2022-2023學年福建省福州市市第二十四中學高一數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=，若關于x的方程f（x）=k有三個不同的實根，則實數k的取值范圍是（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，0）參考答案：A【考點】根的存在性及根的個數判斷．【專題】數形結合；數形結合法；函數的性質及應用．【分析】令y=k，畫出函數y=f（x）和y=k的圖象，通過圖象觀察即可得到所求k的范圍．【解答】解：畫出函數f（x）的圖象（紅色曲線），如圖所示：令y=k，由圖象可以讀出：﹣1＜k＜0時，y=k和y=f（x）的圖象有3個交點，即方程f（x）=k有三個不同的實根，故選A．【點評】本題考查根的存在性問題，滲透了函數方程的轉化思想和數形結合思想，是一道中檔題．2.已知弧度數為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長是

()A．2

B．

C．

D．參考答案：B3.將函數的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位，所得函數圖象的一條對稱軸為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.若函數的最大值為，最小值為，則等于（

）

（A）（B）（C）（D）參考答案：B5.若定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，則下列說法一定正確的是（）A．f（x）為奇函數 B．f（x）為偶函數 C．f（x）+1為奇函數 D．f（x）+1為偶函數參考答案：C【考點】函數奇偶性的判斷．【分析】對任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四個選項，本題要研究函數的奇偶性，故對所給的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1進行賦值研究即可【解答】解：∵對任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1為奇函數．故選C6.已知函數y=Asin（ωx+φ）+B的一部分圖象如圖所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，則（）A．A=4 B．ω=1 C．φ= D．B=4參考答案：C【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】計算題．【分析】先根據函數的最大值和最小值求得A和B，然后利用圖象中﹣求得函數的周期，求得ω，最后根據x=時取最大值，求得φ．【解答】解：如圖根據函數的最大值和最小值得求得A=2，B=2函數的周期為（﹣）×4=π，即π=，ω=2當x=時取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故選C．【點評】本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．考查了學生基礎知識的運用和圖象觀察能力．7.函數的圖像必經過點（

）A.(0,1)

B.(2,1)

C.(3,1)

D.(3,2)參考答案：D略8.已知，則角的終邊所在的象限為（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D由可知：則的終邊所在的象限為第四象限故選9.如圖，四棱錐P-ABCD，，M是PC的中點，直線AM交平面PBD于點N，則下列結論正確的是（

）A.O，N，P，M四點不共面 B.

O，N，M，D四點共面C.O，N，M三點共線 D.

P，N，O三點共線參考答案：D【分析】根據公理一、二、三逐一排除即可。【詳解】直線與直線交于點，所以平面與平面交于點O，所以必相交于直線，直線在平面內，點故面，故四點共面，所以A錯。點若與共面，則直線在平面內，與題目矛盾，故B錯。為中點，所以，，故，故C錯。故選D。【點睛】本題屬于中檔題，考查公理一、二、三的應用，學生不易掌握，屬于易錯題。10.在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關關系的圖是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設二次函數對任意實數，都存在，使得，則的最大值是

．參考答案：12.設x、y∈R+且=1，則x+y的最小值為．參考答案：16【考點】基本不等式．【分析】將x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）?（），展開后應用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）?（）==10+≥10+2=16（當且僅當，x=4，y=12時取“=”）．故答案為：16．13.已知在△ABC和點滿足，若存在實數使得成立，則_________.參考答案：3因為點滿足，所以點是△ABC的重心，因為重心到頂點的距離與到對邊中點的距離的比是，所以14.若函數f（x）為偶函數，且在（0，+∞）上是減函數，又f（4）=0，則＜0的解集

．參考答案：（﹣4，0）∪（4，+∞）【考點】奇偶性與單調性的綜合．【專題】轉化思想；轉化法；函數的性質及應用．【分析】根據函數奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化進行求解即可．【解答】解：若函數f（x）為偶函數，則不等式＜0等價為=＜0，即xf（x）＜0，∵f（x）為偶函數，且在（0，+∞）上是減函數，f（4）=0，∴函數f（x）對應的圖象為：則不等式等價為x＞0時，f（x）＜0，此時x＞4，x＜0時，f（x）＞0，此時0＜x＜4，綜上不等式的解集為（﹣4，0）∪（4，+∞），故答案為：（﹣4，0）∪（4，+∞）【點評】本題主要考查不等式的求解，利用函數奇偶性的性質，作出函數的圖象，利用數形結合是解決本題的關鍵．15.如圖，在2×3的矩形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的等腰直角三角形共有__________個．參考答案：見解析直角邊長為時，個，直角邊長為時，個，直角邊長為時，個，直角邊長為時，個，∴總共有．16.已知函數，若將函數的圖像向左平移個單位，所得圖像關于軸對稱，則實數的取值集合是________．參考答案：17.若x>1,求的最小值是________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知函數．（Ⅰ）求函數的定義域；（Ⅱ）判斷并證明函數的奇偶性．參考答案：（1）定義域是（2）奇函數證明如下：∵∴∴函數是奇函數19.某工廠生產一種機器的固定成本為5000元，且每生產100部，需要加大投入2500元。對銷售市場進行調查后得知，市場對此產品的需求量為每年500部，已知銷售收入函數為，其中是產品售出的數量0≤≤500.

(1)若為年產量，表示利潤，求的解析式(2)當年產量為何值時，工廠的年利潤最大？其最大值是多少？參考答案：（1）；（2）當年產量為475部時，工廠的年利潤最大，其最大值為：（元）略20.（14分）如圖，正四棱錐P﹣ABCD中，側棱PA與底面ABCD所成角的正切值為．（1）求側面PAD與底面ABCD所成二面角的大小；（2）若E是PB中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值．參考答案：考點： 直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角．專題： 計算題．分析： （1）連接AC、BD交于點O，連接PO，則PO⊥面ABCD，則∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，設AB=1，則可得則PO=AO?tan∠PAO設F為AD中點，連FO、PF，易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是側面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角，在Rt△POF中可求∠PFO（2）容易證明EO．可得∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角，在Rt△AOE中求解解答： （1）連接AC、BD交于點O，連接PO，則PO⊥面ABCD，（1分）∴∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=．（2分）設AB=1，則PO=AO?tan∠PAO==．（3分）設F為AD中點，連FO、PF，易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是側面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角．（4分）在Rt△POF中，，∴∠PFO=60°，即側面PAD與底面ABCD所成二面角的大小為60°；（5分）（2）連接EO，由于O為BD中點，E為PB中點，所以，EO．∴∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角．（6分）在Rt△POD中，．∴．（7分）由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．所以，AO⊥EO（8分）在Rt△AOE中，，即異面直線PD與AE所成角的正切值為．（9分）點評： 本題主要考查了直線與平面所成角及二面角的平面角的求解，解決問題（1）的關鍵是要找到與已知平面垂直的直線，從而把線面角轉化為線線角，還要注意線面角的范圍：；解決問題（2）的關鍵是要尋求與已知異面直線平行的直線，從而把異面直線所成的角轉化為相交直線所成的角，其范圍：（0，21.已知函數f(x)=a(x+)﹣|x﹣|（a∈R）．（Ⅰ）當a=時，求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若f(x)≥x對任意的x＞0恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）將a的值帶入f（x），