1/12022北京八中高二（下）期末數學考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.設全集U是實數集R，，則圖中陰影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.2.設a，b，c為非零實數，且則下列判斷中正確的是（）A. B. C. D.3.已知函數的圖象如圖所示，那么下列各式正確的是（）AB.C.D.4.一個關于自然數n的命題，已經驗證知時命題成立，并在假設（k為正整數）時命題成立的基礎上，證明了當時命題成立，那么綜上可知，該命題對于（）A.一切自然數成立 B.一切正整數成立C.一切正奇數成立 D.一切正偶數成立5.甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解出這個問題的概率，乙解出這個問題的概率是，那么其中至少有1人解出這個問題的概率是A. B. C. D.6.已知二次函數的值域為，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.107.下列函數中，在(0,+∞)為增函數的是（）A. B. C. D.8.函數在區間的圖象大致為（）A. B.C. D.9.設是奇函數，則使的x的取值范圍是（）A.(－1，0) B.(0，1) C.(－∞，0) D.10.在數列中，已知，則“”是“是單調遞增數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知關于的方程有2個不相等的實數根，則的取值范圍是.A. B. C. D.12.已知數列的各項均為正數，且滿足(為常數，．給出下列四個結論：①對給定的數列，設為其前n項和，則有最小值；②若數列是遞增數列，則；③若數列是周期數列，則最小正周期可能為2；④若數列是常數列，則其中，所有正確結論個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．13.函數定義域為__________．14.已知，，，則a，b，c按從小到大排列為___________．15.已知3個等差數列{}，{}，{}，其中數列{}的前n項和記為，已知，寫出一組符合條件的{}與{}的通項公式___________．16.若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是_________．17.已知函數給出下列四個結論：①存在實數，使函數為奇函數；②對任意實數，函數既無最大值也無最小值；③對任意實數和，函數總存在零點；④對于任意給定的正實數，總存在實數，使函數在區間上單調遞減.其中所有正確結論的序號是______________.三、解答題共5小題，共65分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．18.已知數列{}，其n項和為，滿足?．請你從①，；②；③，．這三個條件中任選一個，補充在上面的“?”處，并回答下列問題：（1）求數列{}的通項公式；（2）當，求n的最大值．19.某大型連鎖超市的市場部為了比較線下、線上這兩種模式的銷售情況，從某地區眾多門店中隨機抽取8家門店，對其線下和線上這兩種銷售模式下的日營業額（單位：萬元）進行調查．調查結果如下：門店1門店2門店3門店4門店5門店6門店7門店8線下日營業額96.5199.514.516.520.512.5線上日營業額11591217192321.515若某門店一種銷售模式下的日營業額不低于15萬元，則稱該門店在這種銷售模式下的日營業額達標；否則就稱該門店在此種銷售模式下的日營業額不達標．若某門店的日營業總額（線上和線下兩種銷售模式下的日營業額之和）不低于30萬元，則稱該門店的日營業總額達標；否則就稱該門店的日營業總額不達標．（各門店的營業額之間互不影響）（1）從8個樣本門店中隨機抽取3個，求抽取的3個門店的線下日營業額均達標的概率；（2）若從該地區眾多門店中隨機抽取3個門店，記隨機變量X表示抽到的日營業總額達標的門店個數．以樣本門店的日營業總額達標的頻率作為一個門店的日營業總額達標的概率，求X的分布列和數學期望；（3）線下日營業額和線上日營業額的樣本平均數分別記為和，線下日營業額和線上日營業額的樣本方差分別記為和．試判斷和的大小，以及和的大小．（結論不要求證明）20.已知函數.（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）曲線在直線上方，求實數的取值范圍.21.已知函數，其中e是自然對數的底數．（1）若f(x)在處取得極小值，求a的值；（2）若存在，使得，且，求a的取值范圍．22.設A為非空集合，令，則的任意子集R都叫做從A到A的一個關系(Relation)，簡稱A上的關系．例如時，{0，2}，，，{(0，0)，(2，1)}等都是A上的關系．設R為非空集合A上的關系．給出如下定義：①(自反性)若，有，則稱R在A上是自反的；②(對稱性)若，有，則稱R在A上是對稱的；③(傳遞性)若，有，則稱R在A上是傳遞的；如果R同時滿足這3條性質，則稱R為A上的等價關系．（1）已知，按要求填空：①用列舉法寫出______________________；②A上的關系有____________個(用數值做答)；③用列舉法寫出A上的所有等價關系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，_______________，_______________，共5個．（2）設和是某個非空集合A上的關系，證明：①若，是自反的和對稱的，則也是自反的和對稱的；②若，是傳遞的，則也是傳遞的．（3）若給定的集合A有n個元素()，，，．．．，為A的非空子集，滿足且兩兩交集為空集．求證：為A上的等價關系．

參考答案一、選擇題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.設全集U是實數集R，，則圖中陰影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】陰影部分表示的是，根據題意，或，則，所以，故選C.本題主要考查集合的運算.2.設a，b，c為非零實數，且則下列判斷中正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特值可判斷ABD，根據不等式的性質可判斷C.【詳解】因，取，則，故A錯誤；取，則，，故BD錯誤；因為，所以，故C正確.故選：C.3.已知函數的圖象如圖所示，那么下列各式正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據的圖象與導函數圖象之間的關系判斷．【詳解】由圖象知，遞減，即，但圖象的切線斜率隨著的增大而增大，導函數是遞增的，因此．故選：A．4.一個關于自然數n的命題，已經驗證知時命題成立，并在假設（k為正整數）時命題成立的基礎上，證明了當時命題成立，那么綜上可知，該命題對于（）A.一切自然數成立 B.一切正整數成立C.一切正奇數成立 D.一切正偶數成立【答案】C【解析】【分析】依據數學歸納法的規則去判斷即可解決【詳解】已經驗證知時命題成立，并在假設（k為正整數）時命題成立的基礎上，證明了當時命題成立，那么綜上可知，命題對成立即該命題對于一切正奇數成立故選：C5.甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解出這個問題的概率，乙解出這個問題的概率是，那么其中至少有1人解出這個問題的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由甲解決這個問題的概率是，乙解決這個問題的概率是，則“至少有一人解決這個問題”的事件的對立事件為“甲、乙兩人均不能解決該問題”，我們可先求出“甲、乙兩人均不能解決該問題”，然后根據對立事件概率減法公式，代入求出答案．【詳解】甲解決這個問題的概率是，甲解決不了這個問題的概率是，乙解決這個問題的概率是，乙解決不了這個問題的概率是則甲、乙兩人均不能解決該問題的概率為則甲、乙兩人至少有一人解決這個問題的概率為故選：．【點睛】本題考查的知識點是相互獨立事件的概率乘法公式及對立事件概率減法公式，其中根據已知求出“甲乙兩個至少有一人解決這個問題”的事件的對立事件為“甲、乙兩人均不能解決該問題”的概率，是解答本題的關鍵．6.已知二次函數的值域為，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】根據函數值域可推出，利用均值不等式即可求解.【詳解】因為二次函數的值域為，所以，即，，所以，當且僅當，即時等號成立，故選：A7.下列函數中，在(0,+∞)為增函數的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據基本函數的單調性判斷ABC，利用導數判斷D．【詳解】對于A，在每一個單調區間上單調遞增，在不具有單調性，故A錯誤；對于B，在是減函數，故B錯誤；對于C，在為增函數，在為減函數，故C錯誤；對于D，，，所以時，函數在為增函數，故D正確.故選：D．8.函數在區間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數的奇偶性結合指數函數、三角函數的性質逐項排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數，排除BD；又當時，，所以，排除C.故選：A.9.設是奇函數，則使的x的取值范圍是（）A.(－1，0) B.(0，1) C.(－∞，0) D.【答案】A【解析】【分析】由奇函數的性質求得，再解對數不等式可得．【詳解】為奇函數，則，，此時，定義域是，，滿足題意，，，解得．故選：A．10.在數列中，已知，則“”是“是單調遞增數列”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】分別求出當、“是單調遞增數列”時實數的取值范圍，利用集合的包含關系判斷可得出結論.【詳解】已知，若，即，解得.若數列是單調遞增數列，對任意的，，即，所以，對任意的恒成立，故，因此，“”是“是單調遞增數列”的充要條件.故選：C.11.已知關于的方程有2個不相等的實數根，則的取值范圍是.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將問題轉化為直線與函數的圖象有兩個公共點問題，并且可發現直線與曲線有一個公共點原點，考慮臨界位置，即直線與曲線的圖象切于原點時，利用導數求出臨界值，結合圖象觀察直線斜率變化，求出的取值范圍．【詳解】由，得，令，則問題轉化為：當直線與曲線有兩個公共點時，求的取值范圍．由于，所以，直線與曲線有公共點原點，如下圖所示：易知，①先考慮直線與曲線切于原點時，的取值，對函數求導得，當直線與曲線切于原點時，，結合圖象知，當時，直線與函數的左支有兩個公共點；②考慮直線與曲線切于原點時，的取值，對函數求導得，當直線與曲線切于原點時，，結合圖象知，當時，直線與函數的右支有兩個公共點．因此，實數的取值范圍是，故選A．【點睛】本題考查利用函數的零點個數求參數的取值范圍問題，對于這類問題，一般是轉化為兩曲線的交點個數問題，本題是轉化為直線與曲線有兩個公共點，而且有一個明顯的公共點，所以要考慮直線與曲線有公共點這個臨界位置，并利用導數求出臨界位置的參數值，借助圖形觀察直線斜率的變化，從而求出參數的取值范圍，屬于難題．12.已知數列的各項均為正數，且滿足(為常數，．給出下列四個結論：①對給定的數列，設為其前n項和，則有最小值；②若數列是遞增數列，則；③若數列是周期數列，則最小正周期可能為2；④若數列是常數列，則其中，所有正確結論的個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】利用數列的各項均為正數以及前項和表達式判斷①；若數列是遞增數列，則有，進而根據已知條件化簡式子求出的取值情況判斷②；若數列是最小正周期為的數列，則有，對和取特殊值驗證判斷③；若數列是常數列，設，則，從函數的角度求的取值情況判斷④.【詳解】對于①，在數列的各項均為正數的情況下，設為其前n項和，則，易知遞增，因此有最小值，①正確；對于②，若數列是遞增數列，則成立，又，成立，即成立，則，②錯誤；對于③，若數列是最小正周期為的數列，則，即成立，當，時，上式成立，數列是最小正周期為的數列，③正確；對于④，若數列是常數列，設，則，令，則，，，④正確.綜上所述，所有正確結論的個數是個.故選：C.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．13.函數的定義域為__________．【答案】【解析】【分析】求出使函數式有意義的自變量的范圍．【詳解】由題意，解得且，所以定義域為．故答案為：．14.已知，，，則a，b，c按從小到大排列為___________．【答案】【解析】【分析】根據指數函數性質比較大小．【詳解】，，所以．故答案為：．15.已知3個等差數列{}，{}，{}，其中數列{}的前n項和記為，已知，寫出一組符合條件的{}與{}的通項公式___________．【答案】，（答案不唯一）．【解析】【分析】任意寫出一個等差數列，求出和，再由的表達式得出．【詳解】例如：，，，．故答案為：，（答案不唯一）．16.若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是_________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：因為函數在區間上單調遞增所以在區間恒成立，因為，所以在區間恒成立所以因為，所以所以的取值范圍是考點：1．恒成立問題；2．導函數的應用．17.已知函數給出下列四個結論：①存在實數，使函數為奇函數；②對任意實數，函數既無最大值也無最小值；③對任意實數和，函數總存在零點；④對于任意給定的正實數，總存在實數，使函數在區間上單調遞減.其中所有正確結論的序號是______________.【答案】①②③④【解析】【分析】分別作出，和的函數的圖象，由圖象即可判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】如上圖分別為，和時函數的圖象，對于①：當時，，圖象如圖關于原點對稱，所以存在使得函數為奇函數，故①正確；對于②：由三個圖知當時，，當時，，所以函數既無最大值也無最小值；故②正確；對于③：如圖和圖中存在實數使得函數圖象與沒有交點，此時函數沒有零點，所以對任意實數和，函數總存在零點不成立；故③不正確對于④：如圖，對于任意給定的正實數，取即可使函數在區間上單調遞減，故④正確；故答案為：①②④【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是分段函數圖象，涉及二次函數的圖象，要討論，和即明確分段區間，作出函數圖象，數形結合可研究分段函數的性質.三、解答題共5小題，共65分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．18.已知數列{}，其n項和為，滿足?．請你從①，；②；③，．這三個條件中任選一個，補充在上面的“?”處，并回答下列問題：（1）求數列{}的通項公式；（2）當，求n的最大值．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）若選①，則可得數列{}是4為公差，1為首項的等差數列，從而可求出其通項公式，若選②，利用求解通項公式，若選③，則可得數列{}為常數列，從而可求出其通項公式，（2）若選①，則利用等差數列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若選②，則利用等比數列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若選③，則求出常數列的前項和，然后解不等式可得答案，【小問1詳解】若選①，因為，所以，所以數列{}是4為公差，1為首項的等差數列，所以，若選②，當時，，得，當時，由，得，所以，得，所以數列{}是以2為公比，1為首項的等比數列，所以，若選③，因為，所以，所以（），即（），因為，，所以，所以數列{}為常數列，所以【小問2詳解】若選①，由（1）可知數列{}是4為公差，1為首項的等差數列，所以，當時，，即，解得（），所以n的最大值為7，若選②，由（1）可知數列{}是以2為公比，1為首項的等比數列，所以，當時，，解得（），所以n的最大值為6，若選③，由（1）可知數列{}為常數列，且，所以，當時，（），所以n的最大值為10019.某大型連鎖超市的市場部為了比較線下、線上這兩種模式的銷售情況，從某地區眾多門店中隨機抽取8家門店，對其線下和線上這兩種銷售模式下的日營業額（單位：萬元）進行調查．調查結果如下：門店1門店2門店3門店4門店5門店6門店7門店8線下日營業額96.5199.514.516.520.512.5線上日營業額11.591217192321.515若某門店一種銷售模式下的日營業額不低于15萬元，則稱該門店在這種銷售模式下的日營業額達標；否則就稱該門店在此種銷售模式下的日營業額不達標．若某門店的日營業總額（線上和線下兩種銷售模式下的日營業額之和）不低于30萬元，則稱該門店的日營業總額達標；否則就稱該門店的日營業總額不達標．（各門店的營業額之間互不影響）（1）從8個樣本門店中隨機抽取3個，求抽取的3個門店的線下日營業額均達標的概率；（2）若從該地區眾多門店中隨機抽取3個門店，記隨機變量X表示抽到的日營業總額達標的門店個數．以樣本門店的日營業總額達標的頻率作為一個門店的日營業總額達標的概率，求X的分布列和數學期望；（3）線下日營業額和線上日營業額的樣本平均數分別記為和，線下日營業額和線上日營業額的樣本方差分別記為和．試判斷和的大小，以及和的大小．（結論不要求證明）【答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）.【解析】【分析】（1）依據題意線下銷售達標的有3家，然后簡單計算即可.（2）由二項分布的概率公式運算即可得解；（3）根據數據進行計算然后直接判斷即可.【詳解】（1）由題可知：線下銷售達標的有3家，分別是：門店3，門店6，門店7所以所求的概率為（2）由題意，日營業總額達標的概率為，的所有可能取值為：0，1，2，3，所以，，，，所以的分布列為0123所以；（3）所以所以所以20.已知函數.（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）曲線在直線的上方，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得到，進而求得，寫出切線方程；（2）將問題轉化為恒成立，令其中，用導數法求解.【小問1詳解】解：時，.所以曲線在點處的切線方程為即.【小問2詳解】曲線在直線的上方，即恒成立，設其中.①若在上單調遞增.因為所以不滿足條件.②若令當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，所以令，解得綜上，實數的取值范圍為21.已知函數，其中e是自然對數的底數．（1）若f(x)在處取得極小值，求a的值；（2）若存在，使得，且，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導數，由求得，代入函數檢驗是極小值點即得；（2）問題進行轉化，設，，轉化方程有正數解，構造函數，求導函數，需要多次求導得出最小值，然后分類討論得出有正數解時參數范圍．【小問1詳解】，由題意，，此時，易知是增函數，又，所以時，，遞減，時，，遞增．所以是極小值，滿足題意．所以；【小問2詳解】若存在，使得，且，設，，則，所以方程在上有解．設，，設，則，設，則，所以，即是增函數，，所以即是增函數，，若，即，則恒成立，是增函數，，無正數解，不合題意．若，即，則存在，使得，在上，，遞減，在上，，遞增，又，則，顯然時，，所以存在，即，使得．綜上，．【點睛】難點點睛：本題考查由函數的極值點求參數值，用導數研究方程有解問題，難點是問題的轉化，設，問題轉化為方程有正數解，然后再構造函數，由導數研究函數的單調性得結論．解題思想是消元：二元化一元．22.設A為非空集合，令，則的任意子集R都叫做從A到A的一個關系(Relation)，簡稱A上的關系．例如時，{0，2}，，，{(0，0)，(2，1)}等都是A上的關系．設R為非空集合A上的關系．給出如下定義：①(自反性)若，有，則稱R在A上是自反；②(對稱性)若，有，則稱R在A上是對稱；③(傳遞性)若，有，則稱R在A上是傳遞的；如果R同時滿足這3條性質，則稱R為A上的等價關系．（1）已知，按要求填空：①用列舉法寫出______________________；②A上的關系有____________個(用數值做答)；③用列舉法寫出A上的所有等價關系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，_______________，_______________，共5個．