遼寧省沈陽(yáng)市第九十五中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

參考答案：A略2.已知全集,集合,則為（）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，設(shè)甲、乙兩人在這幾場(chǎng)比賽中的平均得分分別為，得分的方差分別為、，則（

）A．，

B．，

C．，

D．，

參考答案：A略4.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和EF所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】計(jì)算題．【分析】連接BC1，A1C1，A1B，根據(jù)正方體的幾何特征，我們能得到∠A1C1B即為異面直線AC和EF所成的角，判斷三角形A1C1B的形狀，即可得到異面直線AC和EF所成的角．【解答】解：連接BC1，A1C1，A1B，如圖所示：根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，則∠A1C1B即為異面直線AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B為等邊三角形故∠A1C1B=60°故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線及其所成的角，其中利用平移的方法，構(gòu)造∠A1C1B為異面直線AC和EF所成的角，是解答本題的關(guān)鍵．5.設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則的充要條件是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用不等式的基本性質(zhì)證明與可進(jìn)行互推.【詳解】對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行證明，即是的充要條件，必要性：若，則兩邊同時(shí)3次方式子仍成立，，成立；充分性：若成，兩邊開時(shí)開3次方根式子仍成立，，成立.【點(diǎn)睛】在證明充要條件時(shí)，要注意“必要性”與“充分性”的證明方向.6.把正方形沿對(duì)角線折起,當(dāng)以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成的角的大小為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.如果數(shù)據(jù)、、……的平均值為，方差為，則3+5，3+5，……3+5的平均值和方差分別為（

）A．和

B．3+5和9

C．3+5和

D．3+5和9+30+25參考答案：B8.下列推理是歸納推理的是()A.A、B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的軌跡為橢圓B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C.由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜出橢圓＋＝1的面積S＝πabD.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇參考答案：B略9.若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（

）A

B

C

D

參考答案：D略10.數(shù)列2，5，8，11，x，17，…中的x為(

)A．13 B．14 C．15 D．16參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】直接由數(shù)列的特點(diǎn)知，數(shù)列從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)比它的前一項(xiàng)多3，由此得到x的值．【解答】解：由數(shù)列2，5，8，11，x，17，…的特點(diǎn)看出，數(shù)列從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)比它的前一項(xiàng)多3，∴x=11+3=14．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示，考查學(xué)生的觀察問題和分析問題的能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.《萊因德紙草書》(RhindPapyrus)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一。書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給五人，使每人成等差數(shù)列，且使最大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小1份的大小是

參考答案：1012.一個(gè)體積為的正三棱柱（即底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面）

的三視圖如圖所示,則這個(gè)三棱柱的左視圖的面積為_______

參考答案：略13.(5分)對(duì)于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心”，且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱中心.請(qǐng)你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件.(1)函數(shù)的對(duì)稱中心為________.(2)若函數(shù)

.參考答案：(1).(1,1)

(2)9.14.（3x+sinx）dx=．參考答案：π2+1【考點(diǎn)】定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用．【分析】運(yùn)用微積分基本定理和定積分的運(yùn)算律計(jì)算即可．【解答】解：（3x+sinx）dx=3xdx+sinxdx=﹣cosx=π2﹣（﹣1）=π2+1故答案為：π2+115.如圖在△ABC中，AB=3，BC=，AC=2，若O為△ABC的外心，則=

，=．參考答案：2，.【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】設(shè)外接圓半徑為R，則═，故可求；根據(jù)，將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為：=，故可求．【解答】解：設(shè)外接圓半徑為R，則═==2同理═=所以=故答案為：2，﹣．16.函數(shù)的定義域?yàn)锳，若時(shí)總有為單函數(shù).例如，函數(shù)=2x+1（）是單函數(shù).下列命題：函數(shù)=（xR）是單函數(shù)；若為單函數(shù)，若f：AB為單函數(shù)，則對(duì)于任意bB，它至多有一個(gè)原象；函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù).其中的真命題是_______.（寫出所有真命題的編號(hào)）參考答案：②③17.若一個(gè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面積是底面積的倍，則該圓錐的體積為__________．參考答案：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，∵，∴，∴，∴圓錐的高，∴圓錐的體積三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，江的兩岸可近似地看出兩條平行的直線，江岸的一側(cè)有A，B兩個(gè)蔬菜基地，江岸的另一側(cè)點(diǎn)C處有一個(gè)超市.已知A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離為20千米，超市欲在AB之間建一個(gè)運(yùn)輸中轉(zhuǎn)站D，A，B兩處的蔬菜運(yùn)抵D處后，再統(tǒng)一經(jīng)過(guò)貨輪運(yùn)抵C處，由于A，B兩處蔬菜的差異，這兩處的運(yùn)輸費(fèi)用也不同.如果從A處出發(fā)的運(yùn)輸費(fèi)為每千米2元.從B處出發(fā)的運(yùn)輸費(fèi)為每千米1元，貨輪的運(yùn)輸費(fèi)為每千米3元.（1）設(shè)，試將運(yùn)輸總費(fèi)用S（單位：元）表示為的函數(shù)，并寫出自變量的取值范圍；（2）問中轉(zhuǎn)站D建在河處時(shí)，運(yùn)輸總費(fèi)用S最小？并求出最小值.參考答案：解：在中，由正弦定理知，則，則，.所以.即，.（2），令，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)，，.答：中轉(zhuǎn)站D建在C處千米處時(shí)，運(yùn)輸總費(fèi)用最小的為元.

19.為了展示中華漢字的無(wú)窮魅力，傳遞傳統(tǒng)文化，提高學(xué)習(xí)熱情，某校開展《中國(guó)漢字聽寫大會(huì)》的活動(dòng)．為響應(yīng)學(xué)校號(hào)召，高二班組建了興趣班，根據(jù)興趣班中甲、乙兩人近期8次成績(jī)畫出莖葉圖，如圖所示．（1）求甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）現(xiàn)要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度，你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加比較合適？參考答案：（1）由莖葉圖可知甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)為，

----------2分，

----------4分甲、乙兩人成績(jī)的中位數(shù)為，．

----------6分（2）派甲參加比較合適，理由如下：

----------8分

------10分∵，，∴兩人的平均成績(jī)相等，但甲的成績(jī)比較穩(wěn)定，派甲參加比較合適．

------------12分20.參考答案：21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，），離心率e=．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）過(guò)點(diǎn)Q（0，）的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與直線y=2交于點(diǎn)M（直線AB不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)），記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3，問：是否存在常數(shù)λ，使得+=？若存在，求出λ的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由已知條件設(shè)橢圓C的方程為，再由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，），能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，有，λ=2；當(dāng)直線AB斜率k存在時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB：，則，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，利用韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能推導(dǎo)出，故存在常數(shù)λ=2符合題意．【解答】解：（1）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0），離心率e=，∴，，∴a2=4b2