關于高中數學的一些想法東北師范大學史寧中2014年10月目錄

（一）義務教育數學課程標準理念

（二）高中數學課程標準體例

（三）高中數學課程核心素養一、義務教育數學課程標準理念教育理念：以人為本（傳統理念以知識為本）工作方針：育人為本（綱要）；立德樹人（十八大）以人為本：以學生的發展為本；站在學生的立場思考問題轉換尊重的教育：教育規律；認知規律；受教育者的人格人性以學習為本：實現從“如何教”到“如何學”的轉變

了解學生如何接受（青蛙跳水）

如何啟發學生思考（幾何作圖）

課程理念：每個人都能獲得良好的數學教育；

不同的人在數學上得到不同的發展。人成功的基礎：知識技能+把握機遇+思維方法

學習數學，除了獲取必要的數學知識和掌握必要的數學技能之外，還要獲得基本的數學素養。會想問題、會做事情。課程目標包括三條提出四基：基礎知識、基本技能+基本思想、基本活動經驗提出四能：發現問題、提出問題+分析問題、解決問題科學精神：敢于質疑，善于思考，實事求是，一絲不茍什么是數學的基本思想？數形結合、等量替換、消元法、遞歸法？

數學的產生與發展必須依賴的思想；

學習數學與沒學習數學的思維差異。抽象：現實→數學。數量與數量關系；圖形與圖形關系。

數學具有一般性。學習過數學的人抽象能力強。推理：數學→數學。得到并且驗證數學的結果：命題。

數學具有嚴謹性。學習過數學的人推理能力強。模型：數學→現實。用數學的語言講述現實世界的故事。

數學具有應用的廣泛性。學習過數學的人會一般性思考。關于抽象亞里士多德：數學家用抽象的方法對事物進行研究，去掉事物中那些感性的東西（顏色、溫度）。對于數學而言，線、角、或者其他的量的定義，不是作為存在而是作為關系。數學抽象包括：數量與數量關系、圖形與圖形關系。通過抽象得到：研究對象的概念、研究對象的關系；運算方法和運算法則、度量方法。抽象分兩個層次：對應起名（外延）；本質描述（內涵）。關于數的抽象（對應、去掉物理屬性）什么是數：數量→數（估算與近似計算的區別）數量的本質多與少→數的本質大與小

3個蘋果比2個蘋果多→3比2大什么是加法：□□□←□，所以3+1=4？□□□□□□□哪邊的小方塊多？□□□←□□□□□哪邊的小方塊多？所以3+1=4。等號是指兩邊的量相等。方程的意義：講兩個故事，兩個故事量相等。自然數（加法）→整數（減法：加法的逆運算）→有理數（除法：乘法的逆運算）；有理數=分數→無理數（不能寫成分數的形式）→實數=有理數+無理數（小數形式的表達）為了解釋微積分、為了解釋極限運算需要實數的連續性：可以理解1/n→0，如何理解x→0?需要無理數的運算：√2+√3=?

√2·√3=√2·3?極限運算：柯西(1821)

從柯西開始，現代數學走向了符號化、形式化、公理化1872年，康托用柯西基本序列的方法定義了實數

解決了實數的運算問題√a·√b=√a·b？

柯西有理數列：an→√a,bn→√b,

極限運算法則：an2→a,bn2→b，an2·bn2→a·b

有理數列：{an2·bn2}≡{(an·bn)2}確定實數a·b

柯西有理數列：an·bn確定實數√a·b，所以√a·√b=√a·b1872年，戴德金用有理數分割的方法重新定義了實數

有理數分割三種可能；實數分割兩種可能

解決了實數的連續性問題1889年，皮亞諾用公理體系重新定義了自然數（九個公理）

后續數方法：從1開始，后續為2=1+1；加法1+1=2。

后來（10年）從0開始。1908年，策梅羅構建了集合公理化體系（九個公理）抽象的存在鄭板橋：我畫的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。

關于數學的推理推理：一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。命題：可以進行是否判斷的陳述句。

數學命題可供判斷：這個三角形是紅的（不是數學命題）

數學命題僅供判斷：三角形內角和180度

三角形內角和120度（都是命題）數學命題兩種形式：

性質命題（系詞結構：…是…）關系命題（條件結論：如果…，那么…）數學推理是有邏輯的推理：命題內涵之間具有傳遞性。演繹推理：命題內涵由大到小，得到結果是必然的。驗證結論。

A→P，x∈A，x→P。

凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死。歸納推理：命題內涵由小到大，得到結果是或然的。發現結論。

x→P，x∈A，A→P。

蘇格拉底是人，蘇格拉底有死，所以凡人都有死。無邏輯的推理：命題之間沒有傳遞性。

蘋果是酸的，酸是一種味道，所以蘋果是一種味道。演繹推理基礎：同一律、矛盾律、排中律、公理（定理）、假設包括：三段論、假言三段論、反證法、完全歸納法、數學歸納法、

數字與符號運算（算法邏輯）形式：已知A

求證B。

A和B都是確定性命題。功能：可以驗證結論。

不能用于發現真理，但可以發現謬誤。歸納推理

通過經驗過的東西推斷沒有經驗的東西從小范圍的結論推斷大范圍的結論。包括：歸納法、類比、實驗數據、試驗數據、調查數據歸納法：代數（哥德巴赫猜想、平方和公式）類比法：幾何（龐加萊猜想、愛因斯坦時空)

歸納推理就是“看出”結果，這是創新的根本。在我國，過去的數學教育缺少這種能力的培養。因此，這種能力的培養將是我國未來教育教學改革的難點和重點。針對現代數學符號化、形式化、公理化的特點，應當采取有相應的教學方法：

表達是符號的，教學應當是現實的；證明是形式的，教學應當是直觀的；體系是公理的，教學應當是歸納的。即：教學需要反其道而行之

抽象到具體：舉例說明、直觀描述。一般到特殊：高維空間到低維空間。是教學改革的一個難點，也是為廣大教師提供了一個舞臺。關于數學模型什么是數學模型？2x、y=5x2

是不是模型？數學模型：用數學的語言講述現實世界中的故事。語言：概念、符號、公式；故事：與數量（數字化）有關、與圖形有關。力的模型（第二定律）：F=ma重力加速度模型：s=gt2/2伯努利模型：B(1,p)→B(n,p)凱恩斯學派強調政府對于市場的干預凱恩斯靜態模型兩個方程第一個方程：收入=消費+投資第二個方程：消費=基本+收入比例其中Y：國民收入；C：國民消費；I：國民投資；a0為基本消費；a為消費傾向：a≦1。通過計算可以得到a越接近1，消費傾向越強，國民收入越高。二、高中課程標準體例高中階段教育：基礎性、選擇性、時代性必修（8學分、一學年）：學業水平考試；分等級選修Ⅰ（6學分、二學年）：?？瓶梢圆粚W；作為高考成績選修Ⅱ

（6學分、三學年）：自主招生院校必修：強調基礎性與時代性函數與數列：集合、函數、基本初等函數、數列、不等式向量與幾何：向量、立體幾何初步、平面解析幾何初步統計與概率：隨機抽樣、誤差模型、估計、古典概型選修Ⅰ（6學分）：選擇性與基礎性導數、函數的性質、優化、算法、伯努利模型、列聯表選修Ⅱ

（6學分）：選擇性與時代性

理工方向：變換、基于模型的統計與概率社會方向：經濟模型、運籌優化人文方向：概念命題、邏輯推理藝術方向：基于數學的美，對稱、周期、和諧自主招生考試：學校指定、學生選擇、分類錄取

三、高中數學核心素養兩個層次：通識、數學通識素養：會學學習，應用能力（應用意識），創新意識。數學素養：抽象概括（數感、符號意識），運算能力，推理能力，

數學建模（模型思想），幾何直觀（+空間觀念），

數據分析觀念。表述：數學理解，審美能力，數學表達交流合作能力?？荚嚕阂院诵乃仞B為準則。謝謝！什么是：除法是乘法的逆運算？關聯問題：為什么除分數等于乘分數的倒數？

有鵝4只，是鴨子的1/3，問有幾只鴨子？

4÷1/3=4×3=12?分數：等分關系；比例關系。除法是乘法的逆運算：？=

4÷1/3→？×1/3=

4

？×1/3×3=

4×3？=

4×3？=

4÷1/3=

4×3已知

1+2+…+n=n(n+1)/2，推斷平方和

12+22+…+n2=？立方和13+23+…+n3=？歸納的方法：

n12345

和

1361015

平方和

15143055

立方和

1936100225→立方和=和×和=n2(n+1)2/4

平方和=和×A

n=2，和

=

5=3×5/3；n=3，和

=

14=6×7/3；

n=4，和

=30=10×9/3；n=5，和

=55=15×11/3。→

A=(2n+1)/3→

平方和

=n(n+1)(2n+1)/6

如何理解集合？集合的定義由描述走向符號化

研究對象的全體→可分辨的、研究對象的全體→具有某種特性的、研究對象的全體1918年羅素給出悖論：

一個鄉村理發師說，他不給村里自己刮臉的人刮臉，但給所有不自己刮臉的人刮臉。

后來他遇到了尷尬，他是否應當給自己刮臉呢？

如果他給自己刮臉，那么按照他說的前一半，就不應當給自己刮臉；如果他不給自己刮臉，那么按照他說的后一半，就應當給自己刮臉。理發師陷入了邏輯兩難的困境。符號化定義（Z-F公理體系）

用大寫字母A表示集合；用小寫字母a表示元素；用∈表示屬于關系。如果元素a屬于集合A，則表示為a∈A。集合由元素唯一確定：

1.外延公理。對于兩個集合A和B，如果A中的任一元素都是B中的元素，B中的任一元素都是A中的元素，則這兩個集合是同一集合，記為：A≡B。集合的性質與分類。集合的不重復性是什么意思？集合的無序性是什么意思？函數：初中變量說、高中對應說，為什么？

f1(x)=sin2x+cos2x，f2(x)=1。這兩個函數是一樣的嗎？對應說：定義域、值域、對應（映射）；集合、對應關系。三角函數：初中在直角三角形中講、高中在單位圓中講，為什么？對數函數與指數函數的關系？如何定義幾何的點線面？歐幾里得概念：點沒有部分。線只有長度沒有寬度。面只有長度和寬度。

平行公理：過直線外一點能且只能做一條平行線。帶來很多的問題點線：兩條直線相交一定交于一點？平行：兩條永遠不相交的直線？全等：兩個圖形重合？希爾伯特：基本概念符號化（點、線、面；桌子、椅子、啤酒杯）

設想有三組不同的對象：第一組的對象叫做點，用A，B，C，…表示；第二組的對象叫做直線，用a，b，c，…表示；第三組的對象叫做平面，用α，β，γ，…表示。關聯公理：兩點唯一決定一條直線、三點唯一決定一個平面順序公理：直線上一個點在兩個點之間、直線通過三角形兩個邊合同公理：線段相等、角相等、三角形邊角邊全等平行公理：過直線外一點有且僅有一條直線與這條直線平行連續公理：阿基米德公理、完備性公理（龐加萊）過直線外一點有一條平行線：歐幾里得幾何無數平行線：羅巴切夫斯基幾何沒有平行線：黎曼幾何三角形內角和高斯曲率在三角形上的積分=三個角的和–π曲率：歐式幾何=0；內角和等于180度。

羅氏幾何﹤0；內角和小于180度。

黎曼幾何﹥0；內角和大于180度。這些幾何都有鮮明的物理背景。公理→假設羅巴切夫斯基幾何

從無窮遠點出發，可以在地球上得到無數多條平行直線。北極出地=北緯：北半球所有點到北極星的射線都平行。

北極星到地球：434光年；地球半徑：6369公里。Aaab赤道ONN黎曼幾何：球面上的幾何兩點間直線段最短？兩點間所有連線中直線段最短。

北京和紐約都在北緯40度

沿緯度：14311公里