考研數學各個科目的考點詳解考研數學三大科目考點解析

一、高等數學

高數是考研數學的重中之重。高數真題體現出以下規律：側重對數學(一)、(二)、(三)獨有學問的考查。多元積分部分的曲線積分、曲面積分及幾大公式(格林、高斯和斯托克斯)是數學(一)的獨有內容，也是必考內容。今年有一道考查三重積分計算的填空題和考查曲線積分的解答題;曲率、形心質心和其他物理應用是數學(二)常考內容，今年就考了一道關于溫度變化的解答題;數三的特色是經濟應用建立收益、成本、銷量、價格等經濟變量的函數關系、邊際收益和邊際成本、彈性問題，今年考了經濟應用的解答題。

考查考生運用數學學問分析問題、解決問題的力量。上文提到的幾何應用、物理應用和經濟應用即為證明。

考點掩蓋較全。上表列出的數學(三)的高數考點即為例證。提示考生不要心存僥幸心理，要全面復習。

二、線性代數

線代的規律若用兩個關鍵字概括，為"綜合'和"敏捷'。線代這門學科的學問結構是一個網狀結構，學問點之間的聯系特別多。請思索一個問題：矩陣可逆有哪些等價條件?從行列式的角度，為矩陣的行列式不等于零;從向量組的角度，是矩陣的行向量組或列向量組線性無關;從線性方程組的角度，是以矩陣為系數矩陣的齊次線性方程組僅有零解或矩陣為系數矩陣的非齊次線性方程組有唯一解;從秩的角度，是矩陣滿秩;從特征值的角度，是矩陣的特征值不含零;從二次型的角度，為矩陣的轉置乘矩陣這個新矩陣正定。不難看到，從一個核心概念"矩陣可逆'動身，可以把整個線性代數的五章全串起來。既然學問點的聯系如此之多，那么一道題聯系多個考點或需考生從不同角度考慮就很自然了。這提示考生復習線代時，不僅要注意基本學問點的復習，也要重視學問點之間的聯系。

三、概率論

概率是三科中題型最固定的：哪考大題哪考小題特別清晰。依據對歷年真題的分析，不難發覺，概率常考大題的點有：邊緣分布和條件分布，隨機變量函數的分布和參數估量。其他考點考小題或大題的一問，如隨機大事與概率，數字特征，常用統計量及統計分布。既然概率規律如此明顯，那考生復習時可以在打牢基礎的前提下關注意點。

考研數學通過做題提高成果的三點建議

1.切忌眼高手低

眼高手低是許多考生在復習數學時易犯的錯誤，許多考生對基礎性的東西不屑一顧，認為這些內容很簡潔，用不著下勁復習，還有的考生只是看，認為看懂就行了，很少下筆去做題，結果在最終的考試中眼熟手生，難以取得好的成果。所以，在復習數學時肯定要腳踏實地，一步一個腳印，就像下象棋，要取敵方老帥，就要老狡猾實戰敗全部兵卒，穩扎穩打，步步為營，這樣的話，才能以不變應萬變，在最終的實考中占據主動!

2.基礎是提高的`前提

基礎的重要性已不言而喻，但是只注意基礎，也是不行的。太注意基礎，就會拘泥于書本，難以適應考研試題。打好基礎的目的就是為了提高。但太重提高就會基礎不牢，導致頭重腳輕，力不從心。考生要明白基礎與提高的辯證關系，依據自身狀況合理支配復習進度，處理好打基礎和提高力量兩者的關系。一般來說，基礎與提高是交叉和分段進行的，在一個時期的某一個階段以基礎為主，基礎扎實了，再行提高。然后又進入了另一個階段，同樣還要先扎實基礎再提高水平，如此反復循環?？忌谶@個過程中簡單遇到這樣的問題，就是感覺自己經過基礎復習或一段時間的提高后幾乎不再有所進步，甚至感到越學越退步，遇到這種狀況，考生千萬不要氣餒，要堅信自己的力量，只要復習方法沒有問題，就應當堅持下去。雖然表面上感到沒有進步，但實際水平其實已經在不知不覺中提高了，由于在這個時期考生已經熟悉到了自己的不足，正處于調整和進步中。這個時候需要的就是考生的意志力，考研原來就是一場意志力的競賽，不僅需要豐富的學問和較高的力量，更要有頑強的意志力。只要堅持下去，就有勝利的盼望。

3.按題型分類進行

解題訓練最好按題型進行分類復習，對于任何一個同學而言，都可能有自己很擅長的某些類型的題，相反的，也有一些不太熟識或者不會做的題型，這在復習的過程中也當有所側重。例如復習大全當中的典型例題解析部分，就對各個章節的題目都進行了細致劃分，且在題目解答部分給出一題多解的多種解題方法，極大程度拓寬同學們的思路，把握多種解題方法和要領。第一遍復習的時候，需要仔細討論各種題型的求解思路和方法，做到心中有數，同時對自己的強項和薄弱環節有清晰的熟悉，其次遍復習的時候就可以有針對性地加強自己不擅長的題型的練習了，經過這樣兩邊的系統梳理，信任解題力量肯定會有飛躍性的提高。

考研數學必考的4個定理證明

一、求導公式的證明

20xx年真題考了一個證明題：證明兩個函數乘積的導數公式。幾乎每位同學都對這個公式怎么用比較熟識，而對它怎么來的較為生疏。實際上，從授課的角度，這種在20xx年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎階段講到。假如這個階段的考生帶焦急功近利的心態只關注結論怎么用，而不關懷結論怎么來的，那很可能從未仔細思索過該公式的證明過程，進而在考場上變得很被動。這里給2023考研學子提個醒：要重視基礎階段的復習，那些真題中未考過的重要結論的證明，有可能考到，不要放過。

當然，該公式的證明并不難。先考慮f(x)*g(x)在點x0處的導數。函數在一點的導數自然用導數定義考察，可以根據導數定義寫出一個極限式子。該極限為"0分之0'型，但不能用洛必達法則，由于分子的導數不好算(乘積的導數公式恰好是要證的，不能用!)。利用數學上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個"無中生有'的項要和前后都有聯系，便于提公因子。之后分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點的導數公式。

類似可考慮f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的導數公式的證明。

二、微分中值定理的證明

這一部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。

費馬引理的條件有兩個：1.f(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結論為f(x0)=0?？紤]函數在一點的導數，用什么方法?自然想到導數定義。我們可以根據導數定義寫出f(x0)的極限形式。往下如何推理?關鍵要看其次個條件怎么用。"f(x0)為f(x)的極值'翻譯成數學語言即f(x)-f(x0)0(或0)，對x0的某去心鄰域成立。結合導數定義式中函數部分表達式，不難想到考慮函數部分的正負號。若能得出函數部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋梁。

費馬引理中的"引理'包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要爭論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結論想必各位都比較熟識。條件有三："閉區間連續'、"開區間可導'和"端值相等'，結論是在開區間存在一點(即所謂的中值)，使得函數在該點的導數為0。該定理的證明不好理解，需仔細體會：條件怎么用?如何和結論建立聯系?當然，我們現在爭論該定理的證明是"馬后炮'式的：已經有了證明過程，我們看看怎么去理解把握。假如在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創新，是要流芳百世的。

閑言少敘，言歸正傳。既然我們爭論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結論，不難發覺是全都的：都是函數在一點的導數為0。話說到這，可能有同學要說：羅爾定理的證明并不難呀，由費馬引理得結論不就行了。大方向對，但過程沒這么簡潔。起碼要說清一點：費馬引理的條件是否滿意，為什么滿意?

前面提過費馬引理的條件有兩個"可導'和"取極值'，"可導'不難推斷是成立的，那么"取極值'呢?好像不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產生聯系。留意到羅爾定理的第一個條件是函數在閉區間上連續。我們知道閉區間上的連續函數有很好的性質，哪條性質和極值有聯系呢?不難想到最值定理。那么最值和極值是什么關系?這個點需要想清晰，由于直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區間內部，則最值為極值;若最值均取在區間端點，則最值不為極值。那么接下來，分兩種狀況爭論即可：若最值取在區間內部，此種狀況下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區間端點，留意到已知條件第三條告知我們端點函數值相等，由此推出函數在整個閉區間上的最大值和最小值相等，這意味著函數在整個區間的表達式恒為常數，那在開區間上任取一點都能使結論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。把握這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現出來的基本思路，適用于證其它結論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形，變成羅爾定理結論的形式，移項即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對哪個函數用羅爾定理的結果。這就是構造幫助函數的過程看等號左側的式子是哪個函數求導后，把x換成中值的結果。這個過程有點像犯罪現場調查：依據這個犯罪現場，反推嫌疑人是誰。當然，構造幫助函數遠比破案要簡潔，簡潔的題目直接觀看;簡單一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數求不定積分。

三、微積分基本定理的證明

該部分包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區間連續，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數的自變量。留意該求導公式對閉區間成立，而閉區間上的導數要區分對待：對應開區間上每一點的導數是一類，而區間端點處的導數屬單側導數?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至于導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思索的權利了。單側導數類似考慮。

"牛頓-萊布尼茨公式是聯系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明白微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從今微積分成為一門真正的學科。'這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能嫻熟運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟識的考生并不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區間連續，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區間上的一個原函數，結論是f(x)在該區間上的定積分等于其原函數在區間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難推斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。留意到該公式的另一個條件提到了原函數，那么我們把變限積分求導定理的結論用原函數的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數為f(x)在閉區間上的另一個原函數。依據原函數的概念，我們知道同一個函數的兩個原函數之間只差個常數，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數加某個常數C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。

四、積分中值定理

該定理條件是定積分的被積函數在積分區間(閉區間)上連續，結論可以形式地記成該定積分等于把被積函數拎到積分號外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學想到用微分中值定理，理由是微分相關定理的結論中含有中值?？梢愿鶕怂悸吠路治?，不過更易理解的思路是考慮連續相關定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續相關定理的結論中不但含有中值而且不含導數，而待證的積分中值定理的結論也是含有中值但不含導數。

若我們選擇了用連續相關定理去證，那么究竟選擇哪個定理呢?這里有個小的技巧看中值是位于閉區間還是開區間。介值定理和零點存在定理的結論中的中值分別位于閉區間和開區間，而待證的積分中值定理的結論中的中值位于閉區間。那么何去何從，已經不言自明白。

若順當選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結論：介值定理的結論的等式一邊為某點處的函數值，而等號另一邊為常數A。我們自然想到把積分中值定理的結論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區間長度，就能達到我們的要求。當然，變形后等號一側含有積分的式子的