10．2.2復數的乘法與除法課程標準掌握復數代數表示式的乘除運算新知初探·自主學習——突出基礎性教材要點知識點一復數的乘法法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________．知識點二復數的乘法運算律對任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝____________結合律(z1·z2)·z3＝____________乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝____________知識點三共軛復數的性質(1)兩個共軛復數的對應點關于________對稱．(2)實數的共軛復數是________，即z＝z?z∈R.利用這個性質，可以證明一個復數是實數．(3)z·z＝________＝|z|2∈R.知識點四復數的除法法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，z1z2＝a+bi知識點五實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)在復數范圍內一定有兩個根．Δ＝b2－4ac.(1)當Δ≥0時有兩個實根．①Δ>0時有兩個不相等的實根：-b②Δ＝0時有兩個相等的實根：－b2a(2)Δ<0時有兩個互為共軛的虛數根：-b(3)若x1，x2是其兩個根，總有x基礎自測1．設復數z滿足iz＝1，其中i為虛數單位，則z等于()A．－iB．iC．－1D．12．i是虛數單位，復數7-i3+i3．設z＝3-i1+2i，則|z|＝A．2B．3C．2D．14．已知a，b∈R，i是虛數單位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，則a＋bi＝____________．課堂探究·素養提升——強化創新性題型1復數代數形式的乘除運算例1計算下列各題．(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；(3)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(4)8-i(5)1+i3(6)2+狀元隨筆(1)兩個復數代數形式乘法的一般方法①首先按多項式的乘法展開．②再將i2換成－1.③然后再進行復數的加、減運算，化簡為復數的代數形式．(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．③(1±i)2＝±2i.(3)復數的除法法則，通過分子、分母都乘以分母的共軛復數，使“分母實數化”，這個過程與“分母有理化”類似．方法歸納(1)復數的乘法可以把i看作字母，按多項式乘法的法則進行，注意要把i2化為－1，進行最后結果的化簡．復數的除法先寫成分式的形式，再把分母實數化(方法是分母與分子同時乘以分母的共軛復數，若分母是純虛數，則只需同時乘以i)．(2)利用某些特殊復數的運算結果，如(1±i)2＝±2i，(－12±32i)3＝1，1i＝－i，1+i1-i＝i，跟蹤訓練1計算：(1)(－12+32i)(3(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)．題型2共軛復數及其應用例2(1)已知復數z＝3+i1-3i2，z是z的共軛復數，則A．14B．12C．1D(2)已知復數z的共軛復數是z，且z－z＝－4i，z·z＝13，試求zz狀元隨筆設z＝x＋yi(x，y∈R)→由條件得方程組，求x方法歸納(1)已知關于z和z的方程，而復數z的代數形式未知，求z.解此類題的常規思路為：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，代入所給等式，利用復數相等的充要條件，轉化為方程(組)求解．(2)關于共軛復數的常用結論①z·z＝|z|2＝|z|2是共軛復數的常用性質；②實數的共軛復數是它本身，即z∈R?z＝z，利用此性質可以證明一個復數是實數；③若z≠0且z＋z＝0，則z為純虛數，利用此性質可證明一個復數是純虛數．跟蹤訓練2已知復數z滿足z·z＋2i·z＝4＋2i，求復數z.題型3虛數單位i的冪的周期性及其應用【思考探究】1.i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的結果分別是什么？[提示]1，i，－1，－i.2．in(n∈N)有幾種不同的結果？[提示]四種：1，i，－1，－i.3．in＋in＋1＋in＋2＋in＋3(n∈N)結果是多少？[提示]0.例3(1)計算：-23+i1+23i＋(2)若復數z＝1+i1-i，求1＋z＋z2＋…＋狀元隨筆將式子進行適當的化簡、變形，使之出現in的形式，然后再根據in的值的特點計算求解．方法歸納(1)要熟記in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解題時要注意根據式子的特點創造條件使之與in聯系起來以便計算求值．(2)記住以下結果，可提高運算速度①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②1-i1+i＝－i，1+i③1i＝－跟蹤訓練3(1)若z＝1-i1+i，求1＋z＋z2＋…＋(2)2+2i1-i2＋(題型4復數范圍內的一元二次方程(邏輯推理、數學運算)例4(1)若1＋2i是關于x的實系數方程x2＋bx＋c＝0的一個復數根，則()A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1(2)已知關于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實數根，則實數k的值為________.狀元隨筆(1)利用根與系數的關系求解；(2)設方程的實數根，利用復數相等的條件求解．方法歸納解決復數范圍內的一元二次方程問題的注意點(1)與在實數范圍內對比，在復數范圍內解決實系數一元二次方程問題，根與系數的關系和求根公式仍然適用，但是判別式判斷方程根的功能就發生改變了．(2)解決復系數一元二次方程的基本方法是復數相等的充要條件．跟蹤訓練4已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虛數單位)是實系數一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩個根，求p，q的值．10．2.2復數的乘法與除法新知初探·自主學習[教材要點]知識點一(ac－bd)＋(ad＋bc)i知識點二z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3知識點三(1)實軸(2)它本身(3)|z|2知識點四ac+bdc[基礎自測]1．解析：z＝1i＝－答案：A2．解析：7-i3+i＝7-i3答案：2－i3．解析：由z＝3-i1+2i，得|z|＝3-i答案：C4．解析：因為(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以a-1=0，a+1=b，解得a=1，b=2，所以答案：1＋2i課堂探究·素養提升例1【解析】(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.(3)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.(4)8-i2+i＝8-i2(5)1+i31-i2＝-2+2i-2i(6)2+2i＝-20+16i1＝-441+41i82＝－跟蹤訓練1解析：(1)-12+＝-34-＝-32+＝-3＝－1+3(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝-2+3i1+2i＝-2+6+3+4例2【解析】(1)方法一因為z＝3+i1-3i2＝-3i2+i1-3i2＝i1-3i1方法二因為z＝3+i1-3i2，所以|z|＝3+i1-3i2＝3+i(2)設z＝x＋yi(x，y∈R)，則由條件可得(x+yi)即2yi=解得x=3，y=因此z＝3－2i或z＝－3－2i.于是zz＝3-2i3+2i＝3-2i23+2i3-2i＝5-12i13【答案】(1)A(2)見解析跟蹤訓練2解析：設z＝x＋yi(x，y∈R)，則z＝x－yi，由題意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，∴x2+y2∴z＝1＋3i或z＝1－i.例3【解析】(1)原式＝i＝i＋2-2i1010＝i＋i1010＝i＋i4×252i2＝－(2)1＋z＋z2＋…＋z2018＝1-而z＝1+i1-i＝1+i21所以1＋z＋z2＋…＋z2018＝1-i20191跟蹤訓練3解析：(1)∵z＝1-i1+i＝1-∴1＋z＋z2＋…＋z2019＝1-z20201-z＝1(2)原式＝21+i-2i＋(＝i(1＋i)＋(－i)1010＝i＋i2＋(－1)1010·i1010＝i－1＋i4×252＋2＝i－1－1＝i－2