第五講概率與統計

微專題1統計與統計案例

命題者說

考題統計考情點擊

2018?全國卷I?統計圖表統計與統計案例的選擇題、填

的應用空題涉及的內容較為簡單，主要有

2018?江蘇高考（3?莖葉圖的抽樣方法、統計圖表的應用、用樣

應用本的數字特征估計總體、線性回歸

2017?全國卷IILT3?折線圖的及統計案例。涉及的分值一般為5

識別與應用分。

—析困點微緋_______幽巡四迎.考向調研o型河漁典m_____

考向一抽樣方法

【例1】（1）從編號為01,02,…，49,50的50個個體中利

用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法從隨機數表第1行第

5列的數開始由左到右依次抽取，則選出來的第5個個體的編號

為（）

78166572081214630782436997280198

32049234493582003623486969387481

A.14B.07

C.32D.43

（2）某班50名學生中有女生20名，按男女比例用分層抽樣的

方法，從全班學生中抽取部分學生進行調查，已知抽到的女生有

4名，則本次調查抽取的人數是（）

A.8B.10

C.12D.15

解析（1）由題意知選定的第一個數為65（第1行的第5歹U和

第6列），按由左到右選取兩位數（大于50的跳過、重復的不選取）,

前5個個體編號為08,12,14,07,43。故選出來的第5個個體的編

號為43o故選D。

(2)因為50名學生中有女生20名，按男女比例用分層抽樣的

4

方法，抽到的女生有4名，所以本次調查抽取的人數是50乂指=

10o故選B。

答案(1)D(2)B

方法悟通I

(1)解決此類題目的關鍵是深刻理解各種抽樣方法的特點和

適用范圍。但無論哪種抽樣方法，每一個個體被抽到的概率都是

相等的，都等于樣本容量與總體容量的比值。

(2)在系統抽樣的過程中，要注意分段間隔，需要抽取〃個個

體，樣本就需要分成〃個組，則分段間隔即為[[(N為樣本容量),

首先確定在第一組中抽取的個體的號碼數，再從后面的每組中按

規則抽取每個個體。

變成I訓I練

1.某班有學生60人，將這60名學生隨機編號為1?60號,

用系統抽樣的方法從中抽出4名學生，已知3號、33號、48號

學生在樣本中，則樣本中另一個學生的編號為()

A.28B.23

C.18D.13

解析抽樣間隔為竽=15,故另一個學生的編號為3+15=

180故選C。

答案C

2.某校有高級教師90人，一級教師120人，二級教師75

人，現按職稱用分層抽樣的方法抽取38人參加一項調查，則抽

取的一級教師人數為()

A.10B.12

C.16D.18

解析根據分層抽樣性質，設抽取的一級教師人數為相，則

120m左刀r,

QQ_|_120+75~38,解得"2=16。故選C。

答案c

考向二用樣本估計總體

微考向1:統計圖表的應用

[例2]（1）（2018?全國卷I）某地區經過一年的新農村建

設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番。為更好地了解該地

區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村

的經濟收入構成比例，得到如圖所示的餅圖：

建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例

則下面結論中不正確的是（）

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了

經濟收入的一半

（2）（2018?湖北部分重點中學模擬）某商場對某一商品搞活動,

已知該商品每一個的進價為3元，銷售價為8元，每天售出的第

20個及之后的半價出售。該商場統計了近10天這種商品的銷量,

如圖所示，設％（個）為每天商品的銷量，M元）為該商場每天銷售

這種商品的利潤。從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則

選出的這2天日利潤都是97元的概率為()

11

C,5D,8

解析(1)設新農村建設前的經濟收入為M,而新農村建設

后的經濟收入為2MMM所以增加了一倍，所以C項正

確；新農村建設后養殖收入與第三產業收入的總和占經濟收入的

30%+28%=58%>50%,所以超過了經濟收入的一半，所以D正

確。故選A。

5x,x=18,19,

(2)由題意知y=\,即y=

-[95+(x-19)(4-3),x=20,21,,

5x,x=18,19,

,當日銷量不少于20個時，日利泗不少于

〔76+%,x=20,21o

96元。當日銷量為20個時，日利潤為96元，當日銷量為21個

時，日利潤為97元，日利潤為96元的有3天，日利潤為97元

G1

的有2天，故所求概率為故選Bo

答案(1)A(2)B

MM

(1)餅圖顯示了各種不同成份所占的比例，但要注意本題的兩

個餅圖總量是不同的，應分別計算出兩個餅圖的各組成部分的量

的大小，才能進行比較。

頻率

（2）頻率分布直方圖中橫坐標表示組距，縱坐標表示蠢，頻

頻率

率=組距X篩。頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1。

變I式I訓I練

1.（2018?南寧摸底聯考）已知某地區中小學生人數和近視情

況分別如圖①和圖②所示。為了了解該地區中小學生的近視形成

原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量

和抽取的高中生近視人數分別為（

A.100,20B.200,20

C.200,10D.100,10

解析由題圖①可知學生總人數是10000,樣本容量為10

000X2%=200,抽取的高中生人數是2000X2%=40,由題圖②

可知高中生的近視率為50%,所以高中生的近視人數為40X50%

=20o故選B。

答案B

2.（2018?貴陽監測考試）在某中學舉行的環保知識競賽中，

將三個年級參賽學生的成績進行整理后分為5組，繪制如圖所示

的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第

80?100

C.20D.25

40

解析X10=0.4,因為頻數是40,所以樣本容量是0=100,

又成績在80―100分的頻率是(0.010+0.005)X10=0.15,所以成

績在80?100分的學生人數是100X0.15=15。故選A。

答案A

微考向2：用樣本的數字特征估計總體

[例3]某班男女生各10名同學最近一周平均每天的鍛

煉時間(單位：分鐘)用莖葉圖記錄如下：

男生女生

45

668

8665228

535

假設每名同學最近一周平均每天的鍛煉時間是互相獨立的。

①男生每天鍛煉的時間差別小，女生每天鍛煉的時間差別

大；

②從平均值分析，男生每天鍛煉的時間比女生多;

③男生平均每天鍛煉時間的標準差大于女生平均每天鍛煉

時間的標準差；

④從10個男生中任選一人，平均每天的鍛煉時間超過65分

鐘的概率比同樣條件下女生鍛煉時間超過65分鐘的概率大。

其中符合莖葉圖所給數據的結論是（）

A.①②③B.②③④

C.①②④D.①③④

解析由莖葉圖知，男生每天鍛煉時間差別小，女生差別大，

①正確。男生平均每天鍛煉時間超過65分鐘的概率P=觸;,

42

女生平均每天鍛煉時間超過65分鐘的概率02=而=予P\>Pi,

因此④正確。設男生、女生兩組數據的平均數分別為捻甲，7c,

標準差分別為s甲，s乙。易求%甲=65.2,%乙=61.8,知工甲>%乙，

②正確。又根據莖葉圖，男生鍛煉時間較集中，女生鍛煉時間較

分散，所以s甲《乙，③錯誤，因此符合莖葉圖所給數據的結論是

①②④。故選C。

答案C

平均數與方差都是重要的數字特征，是對數據的一種簡明描

述，它們所反映的情況有著重要的實際意義。平均數、中位數、

眾數描述數據的集中趨勢，方差和標準差描述數據的波動大小。

變I式I訓I練

1.（2018?江蘇高考）已知5位裁判給某運動員打出的分數的莖

葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數的平均數為

899

9011

解析由莖葉圖可得分數的平均數為

89+89+90+91+91

-------------5-------------=90o

答案90

2.（2018?茂名五大聯盟學校聯考）甲，乙兩組數的數據如莖

葉圖所示，則甲、乙的平均數、方差、極差及中位數相同的是（）

甲乙

5016

62148

512

7389

A.極差B.方差

C.平均數D.中位數

解析由題中莖葉圖中數據的分布，可知方差不同，極差不

同，甲的中位數為16,21=185,乙的中位數為I4,底=[6,三

5+16+12+25+21+3758—1+6+14+18+38+39

甲=6=至,%乙=6

=y,所以甲、乙的平均數相同。故選C。

答案C

考向三統計案例

【例4】（1）（2018?福州四校聯考）某汽車的使用年數％與所

支出的維修總費用y的統計數據如表：

使用年數力年12345

維修總費用y/萬元

根據上表可得y關于％的線性回歸方程￡=樂一0.69,若該汽

車維修總費用超過10萬元就不再維修，直接報廢，據此模型預

測該汽車最多可使用(不足1年按1年計算)()

A.8年B.9年

C.10年D.11年

(2)為大力提倡“厲行節約，反對浪費”，某市通過隨機詢問

100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動，得到如下的列

聯表：

做不到“光盤”能做到“光盤”

男4510

女3015

附:

P(蜉2幻

k

2_______/(ad-hep______

K(a+b)(c-\-d)(a+c)(b+d)°

參照附表，得到的正確結論是()

A.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民

能否做到‘光盤'與性別有關”

B.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民

能否做到‘光盤'與性別無關”

C.有90%以上的把握認為“該市居民能否做到'光盤'與

性別有關”

D.有90%以上的把握認為“該市居民能否做到‘光盤'與

性別無關”

解析(1)由y關于％的線性回歸直線;=金%—0.69過樣本點

的中心(3,2.34),得金=1.01,即線性回歸方程為$%—0.69,由如

-0.69=10,得％Q10.6,所以預測該汽車最多可使用11年。故

選D。

(2)由題設知，a=45,6=10,c=30,d—15,所以K2=

100X(45X15—30X10)2「上

---等不70―-^3.030o2.706<3.030<3.841o由附表可

□JX4JX/jXzj

知，有90%以上的把握認為“該市居民能否做到'光盤'與性別

有關”，故選C。

答案(1)D(2)C

方法悟通I

(1)在分析兩個變量的相關關系時，可根據樣本數據作出散點

圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關

系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值；回歸直線過樣

本點的中心(工，J),應引起關注。

(2)獨立性檢驗問題，要確定2X2列聯表中的對應數據，然

后代入肥求解即可。

變I式I訓I練

1.隨機采訪50名觀眾對某電視節目的滿意度，得到如下列

聯表：

單位：人

滿意不滿意總計

男102030

女15520

總計252550

附表和公式如下:

P（心可

k

K2=（a+A）（c+d）（a+c）S+c/）'其中〃="+”+。+”為樣本

容量。

根據以上數據可知（）

A.有95%的把握認為對電視節目的滿意度與性別無關

B.有99%的把握認為對電視節目的滿意度與性別無關

C.有99%的把握認為對電視節目的滿意度與性別有關

D.有95%的把握認為對電視節目的滿意度與性別有關

解析由于蜉:「8.333>6.635,所以

ZDAZJAJUAZU

有99%的把握認為對電視節目的滿意度與性別有關，故選Co

答案C

2.設某市現代中學的男生體重y（單位：kg）與身高工（單位：

cm）具有線性相關關系，根據樣本數據（即，y）（i=l,2,…，〃），用

最小二乘法建立的回歸方程為拿一99.88,給出下列結論：

①y與工具有正的線性相關關系；

②回歸直線過樣本點的中心（工，J）；

③若該中學某男生身高增加1cm,則其體重約增加0.95kg；

④若該中學某男生身高為180cm,則可預測其體重約為

71.12kgo

其中正確的結論是o

解析依題意知②正確；因為8:一99.88,0.95>0,故①正確；

若身高了增加1,則其體重約為￡=0.95（%%—99.88+0.95,約增加

0.95kg,故③正確；若男生身高為180cm,則其體重約為$X180

-99.88=71.12kg,故④正確。

答案①②③④

■突破?壓軸小題

1.（考向一）（2018?福州質檢）為了解某地區的“微信健步走”

活動情況，擬從該地區的人群中抽取部分人員進行調查，事先已

了解到該地區老、中、青三個年齡段人員的“微信健步走”活動

情況有較大差異，而男女“微信健步走”活動情況差異不大。在

下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）

A.簡單隨機抽樣B.按性別分層抽樣

C.按年齡段分層抽樣D.系統抽樣

答案C

2.（考向二）（2018?新余二模）為了解戶籍、性別對生育二胎選

擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的樣

本，其中城鎮戶籍與農村戶籍各50人；男性60人，女性40人,

繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人

數比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對

應比例，則下列敘述中錯誤的是（）

111

城鎮戶籍農村戶籍男性女性

A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關

B.是否傾向選擇生育二胎與性別無關

C.傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數與女性人數相同

D.傾向選擇不生育二胎的人員中，農村戶籍人數少于城鎮

戶籍人數

解析由題圖，可得是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關、性

別無關，傾向選擇不生育二胎的人員中，農村戶籍人數少于城鎮

戶籍人數，傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數為60X60%=

36,女性人數為40X60%=24,不相同。故選C。

答案C

3.（考向二）（2018?榆林模擬）某學校為了調查學生在學科教輔

書方面的支出情況，抽出了一個容量為〃的樣本，其頻率分布直

方圖如圖所示，其中支出的錢數在[30,40）的同學比支出的錢數在

[10,20）的同學多26人，則〃的值為o

卜頻率

組距

0.038-------------------

0.020--------------

0.012—

01020304050支出/元

解析XIOH