關于數據的平穩性及其檢驗第1頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三平穩性檢驗的圖示判斷給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩的。一個平穩的時間序列在圖形上往往表現出一種圍繞其均值不斷波動的過程；而非平穩序列則往往表現出在不同的時間段具有不同的均值（如持續上升或持續下降）。第2頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三進一步的判斷:

檢驗樣本自相關函數及其圖形

隨著滯后階數的增加，樣本自相關函數下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩序列要比非平穩序列快得多。第3頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例1

從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關系數迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。因此，初步判斷，該隨機過程是一個平穩過程。

第4頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例2：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關圖看，雖然自相關系數迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發散趨勢。因此，初步判斷，該隨機過程是一個是非平穩過程。

第5頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三平穩性的單位根檢驗第6頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

對時間序列的平穩性除了通過圖形直觀判斷外，運用統計量進行統計檢驗則是更為準確與重要的。

單位根檢驗（unitroottest）是統計檢驗中普遍應用的一種檢驗方法。1、DF檢驗我們已知道，隨機游走序列

Xt=Xt-1+t是非平穩的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型

Xt=Xt-1+t中參數=1時的情形。第7頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三也就是說，我們對式

Xt=Xt-1+t（*）

做回歸，如果確實發現=1，就說隨機變量Xt有一個單位根。

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(1-)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有

=0。第8頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

一般地:

檢驗一個時間序列Xt的平穩性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型

Xt=+Xt-1+t（*）中的參數是否小于1。

或者：檢驗其等價變形式

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數是否小于0。

第9頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三因此，針對式Xt=+Xt-1+t

我們關心的檢驗為：零假設H0：=0。

備擇假設H1：<0

上述檢驗可通過OLS法下的t檢驗完成。然而，在零假設（序列非平穩）下，即使在大樣本下t統計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗無法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統計量服從的分布（這時的t統計量稱為統計量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統計量的向下偏倚性，它呈現圍繞小于零值的偏態分布。第10頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

因此，可通過OLS法估計

Xt=+Xt-1+t并計算t統計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：

如果：t<臨界值，則拒絕零假設H0：

=0，認為時間序列不存在單位根，是平穩的。第11頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結果是相同的。例如：“如果計算得到的t統計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕ρ=0”的假設，原序列不存在單位根，為平穩序列。第12頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

進一步的問題：在上述使用Xt=+Xt-1+t對時間序列進行平穩性檢驗中，實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行估計均會表現出隨機誤差項出現自相關（autocorrelation），導致DF檢驗無效。另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導致上述檢驗中的自相關隨機誤差項問題。為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗。

2、ADF檢驗第13頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：

模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。

檢驗的假設都是：針對H1:<0,檢驗H0：=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數項和趨勢項。第14頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。

何時檢驗拒絕零假設，即原序列不存在單位根，為平穩序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續檢驗，直到檢驗完模型1為止。

檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應的臨界值。第15頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設H0：=0。1）只要其中有一個模型的檢驗結果拒絕了零假設，就可以認為時間序列是平穩的；2）當三個模型的檢驗結果都不能拒絕零假設時，則認為時間序列是非平穩的。這里所謂模型適當的形式就是在每個模型中選取適當的滯后差分項，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要保證不存在自相關）。一個簡單的檢驗過程：第16頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三單整、趨勢平穩與差分平穩隨機過程第17頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

隨機游走序列

Xt=Xt-1+t經差分后等價地變形為

Xt=t

由于t是一個白噪聲，因此差分后的序列{Xt}是平穩的。⒈單整第18頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

一般地，如果一個時間序列經過d次差分后變成平穩序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。顯然，I(0)代表一平穩時間序列?，F實經濟生活中:1)只有少數經濟指標的時間序列表現為平穩的，如利率等;2)大多數指標的時間序列是非平穩的，如一些價格指數常常是2階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現為1階單整。大多數非平穩的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式變為平穩的。但也有一些時間序列，無論經過多少次差分，都不能變為平穩的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。

如果一個時間序列經過一次差分變成平穩的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。第19頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

⒉趨勢平穩與差分平穩隨機過程

前文已指出，一些非平穩的經濟時間序列往往表現出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關聯關系，這時對這些數據進行回歸，盡管有較高的R2，但其結果是沒有任何實際意義的。這種現象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。如：用中國的勞動力時間序列數據與美國GDP時間序列作回歸，會得到較高的R2

，但不能認為兩者有直接的關聯關系，而只不過它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結果我們認為是虛假的。第20頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

為了避免這種虛假回歸的產生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。

然而這種做法，只有當趨勢性變量是確定性的（deterministic）而非隨機性的（stochastic），才會是有效的。換言之，如果一個包含有某種確定性趨勢的非平穩時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。第21頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

1)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機游走過程：

Xt=+Xt-1+t

（**）根據的正負，Xt表現出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為隨機性趨勢（stochastictrend）。

2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時間趨勢的隨機變化過程：

Xt=+t+t

（***）根據的正負，Xt表現出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為確定性趨勢（deterministictrend）。

考慮如下的含有一階自回歸的隨機過程：

Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，t為一時間趨勢。第22頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三3)如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機性兩種趨勢。

判斷一個非平穩的時間序列，它的趨勢是隨機性的還是確定性的，可通過ADF檢驗中所用的第3個模型進行。該模型中已引入了表示確定性趨勢的時間變量t，即分離出了確定性趨勢的影響。因此，(1)如果檢驗結果表明所給時間序列有單位根，且時間變量前的參數不顯著異于零，則該序列顯示出隨機性趨勢;

(2)如果沒有單位根，且時間變量前的參數顯著地異于零，則該