2021年廣東省茂名市化州第四高級中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題中，真命題是 A．存在使得

B．任意C．若，則至少有一個大于1

D．參考答案：D略2.設是奇函數，若A∩[-1，1]含有2009個元素，則w的取值范圍是

（

）

A．1004π≤w＜1005π

B．1004π≤w≤1005π

C．≤w≤

D．＜w≤參考答案：答案：A3.已知復數，則（）A．z的共軛復數為1+i B．z的實部為1C．|z|=2 D．z的虛部為﹣1參考答案：D【考點】A5：復數代數形式的乘除運算．【分析】直接利用復數的代數形式的混合運算化簡復數為：a+bi的形式即可判斷選項．【解答】解：復數==﹣1﹣i，可得，復數的虛部為：﹣1．故選：D．4.已知集合A={一2，0，，4），B={x|≤1}，則AB=(

)

A．{4}

B．{一2，4}

C．{一2，0，4）

D．{一2，}參考答案：B5.設函數，則的值為（

）

A

B

C

D

參考答案：A略6.設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則參考答案：B試題分析：由線面角定義及可得,容易驗證其它答案都是錯誤的,故應選B.考點：空間直線與平面的位置關系及運用.7.設D為△ABC中BC邊上的中點，且O為AD邊上靠近點A的三等分點，則（）A． B．C． D．參考答案：A【考點】9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】可先畫出圖形，根據條件及向量加法、減法和數乘的幾何意義即可得出【解答】解：∵D為△ABC中BC邊上的中點，∴=（+），∵O為AD邊上靠近點A的三等分點，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣（+）=﹣+．故選：A．8.“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A9.tan70°·cos10°(tan20°－1)等于

A．1

B．2

C．－1

D．－2參考答案：C.tan70°·cos10°(tan20°－1)＝·cos10°(·－1)＝·＝＝＝－1.10.定義函數，則函數在區間內的所有零點的和為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，若D為BC的中點，則有，將此結論類比到四面體中，在四面體A﹣BCD中，若G為△BCD的重心，則可得一個類比結論：．參考答案：【考點】向量在幾何中的應用．【分析】“在△ABC中，D為BC的中點，則有，平面可類比到空間就是“△ABC”類比“四面體A﹣BCD”，“中點”類比“重心”，可得結論．【解答】解：由“△ABC”類比“四面體A﹣BCD”，“中點”類比“重心”有，由類比可得在四面體A﹣BCD中，G為△BCD的重心，則有．故答案為：．12.把4名中學生分別推薦到3所不同的大學去學習，每個大學至少收一名，全部分完，不同的分配方案數為．參考答案：36【考點】排列、組合的實際應用．【分析】由題意知將4名中學生分別推薦到3所不同的大學去學習，每個大學至少收一名，需要先從4個人中選出2個作為一個元素看成整體，再把它同另外兩個元素在三個位置全排列，根據分步乘法原理得到結果．【解答】解：∵將4名中學生分別推薦到3所不同的大學去學習，每個大學至少收一名，∴先從4個人中選出2個作為一個元素看成整體，再把它同另外兩個元素在三個位置全排列，共有C24A33=36．故答案為：36．13.甲、乙、丙三名同學參加某高校組織的自主招生考試的初試，考試成績采用等級制（分為三個層次），得的同學直接進入第二輪考試.從評委處得知，三名同學中只有一人獲得.三名同學預測誰能直接進入第二輪比賽如下：甲說：看丙的狀態，他只能得或；乙說：我肯定得；丙說：今天我的確沒有發揮好，我贊同甲的預測．事實證明：在這三名同學中，只有一人的預測不準確，那么得的同學是

．參考答案：若得的同學是甲，則甲、丙預測都準確，乙預測不準確，符合題意；若得的同學是乙，則甲、乙、丙預測都準確，不符合題意；若得的同學是丙，則甲、乙、丙預測都不準確，不符合題意。綜上，得的同學是甲.14.（不等式選做題）若存在實數使成立，則實數的取值范圍是

.參考答案：略15.已知，則的最大值為__________.參考答案：試題分析：令,因,故,即,則,故應填.考點：三角變換及運用．16.若實數滿足,則的最小值為

參考答案：17.從如圖所示的長方形區域內任取一個點，則點取自陰影部分的概率為______.------參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知A={x|x2≥9}，B={x|﹣1＜x≤7}，C={x||x﹣2|＜4}．（1）求A∩B及A∪C；（2）若U=R，求A∩?U（B∩C）參考答案：【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】計算題．【分析】（1）求出A與C中不等式的解集確定出A與C，求出A與B的交集，A與C的并集即可；（2）求出B與C的交集，根據全集R求出交集的補集，最后求出A與補集的交集即可．【解答】解：（1）集合A中的不等式解得：x≥3或x≤﹣3，即A={x|x≥3或x≤﹣3}；集合C中的不等式解得：﹣2＜x＜6，即C={x|﹣2＜x＜6}，∴A∩B={x|3≤x≤7}，A∪C={x|x≤﹣3或x＞﹣2}；（2）∵B∩C={x|﹣1＜x＜6}，全集U=R，∴?U（B∩C）={x|x≤﹣1或x≥6}，則A∩?U（B∩C）={x|x≥6或x≤﹣3}．【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．19.（14分）設函數，其中a∈R．（Ⅰ）a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）討論函數y=f（x）的單調性；（Ⅲ）當時，證明對?x∈（0，2），都有f（x）＜0．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性．【專題】分類討論；導數的概念及應用；導數的綜合應用；不等式的解法及應用．【分析】（Ⅰ）求出導數，求得切線的斜率和切點，可得切線的方程；（Ⅱ）求出導數，求得極值點1，2a﹣1，討論①當2a﹣1≤0，②當0＜2a﹣1＜1，③當2a﹣1=1，④當2a﹣1＞1，求得單調區間，即可得到結論；（Ⅲ）討論①當時，②當a=1時，③當a＞1時，運用函數的單調性可得（0，2）的最大值小于0，即可得證．【解答】解：（Ⅰ）a=1時，，，∴f'（1）=0．又，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為．（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），，令f'（x）=0得x=1或x=2a﹣1，①當2a﹣1≤0即時，當x∈（0，1）時，f'（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0．②當0＜2a﹣1＜1即時當x∈（0，2a﹣1）時f'（x）＞0；當x∈（2a﹣1，1）時f'（x）＜0；當x∈（1，+∞）時f'（x）＞0．③當2a﹣1=1即a=1時．④當2a﹣1＞1即a＞1時，當x∈（0，1）時f'（x）＞0；當x∈（1，2a﹣1）時f'（x）＜0；當x∈（2a﹣1，+∞）時f'（x）＞0．綜上所述：當時，f（x）的增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）；當時，f（x）的增區間為（0，2a﹣1）和（1，+∞）；減區間為（2a﹣1，1）；當a=1時，f（x）的增區間為（0，+∞），無減區間；當a＞1時，f（x）的增區間為（0，1）和（2a﹣1，+∞），減區間為（1，2a﹣1）．（Ⅲ）證明：①當時，由（Ⅱ）知：f（x）在（0，2a﹣1）上單調遞增，在（2a﹣1，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增，所以f（x）≤max{f（2a﹣1），f（2）}．f（2）=2﹣4a+（2a﹣1）ln2=（2a﹣1）（ln2﹣2）＜0．f（2a﹣1）==，記，，，又∵，∴g'（a）＞0．∴g（a）在上單調遞增．∴當時，即成立．又∵，∴2a﹣1＞0．所以f（2a﹣1）＜0．∴當時，x∈（0，2）時f（x）＜0．②當a=1時，f（x）在（0，2）上單調遞增，∴f（x）＜f（2）=ln2﹣2＜0．③當a＞1時，由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，2a﹣1）上單調遞減，在（2a﹣1，+∞）上單調遞增．故f（x）在（0，2）上只有一個極大值f（1），所以當x∈（0，2）時，f（x）≤max{f（1），f（2）}．，f（2）=2﹣4a+（2a﹣1）ln2=（2a﹣1）（ln2﹣2）＜0，∴當a＞1時，x∈（0，2）時f（x）＜0．綜①②③知：當時，對?x∈（0，2），都有f（x）＜0．【點評】本題考查導數的幾何意義、用導數研究函數的單調性、恒成立問題、分類討論的思想方法．屬于中檔題．20.已知函數f（x）=|x+2|+|x﹣3|．（1）作出函數y=f（x）的圖象；（2）解不等式|x+2|+|x﹣3|＜8．參考答案：解：（1）∵f（x）=|x+2|+|x﹣3|=．∴根據一次函數圖象的作法，可得函數y=f（x）的圖象如圖所示：（2）根據（1）的圖象，解方程﹣2x+1=8，得x=﹣；解方程2x﹣1=8，得x=再觀察圖象，可得f（x）＜8的區間為（﹣，）．∴不等式|x+2|+|x﹣3|＜8的解集為（﹣，）．略21.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，AB是的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，F為BA延長線上一點，且，求證：（Ⅰ）；（Ⅱ）．參考答案：（Ⅰ）證明：連接，在中

………..2分

又∽

………..4分

則

………..5分

(Ⅱ)在中，

又四點共圓；

………..7分

………..9分

又是⊙的直徑，則，

………..10分

22.（本小題滿分12分）已知數列滿足=5，且其前項和．（Ⅰ）求的值和數列的通項公式；（Ⅱ）設為等比數列，公比為，且其前項和滿足，求的取值范圍．參考答案：（12分）（Ⅰ）解：由題意，得，，因為，，所以，

解得.

3分所以．當