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西華大學電話：***********鑫飛電話：***********電話：***********數學建模競賽

B題：籃球比賽問題

專業班級：*******

姓名：刁述祥姓名：周姓名：王

2011年5月28日

要關聯度標準化指標要關聯度標準化指標綜合指數得分比

本文主要研究了某大學籃球比賽中技術指標、成績、排名等相關問題，并對各籃球隊提出了技術方面的相關建議。針對問題一，本文運用灰色系統理論建立了一個綜合評價模型，求解出每支代表隊的技術指標與該隊成績之間的關聯關系。首先，本文對每個隊的各項指標數據進行統計處理、標準化處理（無量綱化），并求解出各項指標的差數列表。根據灰色系統理論建立了綜合評價模型。最后通過Excle求解，得出了各個參賽隊的技術指標與成績之間的關聯度。（結果見問題求解及附表）。針對問題二，本文按照技術指標對代表隊成績貢獻的大小，對這些技術指標進行排序。本文認為：某項技術指標與成績的關聯度越高，則該技術指標對代表隊的成績的影響越大。因此，本文將關聯度大小做為衡量貢獻度大小的依據。最后對每個學院的各項技術指標進行合理的排名。（結果見問題求解及附錄）針對問題三，本文找出了對各代表隊成績起重要作用的關鍵比賽場次。首先，本文認為關系是否被淘汰的場次、關系是否晉級的場次和積分相同的兩支隊伍之間的比賽場次是重要的場次。然后引入關鍵度的概念，按照關鍵度的大小對重要場次進行評比，通過這個標準找出了各參賽隊的關鍵的場次。針對問題四，本文采用綜合指數法建立了一個綜合評價模型，預測了最后的冠軍得主，并且將12支代表隊進行了排名。首先，本文根據積分和得分比，從兩個小組選出了四支參加決賽的隊伍（A組：數學學院、化學學院B組：信電學院、機電學院）。然后對各項數據進行歸一化處理、標準化處理，建立了一個綜合評價模型。接著本文通過Excle求解，預測數學學院代表隊能夠獲得冠軍。最后本文通過積分數和比分率對未進入決賽的隊伍進行排名。結果如下：1-4名：數學學院、信電學院、機電學院、化學學院5-8名：管理學院、物理學院、測繪學院、生物學院9-12名：能源學院、計算機學院、資源學院、地理學院針對問題五，本文對各個參賽隊在技術方面提出了一些建議。首先，本文將所有參賽隊的各項指標分別進行處理，求得各項指標的平均值作為一個參考量。然后通過作圖的方式進行評比，找出各個學院比較落后的技術指標。最后根據比較結果并參考各項指標的關聯度提出了相應的建議。在模型的優化和推廣中，本文考慮了時間安排對結果的影響，提出了增加權重指標進行排名的思想，優化了模型，最后對模型的推廣進行了闡述。關鍵詞：灰色

1

----和某代表隊比賽的其他隊伍的編號（i?=1、2、3、4、5）；----某代表隊的17項技術指標（=1、2、3......16、----某代表隊的球員（x=4、5、6......16）；----和某代表隊比賽的其他隊伍的編號（i?=1、2、3、4、5）；----某代表隊的17項技術指標（=1、2、3......16、----某代表隊的球員（x=4、5、6......16）；----灰色關聯度模型中的分辨系數，0＜＜1。----進入決賽所必須得到的最低積分----滿足第一種情況的所有的場次集合---不滿足第一種情況且滿足第二種情況的所有場次的集合----不滿足第一二種情況且滿足第三種情況的所有比賽場次的集合----不滿足第一二三種情況的其他特殊情況的集合j17）；

運動員比賽過程的技術表現是決定競賽成績的主要因素之一?；@球競賽臨場技術統計數據既是衡量運動員技術水平的量化指標也是判定運動隊競賽成績的客觀標準。某大學有12個學院，每個學院派出一支男子籃球隊參加校內籃球比賽。首先進行分組賽，共分兩組，每組6支代表隊；小組賽結束后，每組選出兩支代表隊參加第二階段的決賽。附表1和附表2分別為第一組和第二組的比賽結果。請你根據這些數據，研究各個代表隊的下列問題：（1）每支代表隊的技術指標與該隊的成績之間的關聯關系。（2）按照技術指標對代表隊成績貢獻的大小，將這些技術指標進行排序。（3）找出對代表隊成績起重要作用的關鍵比賽場次。（4）根據這兩個小組賽的成績，預測哪支代表隊最有可能奪冠，并將這12支代表隊的名次進行排序。（5）對每支代表隊給出幾點技術方面的改進建議，以提升該隊的競技水平。

符號說明i?

j

x

RZ

M

N

2

iii

i題目中所給條件和數據是確定的、有效的。忽略各種外界、主觀因素的影響，如：裁判誤判、放棄比賽、場地影響等。默認在所有比賽中所有隊伍都是正常發揮，不存下超常發揮、狀態不良等情

忽略個人對總成績的影響，隊員上場時間不作為技術指標。假設灰色關聯度模型中分辨系數：ζ=0.5。每組進行循環賽，每個組共有15場比賽，每個代表隊有5場比賽。假設在小組賽中積分規則為：勝：iii

i題目中所給條件和數據是確定的、有效的。忽略各種外界、主觀因素的影響，如：裁判誤判、放棄比賽、場地影響等。默認在所有比賽中所有隊伍都是正常發揮，不存下超常發揮、狀態不良等情

忽略個人對總成績的影響，隊員上場時間不作為技術指標。假設灰色關聯度模型中分辨系數：ζ=0.5。每組進行循環賽，每個組共有15場比賽，每個代表隊有5場比賽。假設在小組賽中積分規則為：勝：2分，負：0分，沒有平局。.從積分和比分率兩個方面評判是否有資格進入決賽。關鍵場次分為三類，一類是決定是否淘汰的場次，一類是決定是否入選決賽i----某代表隊標準化處理后技術指標X與總成績的Xi的差值的絕對值。jai(x)---某代表隊和第i隊比賽時x球員第j項的指標數；jXi----某代表隊和第i個隊比賽時第j項的指標總數。j

X----某代表隊標準化處理后和第個隊比賽時第j項的指標總數。j

Xjj1Ai----第只代表隊的關鍵場次的集合

S----各項指標的個體指數。j

S----參加決賽的四支隊伍的綜合指標。j

Maxj----第j項技術指標與總成績的標準最大偏差值

Minj----第j項技術指標與總成績的標準最小偏差值

模型假設

1、2、3、況。4、5、6、7、8、9、的場次，一類如果兩支隊伍積分相同，則二者比賽的那一場也是關鍵場次。

模型的建立與求解

針對問題一一、問題的分析

3

j

1、題意分析及簡化處理j

（1）通過對題目的仔細閱讀和初步分析我們得到如下信息：

?一共有12個學院的12支籃球代表隊，每6個代表隊為一組進行比賽。?比賽為小組循環制，因此每個代表隊都會參加五場比賽。?題目中給出了各代表隊每場比賽中每個球員上場時間、2分球、3分球、罰球、進攻、防守等相關數據。?在小組循環賽中沒有隊伍棄權或放棄比賽。

（2）需要解決的問題：對各個籃球代表隊的各項技術指標數據進行統計、計算、分析，得出每支代表隊的技術指標與該隊的成績之間的關聯關系。

（3）在問題的條件和目的明確之后，我們對問題進行初步的分析，提出了如下基本假設和簡化運算方法：

?默認題中所給每個隊的各項技術指標數據能夠客觀反映一個隊的整體水平。?不用單獨的去分析每個隊員的各項技術指標情況，而將每一項指標做為一個整體來討論分析。簡化運算，提高模型的可操作性。?因為從整體考慮，因此隊員上場時間不納入技術指標的范圍。?最后確定在一場比賽中的技術指標為：2分球、三分球、罰球的進球數、投籃數、命中率、進攻次數、防守次數、攻防合計次數、犯規次數、失誤次數、搶斷次數、蓋帽次數。?因為12支代表隊的各項指標種類一樣，因此選取一支代表隊作為例子推導建立模型，最后通過建立的模型分別求解其他11支代表隊的結果。

2、基本模型的分析推導

通過分析，題中所給的各種技術指標的數據沒有統一的單位度量，例如：進攻、防守等技術指標的單位是“次數”，而2分球、3分球命中率是一個比率。因此需要通過標準化處理（無量綱化），對數據進行統一，然后對處理后的數據進行分析和比較得出各技術指標和成績之間的關聯關系。通過大量查閱資料，本文選擇采用灰色系統中的灰色關聯分析法來進行求解。

設：任取一個代表隊為T；設：i?---和T代表隊比賽的其他隊伍的編號（i?=1、2、3、4、5）；設：j---T代表隊的17項技術指標（=1、2、3......16、17）；

設：x---T代表隊的球員（x=4、5、6......16）；設：ai(x)----T代表隊和第i隊比賽時x球員第j項的指標數；j設：Xi----T代表隊和第i個隊比賽時第j項的指標總數。j

4

ai(4)iai(5)i……iii15i11X2……116117XiXiai(4)iai(5)i……iiX122……X16X17iiXai(4)iai(5)i……ii21X2……216217j0ai(4)iai(5)i……iiX132……X16X17…3X…33X4XX4X44X5XX5ai(4)iai(5)i……iii15i11X2……116117XiXiai(4)iai(5)i……iiX122……X16X17iiXai(4)iai(5)i……ii21X2……216217j0ai(4)iai(5)i……iiX132……X16X17…3X…33X4XX4X44X5XX555i

ai(5)i

已知：ai(x)=i…ai(14)ai(14)ai(14)ai(14)ai(14)i

ai(15)ai(15)ai(15)ai(15)ai(15)i

首先，通過前面的分析，將每一項指標做為一個整體來討論分析。因此我們可得，第個隊比賽時第j項的指標總數為：

Xiai(x)jx4

X1

X12可得：Xi=j…X16

X17

其次，因為所求的指標總數不統一，我們對數據進行標準化處理。即取在一場比賽中數據作為參考數據，然后將五組數據分別對這組數據進行商運算。從而得到一組沒有量綱的數據，把各種不同單位數據建立有機的聯系。

設：---T代表隊標準化處理后和第個隊比賽時第j項的指標總數。j設：X0----T代表隊在5場比賽中選取的第j項的指標總數參考數據。j

標準化的各指標總數：Xjj

5

X11X22……X1616X1717ijXXjiiijXX21XX31X…XX161XX1712X12X2……2X162X17iii1122212231i…22162217X11X12……X116X17117XX21XX31……X1X13132……3163X33213331……316317XXXX…X16XX1XXXX…X1X14141414174444…3171317X11X22……X1616X1717ijXXjiiijXX21XX31X…XX161XX1712X12X2……2X162X17iii1122212231i…22162217X11X12……X116X17117XX21XX31……X1X13132……3163X33213331……316317XXXX…X16XX1XXXX…X1X14141414174444…31713171X1X2X16XX17XXXXX…XX5X5X515155554411XXXX121144XXXXXX115555

1

1

2

可得到：Xi=j…

1

16

1

17

然后，通過求解出的標準化的無量綱數據，我們可以建立各項指標與總成績的差數列，從而可以得到各指標對總成績的偏差范圍。

設：Xi---T代表隊標準化處理后和第個隊比賽時第項的指標總數。j

設：---T代表隊標準化處理后技術指標X與總成績的的差值的絕j對值。則：XXXj

0

0

計算可得：=j…

0

0

6

2i

2iXMax(j)j1、2、3......16、17）；iMi2i

2iXMax(j)j1、2、3......16、17）；iMinjMaxj

ij

最大偏差：MaxjMax(X1、XX1X)11jj最小偏差：MinjMin(X1、XX1X)11jj

設：-----為分辨系數，0＜＜1。

設：Ki----T代表隊與第i代表隊比賽時第j項指標與總成績的關聯度。j則在每場比賽中各項指標與總成績的基本關聯系模型為：

ijj其中：i?={1、2、3、4、5}

j{1、2、3......16、17}

通過對基本模型的分析和推導，我們得到了各項指標與總成績的基本關系模型。有了可靠的數學推導方法，由此深入，我們可以建立最終的模型。

二、模型的建立

通過上面對問題一的題意分析和基本模型的推導過程，我們可以得到在每場比賽中各項指標都與總成績有一個關聯系數。已知每個代表隊有五組比賽成績，因此只要我們對這五個關聯度求均值，就能求出各項指標與總成績的最終的關聯關系度。因為12支代表隊的指標種類相同，可以采用相同的模型進行求解，因此這次取任意一個代表隊建立模型。

設：T----任意取一支代表隊的名稱；設：i?----和T代表隊比賽的其他隊伍的編號（i?1、2、3、4、5；設：j----T代表隊的17項技術指標（

設：k----參加比賽的總的次數。設：Ki----T代表隊與第代表隊比賽時第項指標與總成績的關聯度；j設：R(j)-----各項指標與成績的最終關聯度。

7

1

j{1、2、3......16、17}

XMax(j)Max(X1、XX)Min(X1、XX)1

j{1、2、3......16、17}

XMax(j)Max(X1、XX)Min(X1、XX)iiiXii17MinjMaxj

i2i2iiXai(x)0j0150

R(j))jj1約束條件：

比賽次數：k5對手編號：i?={1、2、3、4、5}技術指標：

每場比賽的各項指標與總成績的關聯關系值：Ki0,1j

ijj分辨系數：0＜＜1

最大差值：Maxj11j最小差值：Minj11j對應差數列：XXX0jj1

標準化后的各指標總數：Xjj

初始各指標總數：Xjix4各隊員在每場比賽中的各項指標：ai(x)0i

三、模型的求解

（1）通過上面的分析和建立的模型，求解過程如下：

1)統計處理。將各個代表隊在各場比賽中的的各項技術指標進行統計求和。2)標準化處理（無量綱化）。采用除運算去掉成績和各技術指標量綱，并轉化為一個比較小的數據，簡化運算。

8

根據指標總數模型Xiai(x)統計每場比賽各項技術指標之和。i數學學院8422405592536131515物理學院94173253.13143046.671826化學學院69143441.1892931.031419生物學院62132944.83103727.03610資源學院902238根據指標總數模型Xiai(x)統計每場比賽各項技術指標之和。i數學學院8422405592536131515物理學院94173253.13143046.671826化學學院69143441.1892931.031419生物學院62132944.83103727.03610資源學院90223857.89112445.831326并提出各項指標的最大偏差和最小偏差數據。4)求解關聯系數。通過建立的基本關系模型，確定分辨系數的值，求解出在每場比賽中各技術指標與總成績之間的關聯系數。5)求解關聯度。將已求解出來的關聯系數取平均值，求解出各項技術指標與總成績的關聯系數。

（2）以計算機學院為例：

1）

x4最后通過Excle統計處理后的數據如下：

計算機學院與其他學院比賽的技術指標（1）

對手

技術指標

總得分（分）

2分命中（次）

2分總投（次）

2分命中率

（%）

3分命中（次）

3分總投（次）

3分命中率

（%）

罰中次數（次）

罰投次數（次）

9

86.6715254092113121Xi數學學院11169.238162411301232iX物理學院1.11900.77270.800073.687323915211422j0化學學院0.82140.63640.8500601326396271981生物學院0.73810.59090.72505061622142512101資源學院1.07141.00000.9500

罰進率（%）86.6715254092113121Xi數學學院11169.238162411301232iX物理學院1.11900.77270.800073.687323915211422j0化學學院0.82140.63640.8500601326396271981生物學院0.73810.59090.72505061622142512101資源學院1.07141.00000.9500

進攻（次）

防守（次）

合計（次）

助攻（次）

犯規（次）

失誤（次）

搶斷（次）

總積分（分）

（表1）

2）根據標準化模型X，將總成績和所有指標數據進行無量綱化處jj理。通過分析，與數學學院比賽時計算機學院代表隊的各項指標的數據比較適中，因此在這里我們選擇和數學學院比賽的各項技術指標數據作為參考數據，做商運算。通過Excle計算最后得到如下數據：

計算機學院與各學院之間的比賽指標（2）

對手

技術指標

總得分

2分命中

2分總投

10

111111111111111iij0.96601.55561.20001.29641.38461.73330.79880.53330.64000.60001.22221.42860.92310.25002.0000X10.74871.00001.16000.86191.07691.26670.85010.46671.28000.97501.66671.00001.07690.16672.0000i0.81511.11111.48000.75080.46150.66670.69230.86671.04000.97500.66671.28571.46150.66671.0000，我們帶入通過標準化處理后的數據，通過1.05251.22220.96001.27311.00001.73330.57690.40000.64000.55001.55561.19050.92310.83331.0000

2分命中率111111111111111iij0.96601.55561.20001.29641.38461.73330.79880.53330.64000.60001.22221.42860.92310.25002.0000X10.74871.00001.16000.86191.07691.26670.85010.46671.28000.97501.66671.00001.07690.16672.0000i0.81511.11111.48000.75080.46150.66670.69230.86671.04000.97500.66671.28571.46150.66671.0000，我們帶入通過標準化處理后的數據，通過1.05251.22220.96001.27311.00001.73330.57690.40000.64000.55001.55561.19050.92310.83331.0000

3分命中

3分總投

3分命中率

罰中次數

罰投次數

罰進率

進攻

防守

合計

助攻

犯規

失誤

搶斷

蓋帽

（表2）

3）經過標準化處理后，我們得到了總成績與各項指標的無量綱化數據，統一了度量之后我們就可以求解出對應的差數列以及差數列中對應的各項指標的最大偏差值和最小偏差值。通過差值模型XXjExcle求解結果如下：

計算機學院與各學院之間的比賽指標差數列及最大偏差最小偏差

11

數學學院00000000000000000MinMaxjXMax(j)物理學院0.34630.31900.15300.43650.08100.17730.26560.61430.32030.58570.47900.51900.10320.30950.19600.86900.8810ji化學學院生物學院0.18510.02860.07270.17860.33860.04050.25550.44520.02870.35480.45860.15360.84520.17860.25550.65481.1786資源學院0.14720.01310.07700.37300.74190.01270.27660.07140.04580.12860.30190.23690.07140.54760.72340.07140.2619Min0.07140.12140.01890.15080.11140.20160.07140.66190.49450.67140.43140.52140.48410.11900.14840.23810.0714Max000000000000000000.34630.31900.15300.43650.74190.20160.27660.66190.49450.6714數學學院00000000000000000MinMaxjXMax(j)物理學院0.34630.31900.15300.43650.08100.17730.26560.61430.32030.58570.47900.51900.10320.30950.19600.86900.8810ji化學學院生物學院0.18510.02860.07270.17860.33860.04050.25550.44520.02870.35480.45860.15360.84520.17860.25550.65481.1786資源學院0.14720.01310.07700.37300.74190.01270.27660.07140.04580.12860.30190.23690.07140.54760.72340.07140.2619Min0.07140.12140.01890.15080.11140.20160.07140.66190.49450.67140.43140.52140.48410.11900.14840.23810.0714Max000000000000000000.34630.31900.15300.43650.74190.20160.27660.66190.49450.67140.47900.52140.84520.54760.72340.86901.1786技術指標2分命中

2分總投

2分命中率

3分命中

3分總投

3分命中率

罰中次數

罰投次數

罰進率

進攻

防守

合計

助攻

犯規

失誤

搶斷

蓋帽

（表3）

4）得到差數列后，我們得到了各項指標在每場比賽和總成績之間的最大偏差值

和最小偏差值。建立的基本關系模型為：Ki求解出各jj場比賽各技術指標與總成績的關聯關系，最后通過最終的灰色關聯系數模型

12

)求解得出最后的關系度。數學學院1111111111111111物理學院0.62980.64880.79380.57450.87920.76870.68930.48960.64790.50150.55160.53170.85100.65560.750417化學學院0.76100.95380.89020.76740.63510.93570.69760.56960.95360.62420.56240.79330.41080.76740.6976生物學院0.80010.97830.88440.61240.44270.97880.68060.89190.92790.82090.66120.71330.89190.51830.4489資源學院0.89190.82910.96900.79620.84100.74510.89190.47100.54370.46740.57730.53050.54900.83190.7989關聯度0.81660.88200.90750.75010.75960.88570.79190.68440.81460.68280.67050.71380.74050.75470.7392

)求解得出最后的關系度。數學學院1111111111111111物理學院0.62980.64880.79380.57450.87920.76870.68930.48960.64790.50150.55160.53170.85100.65560.750417化學學院0.76100.95380.89020.76740.63510.93570.69760.56960.95360.62420.56240.79330.41080.76740.6976生物學院0.80010.97830.88440.61240.44270.97880.68060.89190.92790.82090.66120.71330.89190.51830.4489資源學院0.89190.82910.96900.79620.84100.74510.89190.47100.54370.46740.57730.53050.54900.83190.7989關聯度0.81660.88200.90750.75010.75960.88570.79190.68440.81460.68280.67050.71380.74050.75470.7392jj1

根據上網查閱資料和分析，我們設分辨系數=0.5，通過Excle計算得到了

計算機學院與各學院之間的比賽指標的關聯系數和關聯度如下表：

計算機學院與各學院之間的比賽指標的關聯系數和關聯系數和關聯度

對手

技術指標

2分命中

2分總投

2分命中率

3分命中

3分總投

3分命中率

罰中次數

罰投次數

罰進率

進攻

防守

合計

助攻

犯規

失誤

13

112分投0.81660.88200.90750.75010.75960.88570.79190.68440.8146防守0.68280.67050.71380.74050.75470.73920.69640.66372分%0.74180.78910.83380.61300.70970.68510.77660.8136112分投0.81660.88200.90750.75010.75960.88570.79190.68440.8146防守0.68280.67050.71380.74050.75470.73920.69640.66372分%0.74180.78910.83380.61300.70970.68510.77660.81360.8661合計0.67470.64390.68200.84140.79010.82410.78790.61482分投0.95230.92760.82650.85730.84210.83440.78930.71070.9384防守0.76740.88620.87680.82820.76200.80650.80460.77022分%0.76380.8169合計0.40410.40082分%

合計3分中助攻2分%合計3分中0.86700.79230.85520.82190.70830.70250.9171助攻0.47370.33333分中助攻3分投犯規3分中助攻3分投犯規0.89190.69233分投犯規3分%失誤3分投犯規3分%失誤0.71220.89193分%失誤罰中搶斷3分%失誤罰中搶斷0.69640.6637罰中搶斷罰次蓋帽罰中搶斷罰次蓋帽罰次蓋帽罰%罰次蓋帽罰%罰%罰%

蓋帽

（表4）

（3）將以上求解過程推廣到其他11個學院的代表隊中，我們即可以得到各個學院籃球代表隊的各項技術指標與總成績的關聯度。

問題一最終的結果如下：

A組學院計算機學院各技術指標與總成績的關聯度2分中關聯度進攻關聯度

數學學院各技術指標與總成績的關聯度2分中2分投關聯度進攻防守關聯度

(詳細數據請見附件)

B組學院機電學院各技術指標與總成績的關聯度2分中關聯度進攻關聯度

信電學院各技術指標與總成績的關聯度2分中2分投關聯度進攻防守

14

0.76530.65750.7340.76530.65750.73480.79260.79780.69760.73260.7688

(詳細數據請見附件)

針對問題二

1、問題的分析通過對題意的仔細閱讀和分析，本文需要解決的問題是根據技術指標的對成績貢獻度的大小，對這些技術指標進行排名。通過查閱互聯網資料和社會經驗分析，再一支籃球隊中，每一項技術指標都對成績有影響作用。并且關聯度越高則對結果的影響越大。因此，我們簡化運算，通過判定各項指標的關聯度的大小來對貢獻大小進行排名。

2、問題的求解以計算機學院為例，根據模型一建立的關聯度模型和求解出來的各項指標的關聯度。最后的排名如下表：

A組學院數學學院各技術指標排名123456789技術指標罰%助攻2分%失誤罰次犯規2分投搶斷罰中1011121314151617技術指標2分中3分投3分%合計進攻防守蓋帽3分中

物理學院各技術指標排名123456789技術指標2分%2分中犯規助攻2分投3分%3分中罰中防守1010111213141516技術指標合計蓋帽罰次罰%3分投失誤進攻搶斷

(詳細數據請見附件)

B組學院地質學院各技術指標排名123456789技術指標2分%2分中3分%合計搶斷罰%3分中防守3分投1011121314151617技術指標失誤助攻犯規蓋帽進攻2分投罰中罰次

信電學院各技術指標排名

15

R

123456789R技術指標罰%2分%3分投3分%2分投犯規助攻3分中蓋帽1011121314151617技術指標進攻2分中合計搶斷罰中罰次失誤防守

(詳細數據請見附件)針對問題三一、問題的分析1、題意的分析及簡化處理（1）通過對問題的仔細閱讀和初步分析，我們得到如下信息：

?12支隊伍被分成2組，每組6個代表隊。?每組進行循環賽，每個組共有15場比賽，每個代表隊有5場比賽。?最后每個有且僅2個代表隊進入決賽。?本問主要是針對小組循環賽的比賽。

（2）需要解決的問題是：找出每個代表隊成績起重要作用的關鍵場次。

（3）在問題的條件和目的明確之后，我們對問題進行初步的分析，提出了如下基本假設和簡化運算方法：

?在比賽中不想存在平局。?比賽以積分制。勝積1分，敗積0分。?各小組代表隊比賽的場次順序按照題目所給數據的順序。?最后選擇兩支積分最高的隊伍進入決賽。?如果有兩只隊伍積分相同，且只有一個進入絕賽的名額，則判定在他們比賽的那一場獲得勝利的隊伍參加決賽。?如果有三只或三只以上的隊伍積分相同時，只有一個晉級名額時，比較它們的比分率之和，比分率之和最大的隊伍就晉級參加決賽。

2、基本模型的分析與推導在對題意和問題要求做出了分析假設和簡化過之后。我們開始推導基本的求解模型。因為我們知道了最后的總成績，因此可以求解出選入決賽的最低要求,即總積分應該排名第二，且積分排名第一的隊伍只有一個。我們采用這個排名第二的積分數值作為最低要求，在這里設為。通過分析，關鍵場次主要分為三個部分：1）第一種情況：當比賽還未進行完，積分數差一分就能達到最低要求分數時的后面的比賽。如果后面的比賽勝利了，則順利的進入決賽。后面的比賽就比不再作為關鍵場次。如果沒有勝利，則關鍵場次應該一直向后增加，直到再取得一場勝利或者比賽結束。本文在這里將這些場次統一設為Z。

16

第二種情況：當已經輸掉了5-R+1場比賽時之后的比賽。因為如果再輸

第二種情況：當已經輸掉了5-R+1場比賽時之后的比賽。因為如果再輸

第三種情況：

N第四種情況：iN掉一場那么隊伍將無緣于決賽，因此下一場是決定是否能夠進入比賽的關鍵場次。如果下一場比賽輸掉了，則該隊已經不能不能進入決賽，因此后面的比賽將不再作為關鍵場次。如果在后一場比賽中獲勝了，那么再后面一場比賽又變為關鍵的比賽場次，直到比賽結束或者再輸掉一場比賽。本文取不滿足第一種情況的這些場次統一設為M。

3）當兩支隊伍積分相同且都排名第二的情況下，因為最終的判定規則是兩支隊伍比賽時獲勝的一方進入決賽。因此兩只隊伍之間的比賽也將成為關鍵的比賽場次。本文取不滿足第一種情況及第二種情況的這些場次統一設為。4）當出現三支及以上的隊伍出現積分相同的情況下，經過上面的判別之后對剩下隊伍選取最先達到該積分的隊伍進入決賽。但這些情況包含在了第一種情況內，因此這里不再做單獨的討論，如果有其他情況則統一設這些場次為。

二、模型的建立

根據以上的分析，我們可以得到求解關鍵場次的模型。設：i----代表隊的編號設：R----進入決賽所必須得到的最低積分。設：Ai----第只代表隊的關鍵場次的集合；設：Z-----滿足第一種情況的所有的場次集合。設：M----不滿足第一種情況且滿足第二種情況的所有場次的集合。

設：----不滿足第一二種情況且滿足第三種情況的所有比賽場次的集合。

設：--------不滿足第一二三種情況的其他特殊情況的集合。

則初步篩選的關鍵場次的集合為：Ai{Z,M,N,}

約束條件：

17

0ZB組：R3關鍵比賽場次：關鍵比賽場次：關鍵比賽場次：0ZB組：R3關鍵比賽場次：關鍵比賽場次：關鍵比賽場次：關鍵比賽場次：關鍵比賽場次：計算機學院VS關鍵比賽場次：關鍵比賽場次：關鍵比賽場次：關鍵比賽場次：關鍵比賽場次：關鍵比賽場次：N化學學院VS數學學院VS物理學院VS生物學院VS資源學院VS資源學院信電學院機電學院測量學院管理學院能源學院地質學院生物學院化學學院化學學院化學學院數學學院VS能源學院VS地質學院VS管理學院VS信電學院VS管理學院VS能源學院R0Z0M0N0

在求解出關鍵場次的集合后，按照關鍵度的大小來進行排名，最后求得最關鍵場次作為結果。設：-------為關鍵度。

本文在這里假設關鍵度的排名為：M最后通過關聯度的排序，求解出各學院代表隊最關鍵的場次。

三、模型的求解

通過以上建立的模型，通過題目中給出的數據我們得到了兩個小組的積分情況，因此在A、B兩組中對應入圍基本分數R的取之情況為：A組：R3通過Eecle及查閱判斷，我們最終得到了參賽的12支代表隊的關鍵比賽場次。經過刪選和評比，最關鍵的場次如下：

A組學院化學學院數學學院物理學院生物學院資源學院計算機學院關鍵比賽場次：

B組學院信電學院機電學院測量學院管理學院能源學院地質學院

(詳細求解數據請見附錄。)

18

jSSXXXXjSSXXXXij00ji（1）（2）

一、問題的分析1、題意的分析及簡化處理(1)通過對問題的仔細閱讀，本問需要解決的問題是：1）預測哪支代表隊最有可能奪冠2）將這12支代表隊的名次進行排序

（2）通過對題意的初步分析，現確定如下條件和假設：

?小組比賽結束后，會選取兩支隊伍進入決賽。?按照前面的假設，各小組中積分最高的兩支隊伍將進入決賽。?冠軍肯定產生于進入決賽的四支隊伍中。?決賽中不會出現平局，因此冠軍只能在某一支隊伍獲得。?沒有進入決賽的隊伍按照積分進行排名。如果積分相同則根據其比分率的和的大小進行排序。

3、基本模型的分析和推導（1）預測哪支隊伍能夠奪冠因為在之前只進行過小組循環賽，兩個小組的隊伍之間沒有比賽過。又因為兩組對應的第一名和第二名成績相同，因此不能通過積分來判別最后的冠軍。經過分析和查閱資料，本文采用綜合指數法建立綜合評價模型。求解出對四個隊伍技術指標的綜合指數進行比較，最后預測出那支隊伍最容易奪得冠軍。首先，本文根據上面的假設選擇各小組進入決賽的隊伍。然后，我們對四支隊伍中的指標進行處理。在17項技術指標中犯規次數、失誤次數指標為反向指標，其它均為正向指標。設：i?---參加決賽的隊伍的編號（i?=1、2、3、4）；設：j---各代表隊的17項技術指標（=1、2、3......16、17）；

設：x---各代表隊的球員（x=4、5、6......16）；設：Xi----第i代表隊第j項的指標總數；j設：X0----選取的各項指標的參考值；j

設：Sj----各項指標的個體指數。通過假設可知：犯規次數為第14項指標，失誤次數為第15項技術指標。因此我們建立各項技術指標的個體指數模型為：

當j14、15時：jj

當j=14、15時：jj

19

j1717XXSS

j1717XXSS00jij0的四支代表隊的綜合指數。設：S-----參加決賽的四支隊伍的綜合指標。j

各代表隊的綜合指標為：S（=1、2、3......16、17）jjj1在求得了各個學院的綜合指標后，我們就可以對綜合指標進行排名，從而預測出最有可能奪冠的隊伍。

（2）將這12支代表隊的名次進行排序在這12支隊伍中共分為兩部分，一部分是參加決賽的4支隊伍，其余的是沒有進入決賽的隊伍。因為通過綜合指數評判方法我們可以得到參加決賽的四支隊伍的綜合指標，從而預測決賽的6場比賽的結果，排列出前四名。但是因為其余未進入決賽的隊伍已經沒有比賽了，所以本文將積分值作為排名的依據。因為存在積分相同的隊伍，我們求解出積分相同的隊伍比分率之和，即自己的比分除以對手比分然后在求和。痛過比分率的大小來判定名次。本文在這里設比分相同的隊伍的總積分率為：

二、模型的建立

通過上面的對問題四的分析，我們可以得到四支隊伍的綜合指數。我們統一數據的時候采用的是正指標，所以在求解得出的綜合指數越大的隊伍綜合實力越強，而綜合實力最強的隊伍就最有可能奪得冠軍。通過以上分析我們可以建立一個求解奪冠熱門隊伍的數學模型。設：i?---參加決賽的隊伍的編號（i?=1、2、3、4）；

設：Sj-----參加決賽的四支隊伍的綜合指標。設：T----預測的最容易奪冠的隊伍。TMaxS,S,S,S1234約束條件：

i?=1、2、3、4

Sjjj1

當=14、15時：Sjj

20

XX5分化學學院（綜合指數：11.1588）（綜合指數：10.5445）（綜合指數：10.2168）（綜合指數：10.2000）根據比賽成績排名冠軍亞軍季軍4數學5各場比賽的比分率之和10.554510.2168ij0數學學院3分5信電310.200005分6機電32.60837化學212.56638管理02.48689物理2.4638XX5分化學學院（綜合指數：11.1588）（綜合指數：10.5445）（綜合指數：10.2168）（綜合指數：10.2000）根據比賽成績排名冠軍亞軍季軍4數學5各場比賽的比分率之和10.554510.2168ij0數學學院3分5信電310.200005分6機電32.60837化學212.56638管理02.48689物理2.46382.452610測繪2.414811生物能源計算機12資源地理jj

三、模型的求解

1、預測哪支隊伍能夠奪冠

（1）求解過程：1）、根據積分和比分率之和判斷出進入決賽的四支隊伍。2）、將各項指標統一，通過取倒數將負指標變成正指標。3）、通過綜合指數法求解出各項技術指標指標的個體指數。4）、將這些個體指數求和，根據綜合指數排名，排第一的則為熱門奪冠隊伍。

（2）通過上面的求解方法和步驟，通過Excle求解，我們最終得到參加決賽的隊伍為：

信電學院A組：B組：機電學院3分

綜合指數排名及名次預測如下：

冠軍：數學學院亞軍：信電學院季軍：機電學院第四名：化學學院

2、將這12支代表隊的名次進行排序因為上面已經求解出前四名的預測排名，因此根據積分的大小我們將剩下的隊伍進行排名，比分相同的隊伍我們求解出其對應的比分率，根據比分率的和來排列名次。最后得到的排名如下表：

預測排名名次

學院積分平均綜合指數11.1588

21

物理31.05信電45.034化學42.292機電39.636物理31.05信電45.034化學42.292機電39.636生物28.182管理27.46計算機37.312能源38.52資源40.234測繪36.124

一、問題的分析1、通過對問題的仔細閱讀，本文需要解決的問題是：對每支代表隊給出幾點技術方面的改進建議，提升其實力。

2、問題的分析和解決方案已知，在每支隊伍中都有17項技術指標，因此提高各隊比較差的技術指標則可以幫助其提高水平。因此本文將12支代表隊的各項指標求解出平均值，獲得了這17項指標的平均水平。判斷各隊的各指標與平均指標的大小就可以判斷出哪些隊伍的哪些技術指標低于平均水平，需要加強。另外，本文將參考網上籃球比賽分析，綜合考慮，給出建議。

二、問題的解決1、根據上面對問題的分析。我們對各項指標進行求平均值,然后選出正指標在平均值之下的隊伍以及負指標在平均值以上的隊伍，這些隊伍在這些指標上就需要加強。以三分命中率為例：

學院數學3分命中率（%）29.976學院地質3分命中率（%）37.462

平均3分命中率為：36.11%我們作圖分析：

22

各學院“3分命中率”技術指標比較平均36.11中

0機電計算系列140命各學院“3分命中率”技術指標比較平均36.11中

0機電計算系列140命30的球20分10率

3

學院學院學院學院學院學院學院學院學院學院學院學院數學物理化學生物資源地質信電機管理能源測繪

通過柱形圖觀察，我們可以判定需要提高3分命中率的的代表隊有：數學學院、物理學院、生物學院、管理學院。由此方法我們可以得到其余17項指標所需要提高的學院（見附錄）

3、在求解出17項指標對應應該提高的學院后，本文將這些數據進行整合，并且查閱大量資料后，最終得到了對各個代表隊在技術上的相關建議如下：

A組學院

針對數學學院，本文的建議是：提高2分球、三分球投籃數量，加強三分球命中率，增加進攻、助攻次數。

針對物理學院，本文的建議是：增加3分球、罰球、蓋帽次數，并提高命中率；將強防守、并減少犯規次數。

針對化學學院，本文的建議是：增加2分球、罰球次數，并提高命中率；加強進攻，并減少犯規次數。

針對生物學院，本文的建議是：技術、罰球、助攻、搶斷、蓋帽，減少失誤。

針對計算機學院，本文的建議是：增加2分球、罰球、蓋帽次數，并提高命中率；加強助攻，并減少犯規次數。

針對資源學院，本文的建議是：增加2分球、3分球、罰球次數，并提高命中率；加強助攻、搶斷、蓋帽、籃板等技術，并減少犯規次數。

B組學院

針對地質學院，本文的建議是：增加2分球、罰球次數，并提高命中率，并提高籃板、助攻、搶斷等技術。

針對信電學學院，本文的建議是：提高2分投籃數和2分命中率，減少犯規

23

和失誤次數。

針對機電學學院，本文的建議是：增加2分命中數、3分投籃數、罰球數，加強進攻、助攻技術，并減少犯規和失誤次數。

針對管理學院，本文的建議是：增加3分球次數，提高3分球及罰球命中率，減少失誤次數等。

針對能源學院，本文的建議是：增加2分球、罰球數，并提高2分命中率；加強進攻、防守、搶斷、蓋帽等技術。

針對測繪學院，本文的建議是：加強3分球數，并提高2分球、三分球、罰球命中率；加強籃板、助攻、蓋帽等技術，減少犯規次數等

模型的評價

1、模型的優點

在本文中，我們引入了灰色系統、綜合指數法等比較好的綜合評價方法，模型構建和求解中存在了不少的優點，如下：

（1）針對問題一、問題二，本文引入了灰色系統這種綜合評價模型。切合題目所給的數據，采用關聯度分析方法是根據因素之間發展趨勢的相似性和相異程度來衡量因素間關聯程度的。在本文中能很好的揭示各項技術指標與總成績之間的動態關聯度。題目給出了各種不同量綱的技術指標數據，不能直接評判起相互關系。關聯度分析法是以發展趨勢為立足點的，所以他對樣本量的多少沒有過分要求?；疑到y理論認為這些數據并不是不可捉摸的，為了處理這些數據可以把隨機量看成是一定范圍內變化的灰色量，按適當的方法對原始數據進行處理，將灰色數變換為生成數，從生成數進而轉化的到規律性很強的生成函數。最后充分利用手頭已有的數據和信息，求解出同一系統的指標的特定功能和貢獻大小。由于灰色系統的這些優點是的非常適合本題的建模。他很好的解決了本體所給出的數據不充分和不典型性。（2）針對問題三，本文的假設很合理。關鍵場次分為了三類，囊括了機會全部的情況，采用邏輯推理的方法，求解出了結果。這種方法在各種比賽中普遍適用，具有廣泛性。（3）針對問題四，本文引入了綜合指數法這種綜合評價模型。將各平均個體指標求和，得到各個參賽隊伍的綜合指標，反映了各個代表隊的綜合實力。采用比分率的方法可以有效的排列積分相同的隊伍的名次。針對進入決賽的隊伍，因為是預測冠軍的得主，而且各小組之間的代表隊并沒有比賽過。因此，不能通

24

jj

過積分來判定強弱，采用綜合評價的方法就可以有效的、準確的確定實力的強弱，jj從而增大預測成功的概率。（5）針對問題五，本文采用了將各項指標和平均指標相比的方法，得到各個學院比較薄弱的技術項目。將各項指標在12支隊伍中相互比較，就能尋找到各隊之間的差距，從而能夠有效的提出合理的建議。

2、模型的缺點

在建模過程中，本文提出了一些假設，并且做了一些簡化處理。帶有一定的主觀性和理想性，因此也存在一些缺點。（1）、數據處理方面：因為數據量大，為了簡化運算。本文并沒有對各項數據進行具體的分析，沒有考慮奇異數據的情況。（2）、在問題假設方面，有一些假設是建立在理想基礎上的，而在現實情況下，可能會出現各種其他因素的影響。（3）、在模型構架方面，做的不是很完美，但是求解過程都是經過嚴密驗證的，在這種情況下模型求解做到了最好。

模型的優化與推廣

針對上面的分析，考慮到模型可能存在的缺點。在此，本文對部分模型進行優化和推廣。

一、模型的優化

1、考慮時間安排在比賽中影響（1）在問題一中，本文假設隊員上場時間不做為技術指標，并且將一個隊伍的技術指標作為一個整體來建立模型。因為上場時間最多的是最優秀的一些球員，因此相應求得的關聯度反映的是上場時間最多的哪些球員的各項指標與成績之間的關系。因此，本文將模型進行優化，考慮時間在各項技術指標中占的權重，然后運用灰色系統建立綜合評價模型。已知：每場比賽的時間數確定為200分鐘，任選擇一支隊伍設為T代隊表設：i?---和T代表隊比賽的其他隊伍的編號（i?=1、2、3、4、5）；設：---T代表隊的17項技術指標（=1、2、3......16、17）；

設：x---T代表隊的球員（x=4、5、6......16）；設：-----為分辨系數，0＜＜1；

25

x----x號球員在第X0iai

Xiiii

2i

2i

MinjMaxjXMax(j)罰%i17

ijXit200

0x

設：tj上場的時間數。x----x號球員在第X0iai

Xiiii

2i

2i

MinjMaxjXMax(j)罰%i17

ijXit200

0xj設：ai(x)----T代表隊和第i隊比賽時x球員第j項的指標數；j設：Xi----修正后的T代表隊和第i個隊比賽時第j項的指標總數。j

設：---修正后的T代表隊標準化處理后和第i隊比賽時j的指標總數。j設：X----修正后的T代表隊選取的第j項的指標總數參考數據。j

設：Ki----修正后的T代表隊與第代表隊比賽時第j項指標與總成績j的關聯度。

根據前面的分析，和第i個隊比賽時第j項的修正后指標總數為：

ijjj1

修正后對應的標準化指標為：Xjj

修正后對應差數列：XXXjj1

修正后的最大偏差：MaxjMax(X1、XX1X)11jj

修正后的最小偏差：MinjMin(X1、XX1X)11jj

最終建立的模型為：Kij

j

以計算機學院為例，通過Excle求解，我們得到了修正后的各項指標與成績的關聯度，如下表：

修正后計算機學院各技術指標與總成績的關聯度

2分中2分投2分%3分中3分投3分%罰中罰次

26

0.8865防守0.6008胡知能主編鄧聚龍主編張興永編著華東師大數學系編高等教育出版社0.7521合計0.6547科學出版社華中科技大學出版社中國礦業大學出版社高等教育出版社0.8120助攻0.72470.8552犯規0.74050.8219失誤0.75470.7083搶斷0.73920.7821蓋帽0.74750.8865防守0.6008胡知能主編鄧聚龍主編張興永編著華東師大數學系編高等教育出版社0.7521合計0.6547科學出版社華中科技大學出版社中國礦業大學出版社高等教育出版社0.8120助攻0.72470.8552犯規0.74050.8219失誤0.75470.7083搶斷0.73920.7821蓋帽0.74750.6434

0.65530.8325進攻關聯度

經過檢驗，我們發現個指標與總成績之間的關聯度更加的精確，采用如上方法推廣到其他11代表隊求解出修正后的關聯度。（詳細答案見附表）

2、考慮權重對問題四的影響。在問題四的綜合評價模型中，如果可以引入權重對比賽結果的影響，則可以為排名提供更有效的依據。對于具體的求解過程，本文不再作過多討論。

二、模型的推廣

1、運用的灰色系統的綜合評價模型，可以切合題目所給的數據，采用關聯度分析方法是根據因素之間發展趨勢的相似性和相異程度來衡量因素間關聯程度的。因此可以推廣到各種關系不大的指標以及不同量綱的指標的評價。例如：推廣到足球比賽等其他各類比賽、房屋建筑指標評定等。綜合指數法的綜合評價模型可以推廣到其他行業進行綜合評價排名。例如：職工的業績排名、醫院的各月份的綜合排名等。2、引入的比分率的概念，可以推廣到其他各類比賽、評比上面。在日常生活中和比賽中經常遇到比分或者成績等相同的情況，在這種情況下考慮比分率的大小就可以有效減少相同名次的出現和排名困難的囧地。3、按照與平均水平的比較求解的方法可以推廣到其他方面評比方面，利用圖表可以直觀的表現出哪些指標低于平均水平，從而可以判定哪些指標需要加強。這種方法適用于學習、工作和各種競賽中。

參考文獻

【1】運籌學【2】灰理論基礎【3】數學建模簡明教材【4】數學分析（第三版）【5】高等數學（第五版）同濟大學應用數學系編著【6】網站:/view/108b8c4533687e21af45a9c2.html百度文庫《灰色關聯度分析》

27

物理0.74180.78910.83380.61300.70970.68510.77660.81360.86610.6747化學0.92970.8576物理0.74180.78910.83380.61300.70970.68510.77660.81360.86610.6747化學0.92970.85760.95540.83160.71190.83520.82550.77740.75160.6859生物0.94590.90640.96130.92030.90230.90450.76330.73630.90310.6987計算機0.78020.78340.82570.64530.73420.68100.79910.76740.86880.6983資源0.81660.88200.90750.75010.75960.88570.79190.68440.81460.68280.88650.75210.81200.79400.74910.80750.55230.61280.83320.6243

1、各學院各項指標與總成績的關聯度

A組學院數學2分中2分投2分%3分中3分投3分%罰中罰次罰%進攻

28

0.64390.68200.84140.79010.82410.78790.6148信電0.89040.72490.89600.86800.84360.88500.59130.54040.87350.77120.86250.87920.82440.80910.84310.87400.79452罰%112分中22分%10合計0.80880.78040.87720.88650.69770.54620.7804機電0.76380.81690.86700.79230.85520.82190.70830.70250.91710.76530.65750.73480.79260.79780.69760.73260.76883450.64390.68200.84140.79010.82410.78790.6148信電0.89040.72490.89600.86800.84360.88500.59130.54040.87350.77120.86250.87920.82440.80910.84310.87400.79452罰%112分中22分%10合計0.80880.78040.87720.88650.69770.54620.7804機電0.76380.81690.86700.79230.85520.82190.70830.70250.91710.76530.65750.73480.79260.79780.69760.73260.7688345助攻1213143分投3452分中111213蓋帽0.93400.91620.83240.85920.71940.89570.7952管理0.95230.92760.82650.85730.84210.83440.78930.71070.93840.76740.88620.87680.82820.76200.80650.80460.770262分%失誤罰次153分%合計進攻6犯規助攻2分投14罰次罰%3分投0.93680.87250.79460.74370.54200.70540.6574能源0.85130.93640.85280.70830.74750.65530.87190.79680.88050.73100.79890.80790.76260.72940.77630.80180.71097犯規16防守73分%15失誤0.67050.71380.74050.75470.73920.69640.6637測繪0.92470.89590.90910.67670.69500.87990.67510.67470.81810.78920.76900.78610.65500.77620.76170.66810.583182分投17蓋帽83分中16進攻0.88210.78210.64340.83250.68550.62000.53200.81630.79350.77530.70900.59280.80310.61940.64970.83980.66510.79000.74230.78080.60470.72470.76710.55309搶斷

3分中9罰中

搶斷罰中防守合計助攻犯規失誤搶斷蓋帽

B組學院地質2分中2分投2分%3分中3分投3分%罰中罰次罰%進攻防守合計助攻犯規失誤搶斷蓋帽2、各學院代