第三章機器人運動第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四第一節概述

常見的機器人運動學問題可歸納如下：1．對一給定的機器人，已知桿件幾何參數和關節角矢量求機器人末端執行器相對于參考坐標系的位置和姿態。2．已知機器人桿件的幾何參數，給定機器人末端執行器相對于參考坐標系的期望位置和姿態(位姿)，機器人能否使其末端執行器達到這個預期的位置？如能達到，那么機器人有幾種不同形態可滿足同樣的條件?

2第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四

第一個問題常稱為運動學正問題(直接問題);第二個問題常稱為運動學逆問題(解臂形問題)。這兩個問題是機器人運動學中的基本問題。3第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四第二節機器人運動學的基本問題

一、運動學基本問題

圖3－1所示為2自由度機器人手部的連桿機構。

4第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四圖中的連桿機構是兩桿件通過轉動副聯接的關節結構，通過確定連桿長度，以及關節角，，可以定義該連桿機構。在分析機器人的末端手爪的運動時，若把作業看作主要依靠機器人手爪來實現的，則應考慮手爪的位置（圖中點的位置）。一般場合中，手爪姿勢也表示手指位置。從幾何學的觀點來處理這個手指位置與關節變量的關系稱為運動學（Kinematics）。

5第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四我們引入向量分別表示手爪位置ｒ和關節變量θ，

因此，利用上述兩個向量來描述一下這個2自由度機器人的運動學問題。手爪位置的各分量，按幾何學可表示為：(3-1)(3-2)6第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四用向量表示這個關系式，其一般可表示為

式中表示向量函數。已知機器人的關節變量，求其手爪位置的運動學問題稱為正運動學（directkinematics）。該公式被稱為運動方程式。如果，給定機器人的手爪位置，求為了到達這個預定的位置，機器人的關節變量的運動學問題稱為逆運動學（inversekinematics）。其運動方程式可以通過以下分析得到。

(3-3)7第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四如圖所示，根據圖中描述的幾何學關系，可得

式中(3-4)(3-5)(3-6)8第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四同樣，如果用向量表示上述關系式，其一般可表示為

如圖所示，機器人到達給定的手爪位置

有兩個姿態滿足要求，即圖中的也是其解。這時和變成為另外的值。即逆運動學的解不是惟一的，可以有多個解。

(3-7)9第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四二、機器人位置與關節變量的關系

1．表示方法

機器人是由一系列關節連接起來的連桿所組成---開式鏈結構。為了求機器人手部在空間的運動規律-----一種合適的數學方法來描述。通常把坐標系固定于每一個連桿的關節上，如果知道了這些坐標系之間的相互位置與姿態，手部在空間的位置與姿態也就能夠確定了。第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四二、機器人位置與關節變量的關系

1．表示方法以手爪位置與關節變量之間的關系為例，要想正確表示機器人的手爪位置和姿態，就要首先建立坐標系，如圖3－3所示，應分別定義固定機器人的基座和手爪的坐標系，這樣才能很好地描述它們之間的位置和姿態之間的關系。11第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四圖3－3基準坐標系和手爪坐標系

基準坐標系,固定在基座上手爪坐標系，固定在手爪上12Ｒ旋轉變換矩陣P－OB指向ＯE的位置矢量第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四2．姿態的變換矩陣

如圖3－4所示，給出原點重合的兩坐標系

則假設點的位置向量的分量在兩坐標系中分別表示為13第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四則從向的變換為：其中：它是從坐標向坐標進行位置向量姿態變換的矩陣，稱為姿態變換矩陣（或旋轉矩陣）。

14第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四分析如圖3－5所示坐標系，它是將圍繞軸沿正方向旋轉角后構成的坐標系。

圖3－5兩個坐標系的旋轉坐標變換因此，在坐標系上表示的坐標與在將坐標系繞軸沿正方向旋轉角得到的坐標系上表示的坐標之間，存在下列關系式：15第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四由上面知從坐標系向坐標系的坐標變換矩陣為：16第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四因為上述變換是把某一坐標系上表示的坐標，表示到另一坐標系中，因此有時也稱它為坐標變換。在該例子中是從坐標系向坐標系的坐標變換，由于坐標系是圍繞軸旋轉角后構成的坐標系，則該坐標變換矩陣也可用來表示17第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四同理，上述例子中，當考慮圍繞著軸旋轉時（設其旋轉量為），可得到如下關系式：

另外，當圍繞著軸旋轉時（設其旋轉量為），可表示為如下關系式：18第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四可以驗證

該矩陣為單位矩陣式中*表示、、中的任何一個。所以有下列等式成立在分析機器人運動時，當只用圍繞一個軸旋轉不能表示時，可以通過圍繞幾個軸同時旋轉的組合方式進行表示。

均滿足

19第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四3．齊次變換前面討論了機器人在進行旋轉運動時的坐標變換，一般來說，機器人的運動不僅是旋轉運動，有時要做平行移動，或以上兩種運動的合成，因此也應考慮平移運動時的坐標變換，即齊次變換。20第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四現在來看下圖的兩個坐標系，坐標系是將坐標系單獨地平行移動后，再進行適當地旋轉得到的坐標系。21第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四這時，某一點其在坐標系和上的坐標分別為、，可以認為，是由旋轉而進行坐標變換后，即乘以旋轉坐標變換，在加上表示平移的向量而得到的，因此可寫出下列表達式：22第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四因旋轉而進行的坐標變換，與因平移而進行的坐標變換，可以用一個坐標變換矩陣來表示，記為，稱這個矩陣為齊次坐標變換矩陣，或簡稱為坐標變換矩陣，表示為：23第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四三、機器人的運動學的一般表示

前面所介紹的是任意兩個坐標系之間的坐標變換，我們知道，機器人一般是有多個關節組成的，各關節之間的坐標變換可以通過坐標變換相乘后，結合在一起進行求解。如前所述，可以把機器人的運動模型看作是一系列由關節連接起來的連桿機構。一般機器人具有個自由度，為了分析其運動，可將上述方法擴展一下。

24第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四通常把描述一個連桿與下一個連桿間相對關系的齊次變換稱為矩陣。一個矩陣就是一個描述連桿坐標系間相對平移和旋轉的齊次變換。如果用表示第一個連桿在基系的位置和姿態，表示第二個連桿相對第一個連桿的位置和姿態，那么第二個連桿在基系的位置和姿態可由下列矩陣的乘積求得25第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四同理，若表示第三個連桿相對第二個連桿的位置和姿態，那么第三個連桿在基系的位置和姿態可由下列矩陣的乘積求得26第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四于是，對于六連桿的機器人，有下列矩陣成立一般，每個連桿有一個自由度，則六連桿組成的機器人具有六個自由度，并能在其運動范圍內任意定位與定向。其中，三個自由度用于規定位置，另外三個自由度用來規定姿態。所以，表示了機器人的位置和姿態。27第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四對于具有個關節的機器人，若設坐標系為固定在指尖上的坐標系時，則從坐標系到基準坐標系的坐標變換矩陣可由下式給出：不僅是從坐標系到坐標系的坐標變換，而且同時還可以解釋為在基準坐標系上看到的表示指尖位置和方向的矩陣。

28第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四四、機器人運動問題的示例

1．機器人正運動學問題機器人正運動學問題就是求機器人運動學的正解（forwardkinematics），即在給定組成運動副的相鄰連桿的相對位置情況下，確定機器人末端執行器的位置和姿態。通過上述分析可知，運動學正解可用一個反映此相對關系的變換矩陣來表示，這里一般是指開式鏈的機器人結構。

29第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四以一個6自由度的機器人為例，如圖所示，在該機器人中，除第3個關節為平移關節外，其余均為旋轉關節。30第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四對于這個機器人，根據圖中表示的坐標系為基準坐標系，正運動學問題就是求該機器人末端手指關節6的位置和姿態，也就是在基準坐標系上看關節6，因此找出由到的坐標變換矩陣即可。也就是表示這個機器人的末端指尖的位置和方向，可以由下式給出：31第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四其中32第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四33第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四34第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四上式即為該6自由度機器人的運動學正解。對于不同類型的機器人，其坐標變換矩陣的形式不同，要根據實際結構求得。

35第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四2．機器人逆運動學

機器人的逆解問題比較復雜，為了說明問題，下面先以2自由度的機器人為例。如圖所示，已知機器人末端的坐標值（x,y），試利用表示36第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四根據圖中的幾何關系可知：

（3－38）

（3－39）

37第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四聯立求解上述兩方程，可分別求出的表達式。因此可進一步得到：

將該式代入前面的幾何表達式就可求出的表達式。

38第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四從機器人的手爪末端位置姿態出發，可以求出機器人對應的各關節的角度。該例的機器人是屬于平面多關節機器人，對于一般的機械手來講，其求解過程比較復雜，往往其解不是唯一的.39第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四第三節機器人的雅可比矩陣一、雅可比矩陣的定義

前面討論了機器人的指尖位置和方向與各關節的變化位置之間的關系。在本節將進一步討論指尖的速度與各關節的速度（轉動或平移）之間的關系。考慮機械手的手爪位置和關節變量的關系用正運動學方程表示如下：40第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四假定這里考慮的是

的一般情況，并設手爪位置包含表示姿態的變量，以及關節變量由回轉角和平移組合而成的情況。（3－55）41第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四若用每個分量表示，則變為在的情況下，將變為手爪位置的關節變量有無限個解的冗余機器人。而工業上常用的多關節機器人手臂，通常用于作業的所需手爪應有3個位置變量和3個姿態變量，總計6個變量。而且由于不采用冗余機器人結構，所以。42第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四將式（3－55）的兩邊對時間微分，可得到下式（3－57）其中

（3－58）43第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四稱為雅可比矩陣（Jacobianmatrix）。若在式（3－57）的兩邊乘以微小時間，則可得到

（3－59）該式是用雅可比矩陣表示微小位移間關系的關系式。

44第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四二、與平移速度相關的雅可比矩陣

現在設基準坐標系為，固定于指尖的坐標系為，在上表示的坐標為，則可以表示如下：（3－60）

45第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四這時，指尖的平移速度可以寫成：（3－61）

式中，，其中是關節的數目。這里的稱為與平移速度相關的雅可比矩陣。

46第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四下面以2自由度機械手為例，如前面圖3－2所示的2自由度機械手的雅可比矩陣。前面已推導過，該機器人的指尖位置可以表示為47第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四則與這個機器人的平移速度相關的雅可比矩陣，可以下列形式給出：

（3－63）

48第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四現在，我們來討論一下的各列向量的幾何學意義，即在時，考慮，的幾何學意義。根據式（3－63），是在時，也就是第2關節固定時，僅在第1關節轉動的情況下，指尖平移速度在基準坐標系上表示出的向量。同樣，是第1關節固定時，僅在第2關節轉動的情況下，指尖平移速度在基準坐標系上表示出的向量。

49第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四因此，當用圖表示和時，就變成了如圖所示的情況。

圖3－9和的幾何學說明50第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四齊次坐標變換假設機器人手部拿一個鉆頭在工件上實施鉆孔作業，已知鉆頭中心P點相對于手腕中心的位置，求P點相對于基座的位置。分別在基座和手部設置為固定坐標系和動坐標系，如圖所示。坐標為（xb，yb，zb）坐標為（x，y，z）P點相對于固定坐標系相對于動坐標系第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四三矢量之間的關系為其中第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四代入、寫成矩陣形式：再根據與的關系可得：第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四進一步整理寫成矢量形式為該式稱為坐標變換方程。其中，被稱作位置矩陣，表示動坐標系原點到固定坐標系原點之間的距離。第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四可以進一步表示為叫做齊次坐標變換矩陣（HomogeneousCoordinateTransformationMatrix），包含了兩級坐標變換之間的位置平移和角度旋轉的兩方面信息。上式稱為齊次坐標變換方程式中第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四3.3.2舉例則動坐標系相對定坐標系平移1.平移坐標變換（Translation）所以第五十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四繞x軸旋轉按右手規則確定旋轉方向，即2.旋轉坐標變換（Rotation）第五十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四3.綜合坐標變換設活動坐標系與固定坐標系初始位置重合，經下列坐標變換：①繞z軸旋轉900；②然后繞y軸旋轉900；③相對于固定坐標系平移位置矢量。試求合成齊次坐標變換矩陣T。解活動坐標系繞固定坐標系z軸旋轉900，其齊次變換為第五十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四活動坐標系再繞固定坐標系y軸旋轉900，其齊次變換為活動坐標系再平移，有第五十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期四合成齊次變換矩陣為T中第一列的三個元素（0，1，0）T表示活動坐標系的u軸與固定坐標系三個坐標軸之間的投影，故u軸平行于y軸；T中第二列的三個元素（0，0，1）T表示活動坐標系的v軸與固定坐標系三個坐標軸之間的投影，故v軸平行于z軸；T中第三列的三個元素（1，0，0）T表示活動坐標系的w軸與固定坐標系三個坐標軸之間的投影，故軸w平行于x軸；T中第四列的三個元素（4，-3，7）T表示活動坐標系的原點與固定坐標系原點之間的距離。物理意義：第六十