閔行區2022學年第二學期高一年級數學期末區統考一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.函數的最小正周期是____________.2.若復數，則____________.3.已知角的終邊經過點，則的值是____________.4.已知，，則角____________.5.若函數的最大值為，則____________.6.已知，則的值為____________.7.已知向量的夾角為，，則在方向上的數量投影為____________.8.已知是實系數一元二次方程的一個根，則____________.9.已知，，與平行，則實數的值為____________.10.在平面直角坐標系中，角的終邊與角的終邊關于軸對稱.若，則____________.11.已知函數的定義域為，且當時，，其中取一切正整數.函數的圖像與直線恰有24個交點，則實數的取值范圍是____________.12.已知平面向量、、、、、兩兩互不相等，且.若對任意的，均滿足，則當且時，的值為____________.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.復數的虛部為（）A.1 B.-1 C.i D.-i14.下列命題中正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則15.某同學將兩角和的正弦、余弦、余切公式錯誤地記成如下三個式子：①②；③；若存在恰巧能使上述某些式子成立，則能成立的式子最多有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個16.在復平面上，設點A、B對應的復數分別為、，當由連續變到時，向量所掃過的圖形區域的面積是（）A. B. C. D.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）考生應在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）在矩形ABCD中，，，點M、N分別是邊BC、CD的中點，設向量，（1）試用表示向量與；（2）求的值.18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）歐拉公式將自然對數的底數，虛數單位，三角函數聯系在一起，充分體現了數學的和諧美，被譽為“數學的天橋”，已知復數滿足，.（1）求，；（2）若復數是純虛數，求的值.19.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）上海花博會的成功舉辦離不開對展覽區域的精心規劃.如圖所示，將展區中扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉觀賞區，分別種植玫瑰花、白玉蘭和菊花.知扇形的半徑為60米，，動點在扇形AOB的弧上，點Q在半徑OB上，且.（1）當米時，求分隔欄PQ的長；（2）綜合考慮到成本和美觀等原因，希望使白玉蘭種植區的面積盡可能的大，求該種植區三角OPQ的面積的最大值.20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知函數，其中，，分別求滿足下列條件的函的解析式.（1），，.（2），是的兩個相異零點，的最小值為，且的圖像向右平移個單位長度后關于軸對稱.（3），，對任意的實數，記在區間上的最大值為，最小值為，，函數的值域為.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）通過平面直角坐標系，我們可以用有序實數對表示向量.類似的，我們可以把有序復數對看作一個向量，記，則稱為復向量.類比平面向量的相關運算法則，對于，，、、、、，我們有如下運算法則：①； ②；③； ④.（1）設，，求和.（2）由平面向量的數量積滿足的運算律，我們類比得到復向量的相關結論：① ② ③.試判斷這三個結論是否正確，并對正確的結論