Z變換及Z傳遞函數(shù)關(guān)系

Z傳遞函數(shù)的定義

設(shè)n階定常離散系統(tǒng)的差分方程為：在零初始條件下，取Z變換則G(z)就稱為線性定常離散系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)。即：在零初始條件下離散系統(tǒng)的輸出與輸入序列的Z變換之比。

Z傳遞函數(shù)的定義

如果已知U(z)和G(z)，則在零初始條件下離散系統(tǒng)的輸出采樣信號(hào)為因此，求解y*(t)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為求系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)，這就表明Z傳遞函數(shù)G(z)可以表征線性離散系統(tǒng)的性能。

Z傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系

G(s)T

U(z)u(t)y(t)Y(z)G(z)u*(t)y*(t)T設(shè)G(s)的輸入為理想的脈沖信號(hào)脈沖響應(yīng)函數(shù)則輸出系統(tǒng)響應(yīng)的卷積積分公式對(duì)于任意輸入則輸出

Z傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系

設(shè)G(s)的輸入為任意脈沖序列，有則輸出響應(yīng)為上式描述了一個(gè)脈沖序列作用于連續(xù)系統(tǒng)時(shí)，連續(xù)系統(tǒng)輸出的表達(dá)式

Z傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系

用y(kT)來(lái)描述y(t)的特征，有對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)根據(jù)Z變換的卷積定理

Z傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系

Z傳遞函數(shù)的含義：系統(tǒng)Z傳遞函數(shù)G(z)就是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)g(t)的采樣值g*(t)的Z變換。因此，Z傳遞函數(shù)又稱為脈沖傳遞函數(shù)Z傳遞函數(shù)的求法

1．用拉氏反變換求脈沖過(guò)渡函數(shù)2．將g(t)按采樣周期T離散化，得g(kT)3．應(yīng)用定義求出Z傳遞函數(shù)，即G(z)不能由G(s)簡(jiǎn)單地令s=z代換得到。G(s)是g(t)的拉氏變換，G(z)是g(t)的Z變換。G(s)只與連續(xù)環(huán)節(jié)本身有關(guān)，G(z)除與連續(xù)環(huán)節(jié)本身有關(guān)外，還要包括采樣開關(guān)的作用。為了討論方便，將上述過(guò)程簡(jiǎn)記為例已知解式中e-Ts相當(dāng)于將采樣延遲了T時(shí)間。根據(jù)Z變換的線性定理和滯后定理，再通過(guò)查表，可得上式對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)為開環(huán)Z傳遞函數(shù)

串聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有兩種情況：—種是兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開關(guān)存在，即串聯(lián)環(huán)節(jié)之間的信號(hào)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)。

G1(s)Y(s)T

U(z)U(s)Y1(s)Y(z)G2(s)G(z)輸出Y(z)與輸入U(xiǎn)(z)之間總的Z傳遞函數(shù)并不等于兩個(gè)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之積。因?yàn)閮蓚€(gè)環(huán)節(jié)之間的信號(hào)傳遞是一個(gè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)，即上式對(duì)應(yīng)的Z傳遞函數(shù)為上式中符號(hào)是的縮寫，它表示先將串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)G1(s)與G2(s)相乘后，再求Z變換的過(guò)程。

另一種是兩個(gè)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開關(guān)存在。

G1(s)T

U(z)U(s)T

Y1(z)G2(s)Y(z)G(z)兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)，可由Z傳遞函數(shù)約定義直接求出。

串聯(lián)環(huán)節(jié)總的Z傳遞函數(shù)為

由上式可知，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開關(guān)隔開的Z傳遞函數(shù)，等于每個(gè)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)的乘積。在一般情況下，很容易證明：在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)引起注意。結(jié)論：n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)，若各串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開關(guān)，總的Z傳遞函數(shù)等于各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之積，即如果在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開關(guān)，需要將這些串聯(lián)環(huán)節(jié)看成一個(gè)整體，求出其傳遞函數(shù)然后再根據(jù)G(s)求G(z)。一般表示成

例：

已知分別求出串聯(lián)環(huán)節(jié)兩種情況的Z傳遞函數(shù)G(z)

并聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)對(duì)于兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)的離散系統(tǒng)，輸入采樣開關(guān)設(shè)在總的輸入端，其效果相當(dāng)于在每一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入端分別設(shè)置一個(gè)采樣開關(guān)。

G1(s)Y(s)TU(s)Y1(s)Y(z)(b)采樣開關(guān)在總輸入端G2(s)TY2(s)G1(s)TU(s)Y1(s)(a)采樣開關(guān)在各個(gè)環(huán)節(jié)輸入端G2(s)Y2(s)Y(s)Y(z)根據(jù)上圖可知，總的Z傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之和，即上述關(guān)系可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)、在總的輸出端與輸入端分別設(shè)有采樣開關(guān)時(shí)的情況。總的Z傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之和，即閉環(huán)Z傳遞函數(shù)

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號(hào)的Z變換為Y(z)，輸入信號(hào)的Z變換為R(z)，誤差信號(hào)的Z變換為E(z)，則有如下定義：

閉環(huán)Z傳遞函數(shù)：

閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)：

Y(z)E(z)R(z)G(s)例設(shè)離散系統(tǒng)如圖所示，求該系統(tǒng)的閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)及閉環(huán)Z傳遞函數(shù)。

Y(z)E(z)R(z)y(t)e*(t)r(t)e(t)TH(s)G(s)解：G(s)與H(s)為串聯(lián)環(huán)節(jié)且之間沒(méi)有采樣開關(guān)，則有閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)：又：閉環(huán)Z傳遞函數(shù)：

Y(z)E(z)R(z)y(t)e*(t)r(t)e(t)TH(s)G1(s)U(z)u*(t)TG2(s)Y(z)E(z)R(z)y(t)e*(t)r(t)Tk0kTE1(z)e1*(t)Z傳遞函數(shù)的物理可實(shí)現(xiàn)性

從物理概念上說(shuō)就是系統(tǒng)的輸出只能產(chǎn)生于輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)之后。這就是通常所說(shuō)的“因果”關(guān)系。設(shè)G(z)的一般表達(dá)式為：

不失一般性，假定其中的系統(tǒng)m≥0，n≥0，其余系數(shù)為任意給定值，則其對(duì)應(yīng)的差分方程為由上式知，k時(shí)刻的輸出y(k)不依賴于k時(shí)刻之后的輸入，只取決于k時(shí)刻及k時(shí)刻之前的輸入和k時(shí)刻之前的輸出。故G(z)是物理可實(shí)現(xiàn)的。

若設(shè)G(z)的一般表達(dá)式為

不失一般性，假定其中的系統(tǒng)m≥0，n≥0，其余系數(shù)為任意給定值，則

如果G(z)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則要求n≥m。否則，k時(shí)刻的輸出y(k)就要依賴于k時(shí)刻之后的輸入，這是物理不可實(shí)現(xiàn)的。在擾動(dòng)作用下的線性離散系統(tǒng)

線性離散系統(tǒng)除了參考輸入外，通常還存在擾動(dòng)作用，如圖所示。

根據(jù)線性系統(tǒng)的迭加原理，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)y(t)應(yīng)為參考輸入r(t)和擾動(dòng)作用f(t)分別單獨(dú)作用所引起響應(yīng)的迭加。f(t)U(z)u*(t