2022年湖南省郴州市大坪中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題中真命題的個數是（）①若p∧q是假命題，則p，q都是假命題；②命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；③若p：x≤1，q：＜1，則￢p是q的充分不必要條件．④設隨機變量X服從正態分布N（3，7），若P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1），則C=3．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】對于①，p∧q是假命題?p，q中至少有一個為假命題，可判斷①錯誤；對于②，寫出命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定：“?x0∈R，x03﹣x02+1＞0”，可判斷②正確；對于③，由p：x≤1，q：＜1知，￢p?q，反之，不可，可判斷③正確；對于④，依題意，由P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1）知隨機變量X的正態曲線關于直線x=C對稱，由X～N（3，7）知故其圖象關于直線x=3對稱，可判斷④正確．【解答】解：對于①，若p∧q是假命題，則p，q中至少有一個為假命題，并非都是假命題，故①錯誤；對于②，命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x0∈R，x03﹣x02+1＞0”，故②正確；對于③，∵p：x≤1，q：＜1，則x＞1?＜1，反之不成立，即￢p是q的充分不必要條件，故③正確；對于④，∵隨機變量X服從正態分布N（3，7），故其圖象關于直線x=3對稱，又P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1），∴隨機變量X的正態曲線關于直線x=C對稱，∴C=3，故④正確．綜上，命題中真命題的個數是3個，故選：C．2..已知函數f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)為f(x)的導函數，函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)＞1的解集為()A．(2,3)∪(－3，－2)

B．(－，)C．(2,3)

D．(－∞，－)∪(，＋∞)

參考答案：A略3.已知a、b為正實數，直線y=x﹣a與曲線y=ln（x+b）相切，則的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，1） C．（0，+∞） D．[1，+∞）參考答案：A【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】導數的概念及應用．【分析】求函數的導數，利用導數構造函數，判斷函數的單調性即可．【解答】解：函數的導數為y′==1，x=1﹣b，切點為（1﹣b，0），代入y=x﹣a，得a+b=1，∵a、b為正實數，∴a∈（0，1），則=，令g（a）=，則g′（a）=，則函數g（a）為增函數，∴∈（0，）．故選：A【點評】本題主要考查導數的應用，利用導數的幾何意義以及函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．4.已知拋物線的焦點F是橢圓的一個焦點，且該拋物線的準線與橢圓相交于A、B兩點，若是正三角形，則橢圓的離心率為（

）A. B. C. D.參考答案：C由題知線段是橢圓的通徑，線段與軸的交點是橢圓的下焦點，且橢圓的，又，，由橢圓定義知，故選C.5.復數（是虛數單位）是實數，則x的值為

（

） A．3 B．-3 C．0 D．參考答案：B略6.已知=b+i（a，b∈R），其中i為虛數單位，則a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】復數代數形式的混合運算．【分析】先化簡復數，再利用復數相等，解出a、b，可得結果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由復數相等的意義知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），則﹣a=1，b=2，a+b=1．故選B．7.設雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率是3，則其漸近線的方程為（）A． x±2y=0

B．2x±y=0 C．x±8y=0 D．8x±y=0參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】利用雙曲線的離心率，這求出a，b的關系式，然后求漸近線方程．【解答】解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率是3，可得，則=．雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率是3，則其漸近線的方程為：x．故選：A．8.已知直線平面，直線平面，給出下列命題,其中正確的是(

)①

②③

④A．②④

B.②③④

C.①③

D.①②③參考答案：C9.執行如圖所示的程序框圖，若輸入，輸出的，則空白判斷框內應填的條件為A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知函數，若的圖象與的圖象重合，記的最大值為，函數的單調遞增區間為（

）A.

B.C.

D.參考答案：A,的圖象與的圖象重合，說明函數的周期，由于，，，,，，則，，選

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設的最小值為，則▲。參考答案：略12.設實數滿足，若目標函數的取值范圍是，則常數=__________.參考答案：413.直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，，則此球的表面積等于

；參考答案：14.定義域是一切實數的函數，其圖像是連續不斷的，且存在常數使得對任意實數x都成立，則稱是一個“的相關函數”。有下列關于“的相關函數”的結論：（1）是常值函數中唯一一個“的相關函數”;(2)是一個“的相關函數”；（3）“的相關函數”至少有一個零點。其中結論正確的是_________參考答案：(3)_.略15.對于向量下列給出的條件中，能使成立的序號是

。（寫出所有正確答案的序號） ① ② ③ ④參考答案：①③略16.已知實數滿足若當，時，取得最小值，則的取

值范圍是________.參考答案：試題分析：直線和的交點坐標為，直線和的交點坐標為，直線和的交點坐標為，將分別代入可得，，，，由于當，時，取得最小值，則，，故答案為.考點：簡單的線性規劃.17.已知圓柱的底面半徑為2，母線長與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為．參考答案：24π【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】根據已知求出圓柱的母線長，代入圓柱表面積公式S=2πr（r+l）可得答案．【解答】解：∵圓柱的底面半徑為2，母線長與底面的直徑相等，故圓柱的母線l=4，故圓柱的表面積S=2πr（r+l）=24π，故答案為：24π．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本大題滿分12分)

某校高二年級共有學生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學生進行問卷調查．根據問卷取得了這n名同學每天晚上有效學習時間(單位：分鐘)的數據，按照以下區間分為八組：[0，30)，[30，60)，[60，90)，[90,120)，[120，l50)，[150，180),[180，210)，[210,240)，得到頻率分布直方圖如右圖．已知抽取的學生中每天晚上有效學習時間少于60分鐘的人數為5人．

(1)求n的值并求有效學習時間在[90，120)內的頻率；(2)如果把“學生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n名學生，下列2×2列聯表．問：是否有95％的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關?

利用時間充分利用時間不充分合計走讀生50a

住宿生b15

合計

40n(3)若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學習時間少于60分鐘”的學生人數為x，求x的分布列及期望．參考公式：K2=參考列表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.025k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024參考答案：(1)解：設第i組的頻率為Pi(i=1，2，…，8)

由由頻率分布直方圖知：

∴有效學習時間少于60分鐘的頻率為，故，∴n=100

2分

又

∴

∴有效學習時間在[90，120)內的頻率為．

4分(2)解：抽取的100人中，走讀生有人，住讀生25人，∴a=25，b=10

6分

由于K2>3.841，所以有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關．

8分(3)解：由(1)知：第①組1人，第②組4人，第⑦組10人，第⑧組5人，共20人

∴

10分

∴X的分布列為

12分19.已知，，求的最小值；參考答案：（1），

2分而，當且僅當時取到等號，則，即的最小值為.20.已知數列{}滿足，是與的等差中項.（1）求數列{}的通項公式；（2）若滿足，，求的最大值.參考答案：21.已知圓方程為：，圓的方程為：，動圓M與外切且與內切。（1）求動圓圓心M的軌跡方程；（2）過點作直線L交軌跡M于A、B兩點，若參考答案：（1）

；（2）（1）設M點坐標為（x，y），圓M的半徑為r，由題意得，，化簡得?！?分（2）設L：，代入，得：，…7分，

………………8分設，由條件知，，得：，

…………9分

………………12分由（1）（2）知：

……15分22.選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系xO