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文檔簡介
1虛位移原理虛位移原理是靜力學的普遍原理，它給出了質點系平衡的充分和必要條件。什么是虛位移什么是虛功什么是虛位移原理的適用條件由
伯
努
利（Bornoulli，1717)提出的由
拉格朗日（Lagrange，1764)完善的2§4-4虛位移與虛功jqOq
=900O一、虛位移虛位移（virtualdisplacement)：在給定瞬時質點(系)為約束容許
的任何
微小位移。dr虛位移特點[drA
]AB
=
[drB
]AB1、不同瞬時或位置，虛位移不同2、必須滿足約束條件3、是無限小的，不是有限位移4、虛位移不只有一個或一組{drA
,drB
}{drA
,drB
}A
dr
ABB
drdrAdrBjAdrAdrB
B
drBdrA3jq
=900OF§4-4虛位移與虛功二、虛功虛功（virtual
work)：dW
=
F
?dr作用于質點(系)上的力在虛位移上所作的功。F
=
Fx
i
+
Fy
j
+
Fz
kdr
=
dxi
+
dyj
+
dzkdW
=
Fxdx
+
Fydy
+
FzdzdrB
B例：若OA桿的虛位移為dq
，OA＝R
，求力F
的虛功。dqdW
=
F
?drB=
F
?drA=
FRdqdrB
=
drAdrA
A4§4-5理想約束理想約束(idealconstraint)：質點系中所有約束力 在任何虛位移上所作虛功之和為零的約束。n
FNi
?dri
=
0i=15、剛體在固定面上純滾動(不計滾阻力偶)討論：哪些約束是理想約束?1、光滑固定面和可動鉸鏈支座2、光滑固定鉸鏈和軸承ABjqdrABdrFN3、連接物體的光滑鉸鏈4、二力桿和不可伸長的柔索
FoxFoyOAF
'AF5§4-5理想約束例題：若斜塊A和滑塊B之間（1）：有摩擦；（2）：無摩擦。則該系統是否是理想約束AB地面光滑n
FNi
?dri
=
0
?i=1（1）：有摩擦是非理想約束（2）：無摩擦是理想約束n
FNii=1dri
=
0NB)
?dr
+
(F
+
F
)
?dr1
NB
SB
2=
(FNB
+
FSB=
(FNB
+
FSB
)
?dr1
=
FSB
?dr1
<
0+
F
'
)
?dr
+
F
?dr2
N
1
2SA(F
+
F
)
?(dr
+
dr
)
+
(F
'SB
1
2
NA22)
?dr
+
F
?drN
1+
(F
'
+
F
'NA
SAFNBSBFNAF
''SAFFN1dr2dr16§4-6虛位移原理一、虛位移原理(virtual
work
principle)虛位移原理：具有雙面、完整、定常、理想約束的靜止的質點系，在給定位置保持平衡的充要條件是：該質點系所有主動力在系統的任何虛位移上所作的虛功之和等于零。ni
=1
Fidri
=
0ni
=1
Fidri
=
0證明必要性：平衡Fi
+
FNi
=
0 (i
=1,,
n)
(Fi
+
FNi
)
?dri
=
0ni=1n
ni=1
i=1
Fi
?dri
+
FNi
?dri
=
0||0iFNiFidrin
Fi
?dri
=
0i=17§4-6虛位移原理例：已知OA=L，求系統在圖示位置平衡時，力偶矩M與力F的關系（不計摩擦）m1
gABjm2
gFMqO1CC2q
=
900m3
g基本步驟：確定系統是否滿足原理的應用條件分析主動力作用點的虛位移求主動力的虛功之和n
Fii
=1dri
=
08Bj2m
gFMm1
gO§4-6虛位移原理M
=
LFdrB2drCdW
=
0m3
gFdr
-
Mdq
=
0BFL
dq
-
M
dq
=
(
FL
-
M
)dq
=
0
dq
?
0ABA
AB[dr
]=
[drB
]
drA
=
drB
drA
=
drB
=
LdqdqLF
-
M
=
0AdrA1drC9§4-6虛位移原理MOOxFFOyFAyAC1m1
g
O研究OA桿M
=
0F
L
-
M
=
0
(1)Ax研究AB
桿和滑塊BxF
=
0F
-
F
=
0
(2)Ax(2)
·
(-L)
+
(1)FL
-
M
=
0m1
gABj2m
gFMqOC1C2q
=
900m3
gFAxBFAy
FNFAx
ABm2
gFC2m3
g平衡方程的求解方法10§4-6虛位移原理F1F2jABa
a
aCMDD例：結構及其受力如圖所示，求A端的約束力偶。ni=1Fi
?dri
=
011§4-6虛位移原理例：結構及其受力如圖所示，求A端的約束力偶。a
a
a1jBMDDAMAdqdr2F2CdrC1drF
db解：固定端A變成固定鉸鏈約束力偶變為主動力偶2dr
=
2
adqdrC
=
dr231
Cdr
=
1
drF1dr1
+
F2dr2
-
M
Adq
=
031
2)dq
=
0A(
F
2a
+
2aF
-
Mdq
?
032A
1M
=
2a(1
F
+
F
)BC桿的虛位移為平移12§4-6虛位移原理二、虛位移原理的廣義坐標形式n
ndWi
=
Fi
?dri
=
0i=1
i=1nri
=
xi
i
+
yi
jFi
=
Fix
i
+
Fiy
jdri
=
dxi
i
+dyi
j
(Fixdxi
+
Fiydyi
)
=
0i
=12W2W2W2WqqFxy12345例題:已知各長為L，重為W，求維持平衡時所需力F
的大小?13§4-6虛位移原理(i
=
1,2,3,4)Lyi
=
2
cosq,(4WLsinq
-
4FL
cosq)dq
=
0Qdq
=
0解：
(Fixdxi
+Fiy
dyi
)=02W2W2W2WqqFxy12345Q
=
02idy
=
-
L
sinqdq
dq
?
0F
=W
tanqFix
=
0,
Fiy
=
-2Wx5
=
4L
sinq
dx5
=
4L
cosqdqF5x
=
-F,
F5
y
=
014§4-6虛位移原理n
ndWi
=
Fi
?dri
=
0dri
=
dxi
i
+
dyi
j
+
dzi
ki=1
i=1Fi
=
Fix
i
+
Fiy
j
+
Fiz
k,n
(Fixdxi
+
Fiydyi
+
Fizdzi
)
=
0i=1i
i
1
k
zi
=
zi
(q1,,
qk
)
y
=
y
(q
,,
q
)
xi
=
xi
(q1,,
qk
)idzdxidyi若質點系有k個自由度，力的作用點的坐標可以表示為：如何求ri
=
xi
i
+
yi
j
+
zi
k15§4-6虛位移原理i
i
1
k
yi
=
yi
(q1,,
qk
)
zi
=
zi
(q1,,
qk
)
x
=
x
(q
,,
q
)k?xj
=1
?q
j i
dq
jdxi
=k?yj
=1
?q
j i
dq
jdyi
=k?zj
=1
?q
j i
dq
jdzi
=yxl1l2qj1m
g2m
gFO例如：x
=
l
sinq
+
l
sin
j2
1
2x
=
l
sinq1
1dx
=
l
cosqdq
+
l
cosjdj2
1
2dx
=
l
cosqdq1
1y
=
l
cosq1
1y
=
l
cosq
+
l
cosj2
1
2dy
=
-l
sinqdq1
1dy
=
-l
sinqdq
-
l
sinjdj2
1
2dq、dj
是獨立的16§4-6虛位移原理kj
jj
=1dW
=
Q
dqniziyixj
i
?q
j+
F
i
?q
j+
F
i
?q
j?x
?y
?zQ
=i=1)(F其中：Qj
稱為對應于qj
的廣義力AyqBAxylo例題：套筒A和小球B的重力分別為W1和W2，求系統對應于坐標yA的廣義力。k=
Q1dyA
+Q2dqdW
=
Q1dyAdW
=
Qjdqjj
=1dyA
?
0,dq
=
0dW
=W1dyA
+W2dyA
=
(W1
+W2
)dyAQ1
=W1
+W2W12WdyA§4-6虛位移原理廣義坐標形式的虛位移原理：具有雙面、定常、完整、理
想約束的靜止質點系，在給定位置保持平衡的充要條件是：該質點系所有的廣義力均為零。17kj
=1dW
=
Qjdq
j
=
0dq
j
(i
=1,2,,
k)是相互獨立的Qj
=
0,(
j
=
1,,
k
)kdW
=
Qjdq
j
=
0j
=118§4-6虛位移原理例：求系統的平衡位置。若已知：l1
=
l2
=
l,
m1
=
m2
=
m,
F
=
mgyxl1qj1m
gm2
gFO1
1dx
=
l
cosqdq
+
l
cosjdj2
1
2dx
=
l
cosqdqdy
=
-l
sinqdq
-
l
sin
jdj2
1
2dy
=
-l
sinqdq1
11xF1y
=
mgF2
x
=
mgF2
y
=
mgF
=
0i=1
j
=12
2{Fixdxi
+
Fiydyi
}
=
Qjdq
j
=
0(-2mgl
sin
q
-
mgl
cosq)dq
+
(-mgl
sin
j
+
mgl
cosj
)dj
=
02mgl
sin
q
+
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