+x.g(x)TOC\o"1-5"\h\z-Jxtg(t)dt-x2g(x)+mg(x)

0 2=xfxg(t)dt-fxtg(t)dt,0 0f(x)=Tfxg(t)dt+xg(x)]-xg(x)=fxg(t)dt.Lo 」 0如果忽略了被積函數(shù)中含有積分上限變量這一事實(shí)，而硬套變上限積分求導(dǎo)公式，就會(huì)釀成錯(cuò)誤結(jié)果：f'(xf'(x)=df1fx(x-1)2g(t)dt]=：(x-1)2g(t)Idx120=0.t=x例3設(shè)f(x)連續(xù)，y=j1 f(cos2x-1)dt,求空sin2x dx解：令"=cos2x-1，則dt=解：令"=cos2x-1，則dt=-du因此J1f(cos2x-1)dt=fcos2x-1f(u)(-du)=fcos2xf(u)ducos2工-1cos2工-sin2工-sin2工從而^=jcos2xf(UM".-sin2x—=f(cos2x)-(cos2x)'-f(-sin2x)-(-sin2x)dx=-2sin2xf(cos2x)+f(-sin2x)2sinxcosx=[f(-sin2x)一2f(cos2x)]?sin2x例4設(shè)F(x)=Jx-——+J1^-d—(x>0)，求F(x).

01+t2 01+t2解：F(x)=—Jx區(qū)+—J1dt

dxx +——Jx = 01+12dx01+121+x2」士少

x2-(―1)=0

x2所以F所以F(x)=C(C為常數(shù))dt =2arctant所以F⑴=-22.3奇偶性若f(x)在［-a,a］上可積且為偶(奇)函數(shù)，貝F(x)=jxf(t)dt是［-a,a］上0奇(偶)函數(shù).證明：設(shè)F(x)=jxf(t)dt，其中函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上可積.0若函數(shù)f(x)為［a,b］上的奇函數(shù)，由變量替換有：F(-x)=fxf(t)dt=fxf(-u)d(-u)=fxf(u)du-F(x),

00 0即F(x)為偶函數(shù)；若函數(shù)f(x)為［a,b］上的偶函數(shù)，由變量替換有：F(-x)-f-xf(t)dt-fxf(-u)d(-u)=-fxf(u)du--F(x)，即F(x)為奇函數(shù)。例設(shè)函數(shù)f(x)在(一8,+8)連續(xù)，且F(x)-fx(x-2t)f(t)dt,0證明(1)若f(-x)=f(x)，則F(-x)=F(x)；(2)若f(x)非增(即：x<x時(shí)，f(x)>f(x))，則F(x)非1 2 1 2減.證明：(1)F(—x)=f-x(—x—2t)f(t)dt0■令t=-ufx［—x—2(-u)］f(-u)(-du)=0=fx(x-2u)f(u)du=F(x).0(2)F(x)=d［xfxf(t)dt-2fxtf(t)dt］dxo 0=fxf(t)dt-xf(x)=fx(f(t)-f(x))dt.00(I)當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)非增可知：f(t)-f(x)>0 te［0,x］，因此F(x)=fx(f(t)-f(x))dt20；0(II)當(dāng)x<0時(shí)，有f(t)—f(x)<0 te［0,x］,因此F(x)=j0(f(x)-f(t))dt20.x綜上所述，對(duì)任意的xe(-8,+8),Ff(x)20.再利用拉格朗日中值定理，當(dāng)x1<x2時(shí)，有F(x2)-F(x)=F(g)也-x1)20,貝”(x)非減.2.4單調(diào)性若f(x)在［a,b］上可積且f(x)>0(Vxe［a,b］)，則F(x)=fxf(t)dt在［a,b］上a是單調(diào)遞增函數(shù).若f(x)在［a,b］上可積且f(x)<0(Vxe［a,b］)，則F(x)=fxf(t)dt在［a,b］上a是單調(diào)遞減函數(shù).證明：2.4.1積分第二中值定理由變限積分的可微性及單調(diào)性我們又可得到積分第二中值定理設(shè)函數(shù)f在［a,b］上可積，則若函數(shù)g在［a,b］上單調(diào)減少，且g(x)20，則存在&e［a,b］，使得fbf(x)g(x)dx=g(a)f，f(x)dx；aa若函數(shù)g在［a,b］上單調(diào)增加，且g(x)20，則存在&e［a,b］，使得fbf(x)g(x)dx=g(b)fbf(x)dx.a &2.4.1.1推論設(shè)函數(shù)f在［a,b］上可積，若g為單調(diào)函數(shù)，則存在^e［a,b］，使得fbf(x)g(x)dx=g(a)f^f(x)dx+g(b)fbf(x)dx.a a &*周期性以T為周期的連續(xù)函數(shù)f(x)的原函數(shù)以T為周期的充分必要條件是

JTf(x)dx=0.0例設(shè)g(x)是在(-8,+8)內(nèi)以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則Jxg(t)dt-J0g(t)dtTOC\o"1-5"\h\z0 一x也以T為周期。證明：由周期函數(shù)積分性質(zhì)得：Jx+Tg(t)dt-Jxg(t)dt+Jx+Tg(t)dt-Jxg(t)dt+JTg(t)dt.0 0 x 0 0J0 g(t)dt-J0g(t)dt+J-xg(t)dt-J0g(t)dt+JTg(t)dt.—x—T —x —x—T —x 0因JTg(t)dt不一定為零，所以Jxg(t)dt與J0g(t)dt不一定以To 0 —x為周期，而Jx+Tg(t)dt—J0g(t)dt=Jxg(t)dt—J0g(t)dt，0 —x—T 0 —x所以Jxg(t)dt—J0g(t)dt以T為周期.0 —x3、變限積分的應(yīng)用學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的就是對(duì)數(shù)學(xué)思想的不斷積累并逐漸內(nèi)化，將數(shù)學(xué)的精華轉(zhuǎn)化為自己的各種能力。積分變限函數(shù)這類重要的函數(shù)，除了能拓展我們對(duì)函數(shù)概念的理解外，它又是連接積分學(xué)和微分學(xué)的重要工具，它在許多場(chǎng)合都有重要的應(yīng)用。3.1變限積分在求函數(shù)極限時(shí)的應(yīng)用例1求下列極限(1)(3)lim—Jx(1)(3)lim—Jxt2et2dt;xr+8xex20(2)lim-^Jxf(t)dt(其中f為連續(xù)函數(shù))(4)x>x—aaJx212dt

lim0 ；xr0Jxt(t一sint)dto「x一sinxlim .xr0Jxln(1+13)dt0t解：(1)lim xr+8xex2Jxt2et2dt=lim x2ex20 xr+8ex2+2x2ex2-limxr+8x2,3(2)12dt 2x4 2(2)lim 0 =lim =lim xr0Jxt(t一sint)dtxr0x(x—sinx) xr0x—sinxo=lim6x2 =lim竺=12.xr01—cosxxr0x22xJxf(t)dt 「 -i方法一 lim―a =limJxf(t)dt+xf(x)=af(a).xraxrxra方法二由積分中值定理可知fxf(t)dt=f(E)(x-a), a<&<x,a于是TOC\o"1-5"\h\zX Xlimfxf(t)dt=lim ?f(&)(x-a)=limxf(&)=af(a).x*x—aa x*x—a xTax-sinx 「 1一cosx「x22 1lim =lim =lim =—-1 1 1 9xT0fx—ln(1+t3)dt xT0—ln(1+x3)xT0—.x30t x x(這里用到了等價(jià)無(wú)窮小代換：當(dāng)xT0時(shí)，1-cosx?x2；'2,ln(1+x3)?x3.)3.2變限積分在研究函數(shù)性態(tài)中的應(yīng)用例1設(shè)f是[0,+3)上的連續(xù)凸函數(shù)，證明：F(x)=1fxf(t)dt

x0也是(0,+3)內(nèi)的凸函數(shù).證明：由于f是［0,+3)上的連續(xù)凸函數(shù)，所以有VXG(0,1),叫,x2>0,恒有f(Zx1+(i)A f(x1)+(f)f"，于是F于是F(冗氣+(1-X)x2)TOC\o"1-5"\h\z 1——fxx1+(1-x)x2f(t)dt冗x+(1-X)x 012t=x(Xx+(1-X)x)f1f(x(Xx+(1-X)x))dx)dx=4fx1f(t)dt+ fx2f(t)dtx10 x2 0=f1f(X(xx)+(1-X)(xx))dx)dx=4fx1f(t)dt+ fx2f(t)dtx10 x2 0=xJ1f(xx)dx+(1-X)f1f(xx01 0=人F(x1)+(1―人)F(x2)，所以F是(0,+3)內(nèi)的凸函數(shù).例2設(shè)f是(-3,+3)內(nèi)的連續(xù)奇函數(shù)，且單調(diào)增加，F(xiàn)(x)=fx(x-2t)f(t)dt，證明：(2)F是［0,(2)F是［0,+3)內(nèi)的單調(diào)減函數(shù).證(1)F(-x)=「x(-x一2t)f(t)dtt--u一「(-x+2u)f(-u)du0 0=-jx(x-2u)f(u)du--F(x),0所以F為奇函數(shù).(2)F(x)-xfxf(t)dt-2fxtf(t)dt，故00Fr(x)=fxf(t)dt-xf(x)=xf(&)-xf(x) (&介于零與x之間)0=x［f(提-f(x)］<0,所以F為［0,+8)內(nèi)的單調(diào)減函數(shù).(這里用到了積分第一中值定理.)例3設(shè)函數(shù)f在［a,b］上連續(xù)，且f(x)>0，若F(x)=fxf(t)dt+f dt，a bf(t)證明：(1)F為［a,b］上的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)；(2)方程F(x)=0在(a,b)內(nèi)有且只有一個(gè)根.證(1)因?yàn)閕r— 1)2F'(x)=f(x)+“、=Mf(x)-m、+2z2，

f(x)" jfxJ所以F在［a,b］上嚴(yán)格單調(diào)增加.(2)因?yàn)?F(a)=fa^-dt=-fb-^-dt<0bf(x) af(t)F(b)=fbf(t)dt>0，a所以由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的根的存在性定理可知，方程F(x)=0在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)根，又由于F在［a,b］上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以方程F(x)=0在(a,b)內(nèi)只能由一個(gè)根.例4證明：連續(xù)奇函數(shù)的一切原函數(shù)均為偶函數(shù)，連續(xù)偶函數(shù)的原函數(shù)中只有一個(gè)為奇函數(shù).證設(shè)f為連續(xù)的奇函數(shù)，則f的一切原函數(shù)可以表示為F(x)=「f(t)dt+C.0由于 F(-x)=「xf(t)dt+C二u-fxf(-u)du+C0 0=fxf(u)du+C=F(x),0所以f的一切原函數(shù)均為偶函數(shù).設(shè)f為連續(xù)的偶函數(shù)，f的一切原函數(shù)可以表示為F(x)=fxf(t)dt+C.0由于 F(-x)=f-xf(t)dt+C二u-fxf(-u)du+CT0( )=-Jxf(-u)du+C=-Yxf(t)dt+C：+2C=-F(x)+2C0 0要使F(-x)=-F(x)，必須2C=0，艮口C=0.所以f的一切原函數(shù)中只有F(x)=fxf(t)dt是奇函數(shù).0例5設(shè)f為定義在R上的一個(gè)連續(xù)周期函數(shù)，周期為T，證明:lim上Jxf(t)dt=LJTf(t)dt.xr+3x0 T0解Vx>0,3ngN及xg[0,T)，使得x=nT+x.于是1Jxf(t)dt=―-—JnT+x0f(t)dt=―-—rfnTf(t)dt+JnT+x0f(t)dtx0 nT+x0 nT+xL0 nT由于 fnTf(t)dt=nfTf(t)dt,00fnT+x0f(t)dt=fx0f(t)dt,nT 0所以 1fxf(t)dt=一n一fTf(t)dt+一-一fx0f(t)dtx0 nT+x00 nT+x00—fTf(t)dt (n—8)，T0從而有 lim—fxf(t)dt=LfTf(t)dt.x—+8x0 T03.3變限積分在證明定積分不等式中的應(yīng)用例1設(shè)函數(shù)f在［a,b］上連續(xù)且單調(diào)增加，證明:jbxf(x)dx>a*"jbf(x)dx.a 2ba證令 F(x)=jxtf(t)dt-^^^jxf(t)dt,xe[a,b],a 2a則有F(a)=0.由于Ff(x)=xf(x)-1jxf(t)dt-；f(x)=亍f(x)-1』xf(t)dt

2a 2 2 2ax—a一1=—r—f(x)--fG)(x—a) (a<^<x)=1(x-a)[f(x)-f(&)]>0,所以F在[a,b]上單調(diào)增加.于是有F(b)>F(a)=0,從而jbxf(x)dx>a+^\bf(x)dx.a 2a例2設(shè)f在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，f(a)=0,證明：jbf2(x)dx<—(b一a)2jb[f'(x)]2dx.a 2 a證由于f'連續(xù)且f(a)=0，于是有f(x)=jxf'(t)dt, xe[a,b].a由施瓦茲不等式可得f2(x)=jxf'(x)dt"12=|"jx1?f'(x)dt2<jx12dtjx[f'(t)]2dx-a 」La -Iaa=(x一a)jx[f'(t)]2dt<(x一a)jb[f，(t)]2dt.aa對(duì)上述不等式從a到b積分可得jbf2(x)dx<—(b一a)2jb[f'(t)]2dt.a 2 a3.4變限積分在證明&的存在性中的應(yīng)用例1設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，證明：存在&e(a,b)，使得jbf(x)dx=f(&)(b-a).a證設(shè) F(x)=jxf(t)dt,xe[a,b].a由題設(shè)知，F(xiàn)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此存在&e(a,b)，使得F(b)-F(a)=F'(&)(b-a)=f(&)(b-a),即有jbf(x)dx=f化)(b-a).a即有例2設(shè)函數(shù)f和g均在［a,b］上連續(xù)，且g(x)^0,證明：存在&e(a,b)使得g(&爪f(x)dx=f(&)j，g(x)dx.方法一設(shè)F(x)=jxg(t)dtjbf(t)dt-jxf(t)dtjbg(t)dt,則有a a a aF(a)=F(b)=0.由羅爾定理可知，存在&e(a,b)，使得F0)=0，即有g(shù)(&)jb