【課題】5.6三角函數的圖像和性質【教學目標】知識目標：理解正弦函數的圖像和性質；理解用“五點法”畫正弦函數的簡圖的方法；了解余弦函數的圖像和性質．能力目標：認識周期現象，以正弦函數、余弦函數為載體，理解周期函數；會用“五點法”作出正弦函數、余弦函數的簡圖；通過對照學習研究，使學生體驗類比的方法，從而培養數學思維能力．【教學重點】(1)正弦函數的圖像及性質；(2)用“五點法”作出函數y=sinr在［0,2π］上的簡圖.【教學難點】周期性的理解．【教學設計】(1)結合生活實例，認識周期現象，介紹周期函數；(2)利用誘導公式，認識正弦函數的周期；(3)利用“描點法”及“周期性”作出正弦函數圖像；(4)觀察圖像認識有界函數，認識正弦函數的性質；(5)觀察類比得到余弦函數的性質．【教學備品】課件，實物投影儀，三角板，常規教具．【課時安排】2課時．(90分鐘)【教學過程】教 學過 程教師行為學生行為教學意圖時間*揭示課題5.6三角函數的圖像和性質*創設情景興趣導入問題介紹介紹了解問題引起學生教 學教師學生教學時過 程行為行為意圖間觀察鐘表，如果當前的時間是2點，那么時針走過12個■的^小時后，顯示的時間是多少呢？再經過12個小時后，顯示的奇心時間是多少呢？…….解決質疑思考每間隔12小時，當前時間2點重復出現.引導推廣提問學生類似這樣的周期現象還有哪些？引導領會思考5*動腦思考探索新知概念對于函數y=f(x),如果存在一個不為零的常數T，當X取思考周期定義域D內的每一個值時，都有x+T∈D,并且等式講解性比f(x+T)=f(x)成立，那么，函數y=f(x)叫做周期函數，常理解較抽象注數T叫做這個函數的一個周期.引導重引由于正弦函數的定義域是實數集R,對α∈R,恒有分析導學α+2kπ∈R(k∈Z),并且sin(α+2kπ)=sinα(k∈Z),因此正弦領會生不函數是周期函數，并且2π,4π,6π，…及-2π,-4π,■■斷用都是它的周期.通常把周期中最小的正數叫做最小正周期，簡稱周期，仍說明實例用T表示.今后我們所研究的函數周期，都是指最小正周期.因強調記憶理解領悟此，正弦函數的周期是2π.10*構建問題探尋解決說明介紹了解滲透由周期性的定義可知,在長度為2π的區間(如[0,2π],[-2π,0],[2π,4π])上，正弦函數的圖像相同，可以通過平移認知化繁強調為簡的思想和[0,2π]上的圖像得到.因此，重點研究正弦函數在一個周期內，即在[0,2π]上的圖像.問題方法用“描點法”作函數y=SinX在[0,2π]上的圖像.質疑思考解決教 學過 程教師行為學生行為教學意圖時間把區間［0,2只］分成12等份，并且分別求得函數y=SinX在建立各分點及區間端點的函數值，列表如下：(見教材)分析領會描點以表中的X,y值為坐標，描出點(%?)，用光滑曲線依次聯引導作圖結各點，得到y=SinX在［0,2π］上的圖像.(見教材)步驟推廣演示將函數y=SinX在［θ,2π］上的圖像向左或向右平移2π,4π，…，就得到y=SinX在(∞,+∞)上的圖像，這個圖匯總理解像叫做正弦曲線.(見教材)20*動腦思考探索新知概念正弦曲線夾在兩條直線y=-1和y=1之間，即對任意的角X，都有卜inx∣1成立，函數的這種性質叫做有界性.一般地，設函數y=f(X)在區間(〃力)上有定義，如果講解思考充分利用圖像存在一個正數M,對任意的X∈(a,b)都有If(X)∣M，那么函講解數y=f(X)叫做區間(a,b)內的有界函數.如果這樣的M不存說明理解分析在，函數y=f(X)叫做區間(a,b)上的無界函數.函數顯然，正弦函數是R內的有界函數.性質歸納引導領會正弦函數y=SinX的定乂域是實數集R.具有下面的性質：分析(1)是R內的有界函數，其值域為L1,11.當X=π+2kπ(k∈Z)時，y=1；當X=-π+2kπ(k∈Z)2 max 2時,y=-1.min體會歸納理解數形結合(2)是周期為2∏的周期函數.數學(3)是奇函數.思想(4)在每一個區間(-π+2kπ,π+2kπ)(k∈Z)上都是增函2 2強調記憶的應數，其函數值由-1增大到1；在每一個區間用(π+2kπ,3π+2kπ)(k∈Z)上都是減函數，其函數值由1減小2 2教過學程教師行為學生行為教學意圖時間到1.^30*動腦思考探索)觀察發現，正弦鍵點：(0,0),描出這五個點形狀就基本上確)描出這關鍵的五，而得到正弦函數彳法”新知網數3k2后，皂了.卜點，生［0,yy=SinX在［0I (π,D/正弦函數y=Si因此，在精確,然后用光滑的2∏］上的簡圖.；,2π］上的圖像中有五個關’3-,", (2-,0)?I2 7nX,在［0,2π］上的圖像的度要求不高時，經常首先曲線把它們聯結起來，從這種作圖方法叫做“五點質疑引領總結觀察思考體會五點可以教給學生自我發現總結35*鞏固知識典型例題例1利用“五點法”作函數y=1+SinX在［0,2π］上的圖像.分析y=SinX圖像中的五個關鍵點的橫坐標分別是0,-,2-,2,2π，這里要求出y=1+SinX在五個相應的函數值，2從而得到五個點的坐標，最后用光滑的曲線聯結這五個點，得到圖像.解列表說明講解觀察思考主動求解安排與知識點對應例題鞏固新知X0∏2∏3∏22π注重SinX^01^0-10畫圖y==1+SinX12101引領時對以表5-6中每組對應的X,y值為坐標，描出點(X,y)，用光滑的曲線順次聯結各點得到函數y21IT=I÷sfrι工質疑分析歸納理解細節的強調和引領不等式的求解過程y=1+Si例2已解因為nX在-口SinJSinX八、，I 0［0,2n］上的圖像. TC=a-4,求a的取值范圍.≤1,所以Ia-4∣≤1,即Γπ3π2π2X討論求解教 學過 程教師行為學生行為教學意圖時問—1a—41,可以解得 3a5.≤≤故a的取值范圍是［3,5］.≤≤例3求使函數y=sin2X取得最大值的元的集合，并指出最大值是多少.強調啟發思考領會教給學生獨立完成分析將2X看作正弦換.解設U=2X，則使函函數中的自變量，因此需要進行變量替數y=sinU取得最大值1的集合是引導明確引導學生體會1uπ.iJu=—+2kπ,k∈Z>,2 J換元由 2X=得 X二u=—+2kπ,2π7—+kπ.4講解理解數學方法思想50故所求集合為“X=4+kπ,k∈ZJ,函數y=sin2X的最大值是L*運用知識強化練習教材練習5.6.11.利用“五點法”作函數y=—sinX在［0,2π］上的圖像.提問動手關注.利用“五點法”作函數y=2sinX在［o,2∏］上的圖像..已知Sinα=3—a,求a的取值范圍..求使函數y=sin4X取得最大值的X的集合，并指出最大值是多少？巡視指導求解交流學生知識掌握情況55*構建問題探尋解決滲透余弦函數的定義域是R.由于對X∈R恒有X+2kπ∈R(k∈Z)并且cos(X+2kπ)=CoSX,可知余弦函數是周期函數，其周期是2π.問題介紹強調了解認知化繁為簡的思用“描點法”作出余弦函數y=CosX在［0,2π］上的圖像.解決質疑思考想和方法教 學過 程教師行為學生行為教學意圖時間把區間［0,2π］分成12等份，并且分別求得函數y=cosX在各分點及區間端點的函數值，列表(見教材).以表中的X,y值為坐標，描出點(%?)，用光滑曲線順次聯結各點，得到函數y=CoSX在［0,2π］上的圖像(見教材).推廣將函數y=CoSX在［0,2π］上的圖像向左或向右平移2π,4π，…，，就得到余弦函數y=CoSX在(-*+8)上的圖像(見教材).這個圖像叫做余弦曲線.引導演示總結領會主動求解理解注意圖像細節處理65*動腦思考探索新知歸納余弦函數y=cosX(XWR)的定義域是實數集R,余弦函數有如下性質：⑴是有界函數，其值域為Ll,l］.當X=2kπ(kGZ)時，y=1；當X=(2k+1)π(kGZ)時，y=—1.max min⑵是周期為2π的函數.⑶是偶函數.⑷在區間((2k—1)π,2kπ)(kGZ)內是增函數，函數值從—1增加到1；在區間(2kπ,(2k+1)∏)(kGZ)內是減函數，函數值從1減少到—1.講解引導分析歸納強調思考理解領會記憶充分利用圖像講解分析函數性質類比正弦函數70*鞏固知識典型例題例4用“五點法”作出函數)=—CoSX在［0,2π］上的圖像.分析y=cosX圖像中的五個關鍵點的橫坐標分別是0,-,π,23π生，2π,這里要求出y=-cosX在這五個關鍵點上的相應函2數值，從而得到五個點的坐標，最后用光滑的曲線聯結這五個點，得到圖像.解列表質疑說明引領講解觀察思考主動求解強調五點的特占八、、注意作圖的步X0∏2∏3∏22π教 學過 程教師行為學生行為教學意圖時間CoSX 1 0 -1 0 1匯總總結理解領悟驟和方法75y=—coSX -1 0 1 0 -1以表中的X,y值為坐標，描出點(X,y),然后用光滑的曲線順次聯結各點，得到函數)=-cosX在［0,2π］上的圖像1y=-cosXI I .~δπ3τ?K―兀 X*運用知識強化練習教材練習5.6.2用“五點作圖法”作