2021年高考數學模擬試題(8)

林國紅(廣東省佛山市樂從中學528315)

5.已知平面向量，”."滿足m|=3.?=

(4,-3),且之間的夾角為60°,則

\m—2n|=()

(A)/1O9.(B)789.(0779.(D)/139.

6.我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺

形時少直觀.形缺數時難入微.數形結合百般

一、單選題好.隔裂分家萬事休.在數學的學習和研究中，

1.已知集合｛①I了-z—6<0｝,函數的解析式常用來琢磨函數的圖象的特征.

N=｛了GZ|y=log?(3—J-)｝,函數f(jc)=(1------)sin.r在區間

則MnN=()

(A)[-2,31j)上的圖象的大致形狀是()

(B)E-2,2).

(C)｛-2,-l,0,l,2,3｝.

(D)(—2,—1,0,1,2｝.

2.已知函數/(1)=sinz和直線/：y=x+

a.那么"a=0"是"直線/與曲線y=y'(,r)相

切”的()

(A)充分不必要條件.

(B)必要不充分條件.

(C)充分必要條件.

(D)既不充分也不必要條件.

3.設｛%｝為等比數列，｛/>“｝為等差數列,

且S“為數列｛｝的前n項和.若a2=1，aio=

16,且=d,則Su=()

(A)20.(B)32.(040.(D)44.

4.某省進行高考綜合改革，要求學生從高()

二開始對課程進行選修.即從化學、生物、政治、(A)aVcV6.(B)6VaVc.

地理四門課程中選擇兩科進行選修，則甲乙兩(C)cV6<a.(D)c<a<b.

人所選課程中至多有一科相同的選法的種數是8.點M在曲線G”=31rkr上.過M作軸

()1―?

垂線/，設I與曲線)=一交于點M,OP=

(A)24.(B)30.(036.(D)42.

?26?

OM+ONIn7'

——三一，且P點的縱坐標始終為0,則稱M12.已知函數f(T)=—，，若時，

X

點為曲線G上的“水平黃金點”，則曲線G上的有/(彳1)=/(12)=相，兀是圓周率，e為自然對

“水平黃金點”的個數為()數的底，則下列結論正確的是()

(A)0.(B)l.(02.(D)3.(A)/(T)的圖象與X軸有兩個交點.

二、多選題

(B)〃2<—.

9.已知a,。￡R.(a—1)i—=3—2i,z=e

(l+i)f則()(C)若02V4,則2〈片］Ve.

3

(A)之的虛部是2i.(D)若。=e,b=3°,c=e*,d=/,s=3",

(B)|之|=2.t=/,則s最大.

(C)z=—2i.三、填空題

(D)z對應的點在第二象限.13.(i-1)(22+1嚴的展開式中尸。的系

數為(用數字作答).

10.對于函數/O)=3sin(21r-/)的圖

14.已知角a平的頂點為坐標原點，始邊與

象為C,敘述正確是()X軸的非負半軸重合，角的終邊與圓丁之+了？

(A)圖象C關于直線z=卷對稱.=1交于點M(一一當.將角a的終邊繞原

(B)函數/(z)在區間(一言?翁)內是增點逆時針旋轉5后與角￡的終邊重合，則

函數.sin(a+0)=.

2v2

(C)由.y=3sin2i的圖象向右平移為?個單15.設橢圓G：=十5=1(。>〃>0)與雙

aO

位長度可以得到圖象C.X2y2

曲線。2：―2-----7=1(加>0?〃>0)的公共焦點

m~n

(D)圖象C關于點傳,°)對稱?

為F1,F?,將C］，。2的離心率記為e1,《2，點A

11.已知正方體ABC。乂ICi，的棱長是a,在第一象限的公共點，若點A關于

為2,E,F分別是AAjCCi的中點，過E,F的22

的一條漸近線的對稱點為F】，則/J—2=

平面a與該正方體的每條棱所成的角均相等，ei%

以平面截該正方體得到的截面為底面.以

aB1

為頂點的棱錐記為棱錐。，則()16.圓F：/2+/—2y=0的圓心恰好為拋

(A)正方體ABCDTl/CiD的外接球物線C：/=2/？y(p>0)的焦點，則。的準線方

的體積為居

47T.程為，若直線/：*=歸1+與圓F和拋

(B)正方體ABCD乂iBCi。的內切球

物線C自左至右分別交于A,M,N,B,則

4

的表面積為.

IAM|+|BN|的最小值為-------

(C)棱錐O的體積為3.

四、解答題

(D)棱錐。的體積為5.

17.在①〃=^/^,②a(sinb+sinC)=

?27?

6sinA，③。c=10,這三個條件中任選一個.補充為比賽的“主客場”與“勝負”之間有關？

在下面問題中，若問題中的三角形存在，求出(2)已知A隊與B隊在季后賽的總決賽中

△ABC的面積；若問題中的三角形不存在.說相遇，假設每場比賽結果相互獨立.A隊除第五

明理由.場比賽獲勝的概率為:夕卜，其它場次比賽獲勝

問題：是否存在△ABC,它的內角A,B,C

的對邊分別為a".c,且asin(A+B)=的概率等于A隊常規賽60場比賽獲勝的頻率.

,B+C記X為A隊在總決賽中獲勝的場數.

cstn---,a=3,?

(i)求X的分布列；

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個(ii)求A隊獲得本賽季的總冠軍的概率.

解答計分.

附.K-=-------------------------------------.

(a+b')(c+d'><.a+c)(b+d)

18.數列｛a“｝的前n項和為S”.已知a?=

1,(2，？-1)a?+i=(2n+3)S?(>;=1.2.???)P(K20.1000.0500.025

(1)證明：數列s“J是等比數列；k27063.8415.024

\￡n—1)

jrcy4

(2)求數列｛S”｝的前n項和T“.21.已知橢圓E：—-十—v=1(a1)的

19.如圖1,AB是半圓O

的直徑，C是半圓。上除A,離心率e=，其左、右頂點分別為點A,B,且

B外的一個動點，DC垂直于

點A關于直線y=/對稱的點在直線y=3z—

半圓。所在的平面.DC〃

2上.

EB.DC=EB=｝,AB=4.

(1)求橢圓E的方程；

(1)證明：平面ADE(2)若點M在橢圓E上，點N在圓。：/十

平面ACD；

/=〃上,且乂他都在第一象限，MN_Ly

(2)當C點為半圓弧的中點時，求二面角

軸.若直線MA,MB與了軸的交點分別為C,

D-AE-B的余弦值.

Q,判斷sinZCND是否為定值，若是定值，求

.某取業籃球聯賽分為常規賽和季后賽.

20出該定值；若不是定值，說明理由.

聯賽采用賽會制：所有球隊集中在同一個地方

22.已知函數/(1)=1+e~rcosi.

比賽，分兩個階段進行，每個階段采用循環賽，

(1)求/(i)的單調區間；

分主場比賽和客場比賽,積分排名前8的球隊

(2)若/e(一笈，+8),1］工孫，且

進入季后賽.季后賽的總決賽采用五場三勝制

)+//'(以)=4,證明：71+12<0.

五場三勝制”是指在五場比賽中先勝三場者獲得比

賽勝利.勝者成為本賽季的總冠軍).下表是A隊在參考答案

常規賽60場比賽中的比賽結果記錄表.

題號12345678910

主場獲

階段比賽場數主場場數獲勝場數

勝場數答案DADBCADCBCAB

第一階段30152010題號111213141516

第二階段30152515

_7_

答案AC40964

BCD-25y=-1;2

(1)根據表中信息.是否有90%的把握認

?28?

B4-Ca+c)=6a,

17.因為asin(A+B)=csin—；二

即6+c=6,

由正弦定理可得由余弦定理得

B+C

sinAsin(A+B)=sinCsin——-——,a2=b2+c'—26ccosA,

即b2+c2—be=9,

B+C

即sinAsinC=sinCsin;

、./zrA\、A

。J

—sinsiii[—sinCcos,解得b=3,c=3、

又sinCW0,所以△ABC的面積為

c1,一9用

所以sinA=cos5=—PCsinA=---.

Z4

日np.AAA選擇條件③：

即2sin2cos=cos],

由余弦定理得

又cos9W0,a2=b2+c~—2bccosA.

即62+c2-6c=9.

所以siri,U1,且A￡(0,Tr),

故[=看，即A=!

263消元得b'-1962+100=0,

選擇條件①：此時△=(-19產一400=-39V0,

所以方程無實數根.

因為b=翼、R,a=3,

故問題中的三角形不存在.

由正弦定理&八=b'得18.(1)因為(2〃-Da1=(2?+3)S?,

sinAsinn

373

.resinB

sin一

3又因為小=5,,+,7,=后5,,,

解得sinB=5,且6<a,_2(2?+1)

即

，，+,2〃-1n，

s?,s?

所以B=I所以+1

2〃+1—”■2〃一1'

故C=1.乂ai=1,

可得S1=1,

所以△ABC的面積為

(盧:，是以為首項為公比的等

所以數列1，2

比數列.

選擇條件②：

(2)由(1)可得-^-=2"-',

因為a(sinB+sinC)=6sinA.，〃一1

由正弦定理可得即S'=(2"-1)-2'1，

?29?

則T“=1+3X2+5X2,+…十設平面DAE的法向量為

(2〃-3)?2-,-2+(2?-1)?2"T,m=(JTi,\i，之i),

2T?=1X2+3X22+5X23+-+平面ABE的法向量為〃=(才2，丁2，之2)，

(2n-3)?2”T+(2n-1)?2",{m?DA=0,\n?AB=0,

則一一

兩式相減得一T??DE=0,\n?BE=0,

=1+2X(21+22H----F2"T)一(2”-1)-2"\2y/2x1—Z\=0,

即、

[2展》]=0,

J—2\f2x2+2y/2y=0,

=(3-2n)?2"-3.2

L2=。.

所以T?=(2?-3)-2"+3.

19.(1)因為AB是圓。的直徑.令11=1,得加=(1,0,29)，

所以AC±DC.令12=1,得

又因為DC，平面ABC,山山/\m?n1V2

所以cos</n,〃〉=-：---n----r=—二=—,

BCU平面ABC,mnI3726

所以DC±BC,因為二面角D-AE-B是鈍二面角，

乂DCnAC=C,所以二面WE-B的余弦值為一今

所以BC_L平面ACD,

因為DCJLEB,20.(1)根據表格信息得到列聯表

所以四邊形DCBE是平行四邊形.A隊勝A隊負合計

即DE//BC,主場25530

所以DE_L平面ACD,客場201030

乂DEU平面ADE,合計451560

所以平面ACDJ_平面ADE.

.22

n(abd<—-b-e-)----------------------------

(2)當C點為半圓的中點時.(a+6)(c+c/)(?+c)(Z>+cl)

AC=BC=2^2,_60X(25X10—20X5)2

30X30X45X45

以C為原點，以CA,

2.222<2.706,

CB,CD為坐標軸建立空間

所以沒有90%的把握認為比賽的“主客場”與

坐標系如圖2所示.則

“勝負”之間有關.

A(2V2,0,0),

(2)(i)X的所有可能取值為0,1,2,3,

B(0,2V2,0),

A隊前4場獲勝的概率為'=口，

D(0,0,l),604

E(0,2V2,1),P(X=0)=C葉

所以AB=(-272,272,0),

BE=(0,0,l).

DE=(0,2V2,0),

P(X=2)=C：(*-

~DA=(2^2,0,-1),

?30?

P（X=3）=C^（4）3+C；（4）2X|X|+然

2公+1_1

2—快z一丁一市

仁停）（7）x4=lf,2F+I-2

所以x的分布列為所以BM的方程》=一六(z—2),

LR

X0123

令7=0,解得

192727

p

6425625632

于是D(°4)-

（ii）A隊獲得本賽季的總冠軍的概率為

威勤Ie仔廣＞?淚

設NQN,y(>).貝lj

NC—(―JCz,2h—ya),

ND=(-hz，；----j?o).

21.(1)點A(—*0)關于直線對稱

故NC-ND=^N+yl+2-^-^y0.

的點(0,一a)在直線>=3/—2上，

所以一Q=0—2,212o4上

因為"》。_2'右-242+.

解得a=2.

又—=^~.a2=b2+c2,所以NC-ND=0,

a2從而NC1ND,

解得b2=c2=2.即ZCND=90°,

x2y2所以sinZCND=1為定值.

所以橢圓E的方程為9+—=1.

4Z22.(1)/(^)的定義域為(-8,+8),

(2)設M(2o,3。),f'(,r)=-e~rcos.r-e-J'sina-

AM；y=A(z+2)(/>0),

令.r=0,解得y=24,

所以C(Q,2k).由/'（了）＜0,得sin卜+：）＞0,

Jy=左(z+2),

聯立化簡得

U2+2jr2=4,從而2板一？V_r＜2底+與花eZ.

44

(2〃+D/+弘晨+8抬-4=0(/r>0),

由/“（］）＞0,得sin（i+：）＜0,

8^-4

從而2才°-2/+1'

從而2kn—W1＜2k穴一、,kGZ.

_2-4k244

解得了"2k2+1,

所以，/（/）的單調遞減區間為

4k

所以

y°?^2+r（247T—:,2k以+牛），4eZ；

（2—上以、單調遞增區間為

即M\2^2+1'2^2+1/

（2kn一子,2々萬—十）,kez.

所以直線BM的斜率為

?31?

⑵十"(II)=4,G’(1)=er—e-J—2sinz,

即er1+COSTi+e*2+COSJT2=4,令火(］)=1-e-*—2sin.r,

令g(z)=er+COSJ：,則則，(>r)=er+e-J—2cosi

gOi)+g(kz)=4,>2(1—cosa，)>0.

g(jr)=er-sinJ：-.所以勺（式）在（一萬，0）上單調遞增，

當力〉0時，『（1）>1—sinz>0；從而9(i)<華(0)=0,

當一TTVIW。時，sin.r&0,即G'(z)<0,

g'(1)=er—sinjr〉0,所以G（z）在（一k，0）上單調遞減，

故ze（—“，+8）時，g'（7）>o恒成立，于是G(i)〉G(0)=g(0)+g(—0)=4,

所以g（7）在（-7T,+8）上單調遞增，即)+g(—H)>4,

不妨設一〃V行<工2,注意到又xie(—7r,o),

g(0)=e°+cosO=