多維隨機變量的特征值第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日數學期望若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,則Z=g(X，Y)的期望第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日例1設隨機變量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)解:例2隨機變量X和Y相互獨立，聯合密度函數為求Z=X+Y的數學期望第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日解：聯合密度函數為練習：181頁6、8第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日1.E(c)=c,c為常數;2、E(cX)=cE(X),c為常數;數學期望的性質3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);5、隨機變量X和Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y)推廣E(A+B+…+Z)=E(A)+E(B)+…+E(Z);和的期望等于期望的和第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日若E(X),E(X2)存在，則E[X-E(X)]2記為D(X),或Var(X).稱 為隨機變量的標準差可見

重要性質

Var(X)=E(X2)-[E(X)]2.

方差第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日方差的性質(1)D(c)=0即P{X=C}=1D(X)=0;(2)D(aX)=a2D(X),a為常數；(3)若X，Y相互獨立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y);第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日例3若X~b(n,p)二項分布,求期望和方差解:設第i次試驗事件A發生第i次試驗事件A不發生則0-1分布相互獨立第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日例4設隨機變量XU(0,6)，

YN(1,3)，ZExp(3),且X，Y，Z相互獨立，求隨機變量

U=X-2Y+3Z的數學期望、方差解E(X)=(0+6)/2=3D(X)=(6-0)2/12E(Y)=1,D(Y)=3;E(Z)=1/3,D(Z)=1/9第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日證明:X，Y相互獨立，E(XY)=E(X)E(Y)第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日證明:設(X,Y)~f(x,y)X、Y相互獨立第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日證明:設(X,Y)~f(x,y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日協方差，相關系數

一）協方差定義與性質1.定義若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,則稱COV(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.為X與Y的協方差,易見COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).

當COV(X,Y)=0時，稱X與Y不相關。？“X與Y獨立”和“X與Y不相關”有何關系？書：170頁第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日二.協方差性質

(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0(3)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b為常數；(4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5)D(XY)=D(X)+D(Y)2COV(X,Y).第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日例題設二維變量（X,Y）的聯合密度函數為

試求：Cov（X,Y）練習設隨機變量Xb（12,0.5),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協方差由公式COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).我們需要求解E(XY)、E(X)、E(Y)COV(aX+bY,cX+dY)=?第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日二）.相關系數

1.定義若X，Y的方差和協方差均存在,且D(X)>0,D(Y)>0，則稱為X與Y的相關系數.

注：若記稱為X和Y的標準化，易知EX*=0，EY*=0.且第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日2.相關系數的性質

(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常數a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X與Y不相關XY=0;例設(X,Y)服從區域D:0<x<1,0<y<x上的均勻分布,求X與Y的相關系數D1x=y解第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日可見，若（X，Y）服從二維正態分布，則X與Y獨立的充分必要條件是X與Y不相關。第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日四.協方差矩陣1.定義設X1，…,Xn為n個r.v.,記cij=cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.則稱由cij組成的矩陣為隨機變量X1，…,Xn的協方差矩陣C。即作業：183頁17、19第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日關系圖Var(X)=E(X2)-E2(X)COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2COV(X,Y).期望E(X)方差E[X-E(X)]2協方差COV(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.相關系數第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日以上EX的結果說明了什么？解1)2)第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);證明：Cov(X+Y,Z)=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y,Z)COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).第二十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X,Y).證明