2021—2022學年度第二學期期末教學質量抽測高一數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是虛數單位，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數的乘方、除法運算化簡即可.【詳解】.故選：A2.下列說法正確的是（）A.三個點可以確定一個平面 B.若直線a在平面外，則a與無公共點C.用平面截正棱錐所得的棱臺是正棱臺 D.斜棱柱的側面不可能是矩形【答案】C【解析】【分析】由三點共線判斷A；由線面關系有a與可能相交或平行判斷B；由正棱錐的結構特征及正棱臺的定義判斷C；注意兩條相鄰側棱同時垂直于底面上與它們相交的邊情況判斷D.【詳解】A：三點共線時平面不止一個，錯誤；B：若直線a在平面外，則a與可能相交或平行，錯誤；C：平面截正棱錐所得的棱臺，必有上下底面均為正多邊形且側面是全等的等腰梯形，即為正棱臺，正確；D：斜棱柱側棱不垂直于底面，但可能存在兩條相鄰側棱同時垂直于底面上與它們相交的邊，此時這兩條側棱和上下底面的邊所成側面為矩形，錯誤.故選：C3.已知數據的方差為，則，，…，的方差為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用方差的性質求解.【詳解】解：因為數據的方差為，則，，…，的方差為.故選：C4.甲?乙兩人打靶，已知甲的命中率為，乙的命中率為，若甲?乙分別向同一靶子射擊一次，則該靶子被擊中的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算該靶子被擊中的對立事件，再求解概率即可【詳解】由題意，該靶子不被擊中的概率為，故該靶子被擊中的概率為故選：A5.若平面上的三個力，，作用于一點，且處于平衡狀態.已知，，與的夾角為120°，則的大小為（）A.1 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據余弦定理，可求得與的合力，由三個力處于平衡狀態，即可得答案.【詳解】因為，，與的夾角為120°，根據余弦定理，可得與的合力為，因為三個力處于平衡狀態，合力為0，所以的大小為.故選：B6.已知m，n是兩條不同直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】C【解析】【分析】根據線面、面面位置關系的判定定理與性質定理判斷即可.【詳解】解：對于A：，，，則或與相交，故A錯誤；對于B：若，，，則或或與異面，故B錯誤；對于C：若，，則，又，所以，故C正確；對于D：若，，，則或或與相交，故D錯誤；故選：C7.某企業為響應國家新舊動能轉換的號召，積極調整企業擁有的5種系列產品的結構比例，并堅持自主創新提升產業技術水平，2021年年總收入是2020年的2倍，為了更好的總結5種系列產品的年收入變化情況，統計了這兩年5種系列產品的年收入構成比例，得到如下餅圖：則下列結論錯誤的是（）A.2021年的甲系列產品收入和2020年保持不變B.2021年的丁系列產品收入是2020年丁系列產品收入的4倍C.2021年的丙和丁系列產品的收入之和比2020年的企業年總收入還多D.2021年的乙和丙系列產品的收入之和比2020年的乙和丙系列產品收入之和的2倍還少【答案】D【解析】【分析】設出2020年年總收入，根據給定的餅圖，逐一分析各個選項，并判斷作答.【詳解】設2020年年總收入為W，則2021年年總收入為2W，觀察餅圖，對于A，2020年的甲系列產品收入為，2021年的甲系列產品收入為，A正確；對于B，2020年丁系列產品收入為，2021年的丁系列產品收入為，，B正確；對于C，2021年的丙和丁系列產品的收入之和為，C正確；對于D，2020年的乙和丙系列產品收入之和為，2021年的乙和丙系列產品的收入之和為，顯然，D不正確.故選：D8.在高速公路建設中經常遇到開通穿山隧道的工程，如圖所示，A，B，C為某山腳兩側共線的三點，在山頂P處測得三點的俯角分別為，，，現需要沿直線AC開通穿山隧道DE，已知，，，則隧道DE的長度為（）A. B. C.10 D.【答案】D【解析】【分析】由題意得,，然后先在中利用正弦定理求出，再在中利用正弦定理求出，從而可求出DE的長度【詳解】因為，，，所以,，在中，由正弦定理得，，因為，所以,在中，由正弦定理得，所以，所以,故選：D二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.對于事件A與事件B，如果，那么B.在n次隨機試驗中，一個隨機事件A發生的頻率具有隨機性C.隨著試驗次數n的增大，一個隨機事件A發生的頻率會逐漸穩定于事件A發生的概率D.從2個紅球和2個白球中任取兩個球，記事件{取出的兩個球均為紅球}，{取出的兩個球顏色不同}，則A與B互斥而不對立【答案】BCD【解析】【分析】A由事件包含關系可得；B、C根據隨機事件概率跟試驗所得的頻率關系判斷正誤；D列舉出所有基本事件，結合對立、互斥事件的定義判斷.【詳解】A：若，則，錯誤；對于有限n次隨機試驗，事件A發生的頻率是隨機的，而隨試驗次數n趨向無窮大，隨機事件A發生的頻率會逐漸穩定于事件A發生的概率，B、C正確；D：基本事件有{取出的兩個球均為紅球}、{取出的兩個球顏色不同}、{取出的兩個球均為白球}，故事件A、B不對立，但互斥，正確.故選：BCD10.已知i是虛數單位，z是復數，則下列敘述正確的是（）A.B.若，則不可能是純虛數C.若，則在復平面內z對應的點Z的集合確定的圖形面積為D.是關于x的方程的一個根【答案】ABD【解析】【分析】根據復數的概念、復數的乘法運算、求模公式，可判斷A的正誤；根據純虛數的概念，可判斷B的正誤；根據復數的幾何意義，可判斷C的正誤；將代入方程，計算檢驗，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：設，則，所以，，所以，故A正確；對于B：若為純虛數，則，上式無解，所以不可能是純虛數，故B正確；對于C：若，則，整理得，所以在復平面內z對應的點Z的集合確定的圖形是以（0,0）為圓心，1為半徑的圓及其內部，所以面積為，故C錯誤；對于D：，所以是關于x的方程的一個根，故D正確.故選：ABD11.已知a，b，c分別是三個內角A，B，C的對邊，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若是邊長為1的正三角形，則C.若，，，則有一解D.若O是所在平面內的一點，且，則是直角三角形【答案】AD【解析】【分析】A由正弦定理邊角關系判斷；B向量數量積的定義求；C利用正弦定理解三角形求角C判斷；D由已知可得，由其幾何意義可知邊上的中線長等于的一半，即可判斷.【詳解】A：由，又，即，故，正確；B：由已知，錯誤；C：由，則，而，故或，錯誤；D：由、、，故，所以在中邊上的中線長等于的一半，即是為直角的直角三角形，正確.故選：AD12.在邊長為1的正方體中，M，N分別是，的中點，則（）A.異面直線與MN所成的角為B.二面角的正切值為C.點C到平面BMN的距離是點到平面BMN的距離的2倍D.過A，M，N三點的平面截該正方體所得截面的周長是【答案】BCD【解析】【分析】對于A，連接，可得異面直線與MN所成的角，然后在中求解即可，對于B，如圖建立空間直角坐標系，利用空間向量求解判斷，對于C，利用等體積法求解，對于D，作出截面，再求其周長【詳解】對于A，連接，因為M，N分別是，的中點，所以∥，因為∥，所以∥，所以異面直線與MN所成的角，因為為等邊三角形，所以，所以異面直線與MN所成的角為，所以A錯誤，對于B，如圖，以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，令，則，向量為平面的一個法向量，設二面角的大小為，由圖可知為銳角，則，所以所以，所以B正確，對于C，設，分別到平面的距離為，因為，所以,所以，所以，所以，所以點C到平面BMN的距離是點到平面BMN的距離的2倍，所以C正確，對于D，作直線，分別延長交于，連接交于，連接交于，連接，則五邊形為過A，M，N三點的截面，因為正方體的棱長為1，所以，因為∽，所以，所以，所以，所以，，同理可得，，所以五邊形的周長為，所以D正確，故選：BCD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，的夾角的余弦值為，，且與垂直，則___________.【答案】【解析】【分析】由題設令，由及向量數量積的運算律求參數即可.【詳解】由題設，，若，則，所以，即，可得.故答案為：14.某同學勞動課上制作了一個圓錐形禮品盒，其母線長為40cm，底面半徑為10cm，從底面圓周上一點A處出發，圍繞禮品盒的側面貼一條金色彩線回到A點，則所用金色彩線的最短長度為___________cm.【答案】【解析】【分析】根據圓錐側面對應的扇形求所用金色彩線的最短長度.【詳解】由圓錐側面展開為半徑為40cm，弧長為cm扇形，所以圓心角為，而該扇形圓心角所對的弦長為最短金色彩線長度，故所用金色彩線的最短長度為cm.故答案為：15.在中，是中點，，與交于，若，則___________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的線性運算可得出關于的兩個表達式，即可求得實數的值.【詳解】設，所以，，，因為，所以，，解得.故答案為：.16.在長方體中，，，E，F，G分別是棱AB，BC，的中點，P是底面ABCD內一動點，滿足平面EFG，當BP最短時，三棱錐外接球的體積是___________.【答案】【解析】【分析】由直線與平面沒有公共點可知線面平行，補全所給截面后，易得兩個平行截面，從而確定點所在線段，可知當時，三角形面積最小，然后證，得到為三棱錐的外接球的直徑，進一步求解得答案．【詳解】補全截面為截面如圖，設，直線與平面不存在公共點，所以平面，易知平面平面，所以，且當與重合時，最短，此時的面積最小，由等面積法得，即，所以，因為，，所以平面，則，又，所以為三棱錐的外接球的直徑，長度為．則三棱錐的外接球的半徑為，體積為．故答案為：．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.某高校在2021年的強基計劃考試成績中，隨機抽取100名學生的成績，分組如下：第一組第二組第三組第四組第五組繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.（1）根據頻率分布直方圖求出第二組的頻數，并估計該100名學生成績的第80百分位數；（2）現需從成績較高的第三?四?五組中按比例用分層抽樣的方法抽取12名學生進行座談，求第三?四?五組各應抽取多少名學生進行座談.【答案】（1），（2）第三組抽取人；從第四組抽取人；從第五組抽取人【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方圖求出第二組的頻率即可求出人數，再判斷第80百分位數位于內，根據百分位數計算規則計算可得；（2）由頻率分布直方圖可知各組小矩形的高度之比，從而求出各組的人數；【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖可知，第二組的頻率為，所以第二組的頻數為.由頻率分布直方圖可知，成績在175分以下的學生所占比例為，成績在180分以下的學生所占比例為，因此，第80百分位數一定位于內.由，可得樣本數據第80百分位數約為.【小問2詳解】解：因為第三?四?五組小矩形高之比為3：2：1，所以從第三?四?五組中抽取學生數之比為3：2：1，從第三組抽取人；從第四組抽取人；從第五組抽取人.18.已知點，，，點P是直線OC上的動點（O為坐標原點），.（1）求的坐標；（2）求在方向上的投影向量.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設，解方程即得解；（2）求出，再利用投影向量的公式求解.【小問1詳解】解：設，則由，得，解得，所以.【小問2詳解】解：因為，所以.設在方向上的投影向量為，與的夾角為，=.19.如圖，在棱長為4的正方體中，E是上的動點，F是CD的中點.（1）求三棱錐的體積；（2）若E是的中點，求證：平面.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由正方體的性質可知平面，即點到平面的距離為，最后根據錐體的條件公式計算可得.（2）連接交于點，連接，，，即可得到四邊形是平行四邊形，從而得到，即可得證.【小問1詳解】解：在正方體中，平面，所以點在上運動時，到平面的距離為4，所以.【小問2詳解】解：連接交于點，連接，，，因為，且，，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.20.2009年9月聯合國教科文組織正式批準將端午節列入《人類非物質文化遺產代表作名錄》，端午節成為中國首個入選世界非遺的節日.某學校在端午節前夕舉行“燈謎競猜”活動，活動分一?二兩關，分別競猜5道?20道燈謎.現有甲?乙兩位選手獨立參加競猜，在第一關中，甲?乙都猜對了4道，在第二關中甲?乙分別猜對12道?15道.假設猜對每道燈謎都是等可能的.（1）從第一關的5道燈謎中任選2道，求甲都猜對的概率；（2）從第二關的20道燈謎中任選一道，求甲?乙兩人恰有一個人猜對的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用古典概型進行求解.（2）利用互斥事件、相互獨立事件的性質進行求解.【小問1詳解】）設“任選2道燈謎，甲都猜對”，用1，2，3，4，5表示第一關的5道燈謎，其中1，2，3，4表示甲猜對的4道，則樣本空間為{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，所以，，根據古典概型的計算公式，得.【小問2詳解】設“任選一道燈謎，甲猜對”，“任選一道燈謎，乙猜對”，“任選一道燈謎，甲?乙兩人恰有一個人猜對”，根據題意可得，，，，.因為，且，互斥，又甲?乙兩位選手獨立參加競猜，所以B，C相互獨立，從而，C，B，也相互獨立.所以，.即甲?乙兩人恰有一個人猜對的概率為.21.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且.（1）求角A；（2）若是鈍角三角形，且，求外接圓半徑的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先