3.4基本不等式：【教學目標】1．知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解基本不等式的幾何意義,會簡單運用基本不等式；2．過程與方法：通過基本不等式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力；3．情感態(tài)度與價值觀：通過具體問題的提出、分析與解決，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，提高學習數(shù)學的興趣.【重點難點】教學重點：應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程；教學難點：基本不等式等號成立條件.【教學過程】一.課題導入如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系.源:Zxxk.Com]二.探究學習探究一探究圖形中的不等關系問題1：這會標中含有怎樣的幾何圖形？問題2：這些幾何圖形的面積有怎樣的相等關系或不等關系？將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形中有4個全等的直角三角形.設直角三角形的兩條直角邊長為，那么正方形的邊長為.這樣，4個直角三角形的面積的和為，正方形的面積為.由于正方形的面積大于4個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式：.想一想：它們有相等的情況嗎？何時相等？當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有.得到的結論:試一試：取為任意實數(shù)，結論都成立嗎？試一試：你能用學過的知識對它進行證明嗎？證明：（作差法）因為當時，，當時，所以，，即結論1：對于任意實數(shù)，有，當且僅當時，等號成立.探究二基本不等式問題3：如果，，我們用、分別代替、，可得到什么結論？如果，，有.結論2：通常我們把上式寫作：，這是一個基本不等式．1．適用范圍：，2.在數(shù)學中，我們稱為正數(shù)、的算術平均數(shù)，稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù).該基本不等式還可敘述為：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù).問題4:你能給出證明嗎？用分析法證明：要證=1\*GB3①只要證=2\*GB3②要證=2\*GB3②，只要證=3\*GB3③要證=3\*GB3③，只要證=4\*GB3④顯然，=4\*GB3④是成立的。當且僅當時，=4\*GB3④中的等號成立。探究三理解基本不等式的幾何意義問題５：你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？如圖，是圓的直徑，點是上一點，，．過點作垂直于的弦，連接．＝,如圖,可證∽,因而,由于小于或等于圓的半徑,用不等式表示為想一想:等號成立的條件?當且僅當點與圓心重合,即當時,等號成立.基本不等式幾何意義是：半弦長不大于半徑長.三．知識應用1．試判斷與2的大小關系？思考：如果將條件“”去掉，上述結論是否仍然成立？變式1．試判斷與2的大小關系？思考：在結論成立的基礎上，條件“”可以變化嗎？四．課堂小結（１），當且僅當時，等號成立（２），當且僅當時，等號成立五．布置作業(yè)課本100頁習題3.4A組1、2題學情分析學生在前面學習了用不等關系表示不等式、不等式的基本性質以及實數(shù)大小的比較方法，在初中學習了勾股定圓的幾何性質等與基本不等式的有關的知識。但是能否在具體問題情境中大仙不等關系，并抽象概括出基本不等式是本節(jié)教學的一個難點。另外，對不等式的證明，學生經(jīng)歷的少，這又是本節(jié)的另外一個難點。用基本不等式證明不等式，求最值、解決實際問題是學生的第三個難點。基于上述因素，在教學設計上可以通過合理的問題，引導學生自主發(fā)現(xiàn)、探究并證明。不等式應用問題上，應該由淺入深，不能盲目拔高。效果分析總體來說，在班里積極學習、主動參與討論、交流和展示的學生居多。整個課堂氣氛較為活躍，課堂檢測效果較好，基礎知識鞏固、落實效果好。學生通過導學案和課堂探究問題，能夠進行全方位訓練和提升,發(fā)揮了這種課堂教學模式的效用和魅力。教材分析基本不等式是本章最后一節(jié)，是繼一元二次不等式、簡單線性規(guī)劃之后又一工具性的知識,它是高中數(shù)學中解決最值問題的一個重要工具，同時在實際生活中也有著非常廣泛的應用。本節(jié)課的主要學習任務是通過趙爽弦圖中面積的直觀比較抽象出基本不等式,在此基礎上探究基本不等式的證明,了解分析法的思維過程，使學生體會數(shù)形結合的思想,進一步培養(yǎng)學生的抽象能力和推理論證能力。其中基本不等式的證明是從代數(shù)、幾何兩個方面展開,既有邏輯推理,又有直觀的幾何圖形,使得不等式的證明成為本節(jié)課的核心部分,自然也是本節(jié)課的重點。3.4基本不等式【學習目標】1．學會推導并掌握基本不等式，理解基本不等式的幾何意義,會簡單運用基本不等式；2．通過基本不等式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力；3．通過具體問題的提出、分析與解決，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，提高學習數(shù)學的興趣.【學習重點】應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程；【學習難點】基本不等式等號成立條件.【學習過程】一、課題導入如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系.源:Zxxk.Com]二、新知探究探究一、探究圖形中的不等關系問題1：這會標中含有怎樣的幾何圖形？問題2：這些幾何圖形的面積有怎樣的相等關系或不等關系？設直角三角形的兩條直角邊長為，那么正方形的邊長為.4個直角三角形的面積的和為，正方形的面積為.由于正方形的面積（填“大于”“小于”或“等于”）4個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式：.想一想：它們有相等的情況嗎？何時相等？得到的結論:試一試：取為任意實數(shù)，結論都成立嗎？試一試：你能用學過的知識對它進行證明嗎？證明：結論1：一般地，對于任意實數(shù)，，我們有。當且僅當時等號成立。探究二、基本不等式問題3：如果，，我們用、分別代替、，可得到什么結論？結論2：通常我們把上式寫作：，這是一個基本不等式．1．適用范圍：，2.在數(shù)學中，我們稱為正數(shù)、的算術平均數(shù)，稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù).該基本不等式還可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)它們的幾何平均數(shù)。問題4:你能給出證明嗎？證明：要證(1)只要證(2)要證（2），只要證-0（3）要證（3），只要證（-）0（4）顯然，（4）是成立的。當且僅當時，（4）中的等號成立。探究三、理解基本不等式的幾何意義問題５：你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？如圖，是圓的直徑，點是上一點，，．過點作垂直于的弦，①如何用a,b表示OD?OD=___②如何用a,b表示DC?DC=______③DC與OD的大小關系怎樣?DC_____OD想一想:等號成立的條件?基本不等式幾何意義是：abEabEBOACD三、知識應用1．試判斷與2的大小關系？思考：如果將條件“”去掉，上述結論是否仍然成立？變式1．試判斷與2的大小關系？思考：在結論成立的基礎上，條件“”可以變化嗎？四．課堂小結這節(jié)課我們學到了什么？（１），當且僅當時，等號成立（２），當且僅當時，等號成立五．布置作業(yè)課本100頁習題3.4A組第1、2題本節(jié)課的反思有以下幾點：教師的教學設計一定要貼近學生的實際情況，對于我們的學生，過高的要求只會打擊他們學習的積極性。例題的挑選需要照顧中等生。在講完例1后，我發(fā)現(xiàn)只有不到一半的學生理解了，只好馬上調整了例題，將原本設計好的題目改為后來的，題目盡管已經(jīng)很淺顯，但還是有部分學生沒理解透。課堂上通過一些有價值的問題調動學生學習的興趣。只有融洽的課堂氣氛才能有好的教學效果。教標分析《課程標準》對本節(jié)課有以下兩個方面的要求：探索