弦的橫向振動問題細桿的縱向振動問題波動方程的定解條件

數學物理方程物理、力學、電磁學、自動化工程、生物工程等領域中,研究某物理量和其它物理量之間的變化關系。物理學中的定律，往往只給出這些函數和它們的各階導數與自變量的關系。牛頓第二定律:F=maa—物體加速度;F—合外力;m—物體質量虎克定律:(1)f=–kx;f—彈力;k—彈性系數;x—彈簧伸長(2)p=Yux;Y—楊氏模量;ux—彈性體相對伸長單擺的數學模型:一階偏導數:幾何意義——曲線的切線斜率二元函數:u=u(x,t)幾何意義——曲線曲率近似二階偏導數:二階偏導數物理意義——物體運動加速度弦的橫向振動問題

一根均勻柔軟的細弦線,一端固定在坐標原點,另一端沿x軸拉緊固定在x軸上的L處，受到擾動，開始沿x軸(平衡位置)作微小橫振動(細弦線上各點運動方向垂直于x軸).試建立細弦線上任意點位移函數u(x,t)所滿足的規律

.

uxT1T2Oxx+dxρgdsds設細弦上各點線密度為ρ,細弦上質點之間相互作用力為張力T(x，t)水平合力為零

T2cos2－T1cos1=0cos1≈cos2≈1

T2≈T1≈T

鉛直合力:F=maT(sin2－sin1)=ρdsuttsin

1

≈tan1T(tan2－tan1)

=ρdsutt

ds≈dx其中一維波動方程:

utt=a2uxx

考慮有恒外力密度f(x，t)作用時，可以得到一維波動方程的非齊次形式utt=a2uxx+f(x,t)T[ux(x+dx，t)－ux(x，t)]=ρdsutt

utt=a2uxx細桿的縱向振動問題細桿縱向振動時，細桿各點伸縮，質點位移u(x，t)改變，質點位移相對伸長為ux，截面應力P=YuxY是楊氏模量。截面的張力T=SP。

u(x,t)u(x+dx,t)xx+dxLO均勻細桿長為L，線密度為，楊氏模量為Y，桿的一端固定在坐標原點，細桿受到沿桿長方向的擾動(沿x軸方向的振動)桿上質點位移函數u(x，t)T(x,t)=SYux(x,t),T(x+dx,t)=SYux(x+dx,t)SY[ux(x+dx,t)–ux(x,t)]

用牛頓第二定律SY[ux(x+dx，t)－ux(x，t)]=

Sdxutt

令a2=Y/。化簡，得utt=a2uxx或由弦振在動問初題定刪解條鏈件細弦爬一端止固定沈在坐拜標原說點,另一驚端固里定在x軸上橋的L處.受到脆垂直雖于x軸方兔向的墾擾動,作微港小橫狹振動。初始河條件領包括父初始占位移古和初摩始速碧度u(x,t)|x=0=0扯,u(x,t)|x=L=0或:u(0閱,t)=黎0,u(L,t)=夜0初始兇條件:u(x,t)|t=0=(x),ut(x,t)|t=0=g(x)或:u(x,0籠)=(x)摸,ut(x,0嘆)=g(x)邊界碑條件表示亞端點薪狀態,初始永條件表示舟歷史室狀態OLL/2hxu波動敢方程浩定解鴿條件I波動債方程稻定解駛條件II細弦邁的線完密度崖為,一端培固定層在坐研標原黨點,另一潛端固視定在x軸上叛的L處.弦的露中點但受到號垂直江于x軸方協向的緒沖量I的作軟用,作微臣小橫拖振動。函數u(x,t)表示杯位移波動樸方程日定解聾條件II愛ILu(L,t)O細桿在x=辜0點固倒定,在x診=課L處受獵外力F(t)作用F(t)劃–SYux(L,t)耍=血0波動娃方程個定解偷條件IV弦的騰一端音固定抽在原裹點,另一稀端與x軸上L處的債彈簧浸相接.受到芒擾動,作上聲下微御小橫笨振動。在右端點廳處(張力=彈性億力)戶:Tux=-Ku令=T/暈K,得[u扁+ux]x=L=0習題2.走1（P.泛22）1、2、3、4偏微碰分方救程定解條件形小結:第一模種情性況:初始裝條件(求解千區域推為無輛界區轎域)第二依種情塘況:初邊撲值條矛件(求解紹區域碌為有癥界區女域)第一扶類邊連界條候件:給定耽函數給在邊塊界上護的函葵數值第二刻類邊廢界條戶件:給定綿函數四在邊炭界上頭的導貞數值第三薦類邊閣界條撞件:給定歐函數晶在邊擠界上疫的函惕數值籮和導靠數值大的線個性組劇合思考擦題弦振統動和凳簡