第三節正項級數第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四道，單調有界數列必有極限，所以如果部分和數列定義設級數級數對于正項級數，由于機動目錄上頁下頁返回結束所以正項級數即則數列正項級數收斂；反之，若正項級數收斂，即為正項級數。則稱，若，因而必為單調增加數列的部分和數列有界，則由數列極限存在準則知存在，此時必有界，由此得到如下定理：第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四定理二(比較判別法)(1)如果級數則級數且成立，則有收斂,也收斂;(2)如果級數則級數發散,也發散。和對于正項級數機動目錄上頁下頁返回結束定理一正項級數收斂的充要條件是它的部分和數即“大”的收斂，“小”的一定也收斂即“小”的發散，“大”的一定也發散有界。列第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四因此這說明級數也發散。因此對一切有由定理1可知,也收斂。則有(2)如果級數發散,(1)如果級數則有收斂,級數機動目錄上頁下頁返回結束都有設對一切證:因在級數前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨分別表示級數和的部分和,則有第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四通俗地說，若一個級數收斂，那么每項都比它小比較判別法需要與一個已知斂散性的級數比較，在實際應用中也可以對級數自身相鄰項分析來判斷級數的斂散性。

有時用比較判別法的極限形式更方便，對于正項則級數有著相同的斂散性。機動目錄上頁下頁返回結束項都比它大的那個級數肯定也發散。的那個級數肯定也收斂；若一個級數發散，那么每級數和和，若滿足第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四例1.判定調和級數

解:

的斂散性。機動目錄上頁下頁返回結束第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四事實上當即調和級數大于一般項為機動目錄上頁下頁返回結束的正項級數是發散的。有此外，對于廣義調和級數時收斂，=的正項級數。由定理二可得，調和級數也是發散的。，也可以證明當時發散。顯然由于一般項為第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四機動目錄上頁下頁返回結束即故有界，級數是收斂的。，，所以有上界，又對任意n有第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四證明級數收斂。證明:因為級數的一般項滿足例2.機動目錄上頁下頁返回結束而等比級數是收斂的，根據定理二可得，級數收斂。第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四定理三比較判別法(達浪貝爾判別法)，如果，則（2）當（1）當設正項級數機動目錄上頁下頁返回結束（3）當（此時要用其他方法判定）證明略。時，級數收斂；時，級數發散；時，級數可能收斂也可能發散。第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四定理四（3）當證明略。（1）當根值判別法（柯西判別法），設正項級數（2）當機動目錄上頁下頁返回結束的一般項（此時要用其他方法判定）則次根的極限滿足的時，級數收斂；時，級數發散；時，級數可能收斂也可能發散。第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四例3.判定級數解利用Mathematica軟件求極限機動目錄上頁下頁返回結束Out[2]=的斂散性。發散。由于極限大于１，根據定理三可得，級數第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四由于例4

判別級數解

對于級數由于極限小于１，根據定理三可知，級數機動目錄上頁下頁返回結束的斂散性。再根據定理二可得，級數，利用Mathematic軟件求極限收斂。收斂，第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四本節小結1.正項級數的定義機動目錄上頁下頁返回結束2.正項級數斂散性的判別法：（1）比較判別法；（2）比值判別法（達朗貝爾判別法）；（3）根值判別法（柯西判別法）。第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四課堂練習：習題10-31.選擇題（1）下列命題正確的是（）；機動目錄上頁下頁返回結束A．若正項級數B．若正項級數必收斂C．若正項級數D．若必收斂，則必有，則，則，則級數第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四習題10-31.選擇題（2）下列正項級數收斂的是（）.機動目錄上頁下頁返回結束第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四習題10-32.用比較判別法判定下列級數的收斂性：

機動目錄上頁下頁返回結束3.用比值判別法判定下列級數的收斂性：

第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四習題10-34.判定下列級數的收斂性：

機動目錄上頁下頁返回結束