(完整版)解三角形測試題(附答案)

解三角形單元測試題1.在三角形ABC中，已知a=3，b=7，c=2，則角B為多少度？解：根據(jù)余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，代入已知數(shù)據(jù)得cosB=-47/42，由于角B為銳角，所以B=arccos(-47/42)約為120°，選D。2.在三角形ABC中，已知a=10，B=60°，C=45°，求c的值。解：根據(jù)正弦定理，c/a=sinC/sinA，a/sinA=sqrt(c^2-b^2)，代入已知數(shù)據(jù)得c=10(sin45°sin60°)/(sin45°+sin60°)約為10.3，選D。3.在三角形ABC中，已知a=23，b=22，B=45°，求角A的大小。解：根據(jù)余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入已知數(shù)據(jù)得cosA=23/44，由于角A為銳角，所以A=arccos(23/44)約為60°，選C。4.在三角形ABC中，已知a=12，b=13，C=60°，問此三角形有幾組解？解：根據(jù)余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入已知數(shù)據(jù)得cosA=1/8，由于1/8小于1，所以此三角形有兩組解，選C。5.在三角形ABC中，已知a=b+c+bc，求角A的大小。解：根據(jù)余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入已知數(shù)據(jù)得cosA=(b+c)/a，代入a=b+c+bc得cosA=1/(1+b)，所以角A的大小為arccos(1/(1+b))，選D。6.在三角形ABC中，若acosA=bcosB，問此三角形的形狀。解：根據(jù)余弦定理，acosA=bcosB等價于a/b=cosB/cosA，即a^2=b^2+c^2-2bccosA，代入已知數(shù)據(jù)得cosA=cosB，所以角A=角B，此三角形為等腰三角形，選A。7.在銳角三角形ABC中，已知邊長分別為1，3，a，求a的范圍。解：根據(jù)正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入已知數(shù)據(jù)得a/sinA=3/sinB，由于銳角三角形的三個角都小于90°，所以sinA，sinB，sinC均大于0，所以a/3=sinA/sinB>0，即a>0，又因為a<b+c，所以a<4，綜合得到2<a<4，選B。8.在三角形ABC中，已知2sinAcosB=sinC，問此三角形的形狀。解：根據(jù)正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入已知數(shù)據(jù)得2bc=a(sinC/cosB)，即2bc=2asinA，即b=c，所以此三角形為等腰三角形，選B。9.在三角形ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果此三角形有兩組解，則x的取值范圍是多少？解：根據(jù)正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入已知數(shù)據(jù)得x/sinA=2/sin60°，即x=sqrt(3)sinA，由于此三角形有兩組解，所以sinA>1/2，所以x>sqrt(3)/2，選A。10.在三角形ABC中，周長為7.5cm，且sinA：sinB：sinC=4：5：6，下列結(jié)論成立的個數(shù)是多少？①a:b:c=4:5:6②a:b:c=2:5:6③a=2cm，b=2.5cm，c=3cm④A:B:C=4:5:6解：根據(jù)正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入已知數(shù)據(jù)得a/(4/15)=b/(5/15)=c/(6/15)=7.5/2，即a=6,b=7.5,c=9，所以①成立，但②不成立；根據(jù)海倫公式，三角形的面積S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2，代入已知數(shù)據(jù)得S=sqrt(33)/4，所以③不成立；由于sinA：sinB：sinC=4：5：6，所以A:B:C≠4:5:6，所以④不成立，綜上所述，成立的個數(shù)是1個，選B。11.在三角形ABC中，已知AB/AC=4/3，AC=1，∠A=30°，求△ABC的面積。解：根據(jù)正弦定理，AB/AC=sinA/sinC，代入已知數(shù)據(jù)得AB=2，所以BC=sqrt(AB^2+AC^2-2ABACcosA)=sqrt(7)，所以△ABC的面積為1/2×1×sqrt(7)×sin30°=sqrt(7)/4，選D。12.已知△ABC的面積為3/2，且b=2，c=3，求∠A的大小。解：根據(jù)正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入已知數(shù)據(jù)得a/sinA=2/sinB=3/sinC，所以a=2sinA/3，且sinB=2sinA/3，sinC=3sinA/4，由于三角形的面積S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2，代入已知數(shù)據(jù)得3/2=sqrt(35)/4，所以sinA=sqrt(35)/10，由于0<∠A<180°，所以∠A=arcsin(sqrt(35)/10)約為30°，選B。13.已知△ABC的三邊長a=3，b=5，c=6，求△ABC的面積。解：根據(jù)海倫公式，三角形的面積S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2，代入已知數(shù)據(jù)得p=7/2，所以S=sqrt(7×2×2.5×1.5)=sqrt(105)/4，選C。14.某市在“舊城改造”中計劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮至少要多少元？解：根據(jù)三角形面積公式S=1/2×b×h，其中b為底邊長，h為高，代入已知數(shù)據(jù)得S=20×15/2=150，所以至少要購買150a元的草皮，選C。BC=15、甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東6°的方向駛?cè)?，?dāng)甲，乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是（）解析：根據(jù)題意，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，因此甲船到達最近點的時間為2.5小時。乙船以每小時6千米的速度向北偏東6°的方向駛?cè)?，可以將其分解為向北航行和向東航行，其中向北航行的速度為6cos6°千米/小時，向東航行的速度為6sin6°千米/小時。由于甲船和乙船是同時出發(fā)的，因此它們到達最近點的時間相同。設(shè)它們到達最近點的時間為t小時，則甲船和乙船到達最近點時的距離為：√[(10+4t)2+〔6tcos6°〕2+〔6tsin6°〕2]要使甲船和乙船到達的距離最小，只需對上式求導(dǎo)數(shù)并令其等于0，解得t=15/7（小時）。因此，它們航行的時間為2.5+15/7=4.2857（小時），約為4小時17分鐘。選項A正確。16、飛機沿水平方向飛行，在A處測得正前下方地面目標(biāo)C得俯角為3°，向前飛行10000米，到達B處，此時測得目標(biāo)C的俯角為75°，這時飛機與地面目標(biāo)的水平距離為（）解析：如圖所示，設(shè)飛機飛行的距離為x米，則tan3°=h/xtan75°=(H-h)/x其中h為飛機在A處的高度，H為飛機在B處的高度。由于飛機沿水平方向飛行，因此h=H。將上式代入得：x=H/tan75°-H/tan3°=10000/tan72°因此，飛機與地面目標(biāo)的水平距離為10000/tan72°≈4000米。選項C正確。17、在△ABC中，∠C＝70°，那么△ABC的面積為（）a=sin10°，b=sin50°，解析：根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC因此，c=sinC/a×b/sinB=sin70°/sin10°×sin50°≈1.919。由此可得，△ABC的面積為1/2×a×b×sinC=1/2×sin10°×sin50°×sin70°≈0.031。選項B正確。18、若△ABC的周長等于20，面積是103，A＝60°，則BC邊的長是（）解析：根據(jù)海倫公式，有S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p為△ABC的半周長，即p=(a+b+c)/2=10。代入已知條件得：103=√[(10-a)(10-b)(10-c)]又由于A=60°，因此a/b+c=cosA=1/2將上式代入得：a=(b+c)/2代入103=√[(10-a)(10-b)(10-c)]得：103=√[(b+c-10)/2×(10-b)×(10-c)]整理得：4(b+c)-20=b2+c2又因為b+c=20-a，代入得：4(20-a)-20=b2+c2化簡得：a2-16a+48=0解得a=8或a=6。當(dāng)a=8時，b+c=12，由a/b+c=1/2得b+c=16，矛盾。因此，a=6，b+c=14，由a/b+c=1/2得b+c=12，因此BC邊的長為b+c-a=6。選項B正確。19、已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是（）解析：根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的原則，有2+x>3，3+x>2，2+3>x解得1<x<5，因此選項A正確。21、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3，則a:b:c=1:√2:2。解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，有∠A+∠B+∠C=180°又∠A:∠B:∠C=1:2:3，因此∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC代入已知條件得：a/1=b/√3=c/2解得a:b:c=1:√2:2，因此選項A正確。22、在△ABC中，a=33,c=2,B=15°，則b=33sin15°/sin75°≈8.494。解析：根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC代入已知條件得：33/sin15°=b/sin165°=2/sinC又因為B=15°，因此B+C=180°-A=165°解得C=150°，因此sinC=sin30°=1/2。代入得：b=33sin15°/sin75°≈8.494因此選項B正確。23、在△ABC中，A=6°，B=45°，a+b=12，則a=6sin45°/sin6°≈27.86，b=12-a≈-15.86，不符合實際。因此該題無解。25、已知三角形兩邊長分別為1和3，第三邊上的中線長為1，則三角形的外接圓半徑為√10/2。解析：如圖所示，設(shè)△ABC的第三邊為BC，中線為DE，垂足為F，則BF=1，CE=2因此，BE=3，DE=1。根據(jù)勾股定理，有DF=√(DE2-EF2)=√(1-EF2)EF=BF-BE/2=-1/2因此，DF=√(5/4)=√5/2。根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R代入已知條件得：a=1/sinA，b=3/sinB，c=2R因此，a+b+c=1/sinA+3/sinB+2R=2R×(sinB+3sinA)/sinAsinB=2R×4√5/5又因為第三邊上的中線長為1，因此2R=2×√(1/4+1/16)=√10/2因此，三角形的外接圓半徑為√10/2，因此選項B正確。27、在△ABC中，已知AB=102，A=45°，在BC邊的長分別為20，情況下，求相應(yīng)角C。解析：如圖所示，設(shè)BC=x，則AC=102-x根據(jù)余弦定理，有1022=x2+(102-x)2-2x(102-x)cosC化簡得：2x2-204x+1022+1022-2x(1022-x2)cosC=0解得：x=51±√(2601-204(1022-2x2)cosC)/2因此，當(dāng)cosC=1時，x=51，此時∠C=90°；當(dāng)cosC=0時，x=51±√(2601-204×1022)/2，此時有兩個解，分別對應(yīng)銳角和鈍角。因此，答案不唯一，該題無法確定相應(yīng)角C。解三角形單元測試答案一、選擇題1.C2.B3.C4.B5.C6.B7.B8.C9.C10.B11.D12.B13.D14.B15.A16.A17.C18.B19.D20.B二、填空題21.1:3:222.723.36-12=24,12-24=-1224.無解25.12三、解答題27.(1)當(dāng)BC=20時，sinC=sin(180-A-B)=sin(180-30-45)=sin105°(2)當(dāng)BC=3時，sinC=sin(180-A-B)=sin(180-30-45)=sin105°(3)當(dāng)BC=5時，sinC=sin(180-A-B)=sin(180-30-45)=sin105°所以C的取值為105°。28.(1)cosC=cos(π-(A+B))=-cos(A+B)=-cos(75°)=-0.2588所以C=180-75=105°。(2)AB=AC+BC-2AC·BCcosC=(a+b)-2abcos120°=a+b+ab=2+2=4所以AB=4。29.證明：左邊=(sin2Asin2B)/(ab)-(cos2Acos2B)/(a^2b^2)=(2sinAcosA·2sinBcosB)/(ab)-(cos^2A·cos^2B)/(a^2b^2)=(sin(A+B)·sin(A-B)·sin(A+B)·sin(A-B))/(ab)-(cos^2A·cos^2B)/(a^2b^2)=[(sin^2(A+B)-sin^2(A-B))/(ab)]-(cos^2A·cos^2B)/(a^2b^2)=[(sin^2A·cos^2B+cos^2A·sin^2B)/(ab)]-(cos^2A·cos^2B)/(a^2b^2)=[(sin^2A·cos^2B-cos^2A·cos^2B+cos^2A·cos^2B+cos^2A·sin^2B)/(a^2b^2)]-(cos^2A·cos^2B)/(a^2b^2)=[(cos^2B(sin^2A-cos^2A)+cos^2A(sin^2B-cos^2B))/(a^2b^2)]=[(cos^2B·sin2A+cos^2A·sin2B)/(a^2b^2)]=[(cos^2B·2sinAcosA+cos^2A·2sinBcosB)/(a^2b^2)]=[(2sinAcosA·cos^2B+2sinBcosB·cos^2A)/(a^2b^2)]=[(2sinAcosA·cosB+2sinBcosB·cosA)/(ab)]=2sin(A+B)c