第十三章軸對(duì)稱．1軸對(duì)稱．1.1軸對(duì)稱1．理解軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的概念．2．了解軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的對(duì)稱軸、對(duì)應(yīng)點(diǎn)．3．掌握線段垂直平分線的概念．4．理解和掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．重點(diǎn)軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的概念．難點(diǎn)軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系．一、作品展示1．讓部分學(xué)生展示課前的剪紙作品．2．小組活動(dòng)：(1)在窗花的制作過(guò)程中，你是如何進(jìn)行剪紙的？為什么要這樣？(2)這些窗花(圖案)有什么共同的特點(diǎn)？二、概念形成(一)軸對(duì)稱圖形1．在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上，教師提出“軸對(duì)稱圖形”的概念，并讓學(xué)生嘗試給它下定義，通過(guò)逐步地修正形成“軸對(duì)稱圖形”的定義，同時(shí)給出“對(duì)稱軸”．2．結(jié)合教材圖.1－1進(jìn)一步分析軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，以及對(duì)稱軸的位置．3．學(xué)生舉例，試舉幾個(gè)在現(xiàn)實(shí)生活中你所見(jiàn)到的軸對(duì)稱例子．4．概念應(yīng)用：(1)教材第60頁(yè)練習(xí)第1題．(2)補(bǔ)充：判斷下面的圖形是不是軸對(duì)稱圖形？如果是軸對(duì)稱圖形，它們的對(duì)稱軸是什么？(二)兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱1．觀察教材中的圖.1－3，思考：圖中的每對(duì)圖形有什么共同的特點(diǎn)？2．兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的定義．觀察右圖：把△A′B′C′沿直線l對(duì)折后能與△ABC重合，則稱△A′B′C′與△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱，簡(jiǎn)稱“軸對(duì)稱”，點(diǎn)A與點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與B′對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與C′對(duì)應(yīng)，稱為對(duì)稱點(diǎn)，直線l叫做對(duì)稱軸．3．舉例：你能舉出一些生活中兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的例子嗎？4．討論：軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的區(qū)別．(三)軸對(duì)稱的性質(zhì)觀察教材中圖.1－4，線段AA′與直線MN有怎樣的位置關(guān)系？你能說(shuō)明理由嗎？引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出如下關(guān)系：PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.類似的，點(diǎn)B和點(diǎn)B′，點(diǎn)C和點(diǎn)C′是否有同樣的關(guān)系？你能用語(yǔ)言歸納上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？結(jié)合學(xué)生發(fā)表的觀點(diǎn)，教師總結(jié)并板書(shū)．對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段．在這個(gè)基礎(chǔ)上，教師給出線段的垂直平分線的概念，然而把上述規(guī)律概括成圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)．上述性質(zhì)是對(duì)兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形來(lái)說(shuō)的，如果是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，那么它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸之間是否也有同樣的關(guān)系？從而得出：類似的，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．三、歸納小結(jié)主要圍繞下列幾個(gè)問(wèn)題：(1)概念：軸對(duì)稱圖形，兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，對(duì)稱軸，對(duì)稱點(diǎn)；(2)找軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸．四、布置作業(yè)教材習(xí)題.1第1，2，3題．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該選在牽一發(fā)而動(dòng)全身的關(guān)鍵之處進(jìn)行，軸對(duì)稱圖形的認(rèn)識(shí)的教學(xué)就是要抓住“對(duì)折”與“完全重合”兩個(gè)關(guān)鍵之處．不然就是隔靴搔癢.當(dāng)“部分重合”與“完全重合”理解了，軸對(duì)稱圖形的概念也會(huì)在學(xué)生腦海中留下深刻的印象．．1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)(2課時(shí))第1課時(shí)線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題．重點(diǎn)線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題．難點(diǎn)靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題．一、問(wèn)題導(dǎo)入我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸．那么，線段的垂直平分線有什么性質(zhì)呢？這節(jié)課我們就來(lái)研究它．二、探究新知(一)線段的垂直平分線的性質(zhì)教師出示教材第61頁(yè)探究，讓學(xué)生測(cè)量，思考有什么發(fā)現(xiàn)？如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3…是l上的點(diǎn)，分別量一量點(diǎn)P1，P2，P3…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生回答，教師小結(jié)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．性質(zhì)的證明：教師講解題意并在黑板上繪出圖形：上述問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以這樣表示：如圖，設(shè)直線MN是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C是垂足，點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，我們要證明的是PA＝PB.教師分析證明思路：圖中有兩個(gè)直角三角形，△APC和△BPC，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PA＝PB.教師要求學(xué)生自己寫(xiě)已知，求證，自己證明．學(xué)生證明完后教師板書(shū)證明過(guò)程供學(xué)生對(duì)照．已知：MN⊥AB，垂足為點(diǎn)C，AC＝BC，點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)．求證：PA＝PB.證明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共邊)，∠PCB＝∠PCA(垂直定義)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．因?yàn)辄c(diǎn)P是線段的垂直平分線上一點(diǎn)，于是就有：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．(二)線段的垂直平分線的判定你能寫(xiě)出上面這個(gè)命題的逆命題嗎？它是真命題嗎？這個(gè)命題不是“如果…那么…”的形狀，要寫(xiě)出它的逆命題，需分析命題的條件和結(jié)論，將原命題寫(xiě)成“如果…那么…”的形式，逆命題就容易寫(xiě)出．鼓勵(lì)學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論．原命題的條件是“有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”，結(jié)論是“這個(gè)點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”．此時(shí)，逆命題就很容易寫(xiě)出來(lái)．“如果有一個(gè)點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．”寫(xiě)出逆命題后，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)明．請(qǐng)同學(xué)們自行在練習(xí)冊(cè)上完成．學(xué)生給出了如下的四種證法．已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝PB.求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證法一過(guò)點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證法二取AB的中點(diǎn)C，過(guò)P，C作直線．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝0°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證法三過(guò)P點(diǎn)作∠APB的平分線．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝0°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．證法四過(guò)P作線段AB的垂直平分線PC.∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分線上．四種證法由學(xué)生表述后，有學(xué)生提問(wèn)：“前三個(gè)同學(xué)的證明是正確的，而第四個(gè)同學(xué)的證明我有點(diǎn)弄不懂．”師生共析：如圖(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如圖(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.這說(shuō)明一般情況下，“過(guò)P作AB的垂直平分線”是不可能實(shí)現(xiàn)的，所以第四個(gè)同學(xué)的證法是錯(cuò)誤的．從同學(xué)們的推理證明過(guò)程可知線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆命題是真命題，我們把它稱為線段的垂直平分線的判定．要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個(gè)與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，這樣才能確定已知線段的垂直平分線．下面我們一同來(lái)寫(xiě)出已知、求作、作法，體會(huì)作法中每一步的依據(jù)．例1尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線．已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C.(如下圖)求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.作法：(1)任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁．(2)以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E.(3)分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于eq\f(1,2)DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.(4)作直線CF.直線CF就是所求作的垂線．師：根據(jù)上面作法中的步驟，想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？請(qǐng)與同伴進(jìn)行交流．生：從作法的第(2)(3)步可知CD＝CE，DF＝EF，∴C，F(xiàn)都在AB的垂直平分線上(線段的垂直平分線的判定)．∴CF就是線段AB的垂直平分線(兩點(diǎn)確定一條直線)．師：我們?cè)每潭瘸哒揖€段的中點(diǎn)，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的作法時(shí)，一旦垂直平分線作出，線段與線段的垂直平分線的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)，所以我們也用這種方法找線段的中點(diǎn)．三、課堂練習(xí)教材第62頁(yè)練習(xí)第1，2題．四、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，并學(xué)會(huì)了用尺規(guī)作線段的垂直平分線．五、布置作業(yè)1．教材習(xí)題.1第6題．2．補(bǔ)充題：(1)下圖是某跨河大橋的斜拉索，圖中PA＝PB，PO⊥AB，則必有AO＝BO，為什么？(2)如左下圖，△ABC中，AC＝cm，DE為AB的垂直平分線，△BCE的周長(zhǎng)為26cm.求BC的長(zhǎng)．(3)有A，B，C三個(gè)村莊(如右上圖)，現(xiàn)準(zhǔn)備建一所學(xué)校，要求學(xué)校到三個(gè)村莊的距離相等，請(qǐng)你確定學(xué)校的位置．本節(jié)證明了線段的中垂線的性質(zhì)定理及判定定理、用尺規(guī)作線段的中垂線．在課堂中，學(xué)生證明過(guò)程、作圖方法原理的理解及掌握都比較好，但要強(qiáng)調(diào)作業(yè)中不用三角板等工具而要用尺規(guī)來(lái)作圖，解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)可以直接用定理而不是借助于全等．第2課時(shí)畫(huà)對(duì)稱軸會(huì)畫(huà)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸．重點(diǎn)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的畫(huà)法．難點(diǎn)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的畫(huà)法．一、提出問(wèn)題如果兩個(gè)平面圖形成軸對(duì)稱，你能用什么辦法驗(yàn)證？不經(jīng)過(guò)折疊，你能用什么方法畫(huà)出它的對(duì)稱軸？二、探究新知我們已經(jīng)學(xué)過(guò)，如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，所以我們只要找到兩個(gè)圖形的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后畫(huà)出以對(duì)應(yīng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線即可，如何作線段的垂直平分線呢？例1如圖(1)，已知點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？分析：我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B，作出線段AB的垂直平分線，就可以得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)稱軸，為此作出到點(diǎn)A，B距離相等的兩點(diǎn)，即線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn)，從而作出線段AB的垂直平分線．教師具體分析畫(huà)法、寫(xiě)出畫(huà)法，根據(jù)畫(huà)法作出圖形．學(xué)生模仿教師的畫(huà)法，邊寫(xiě)畫(huà)法，邊畫(huà)圖．作法：如圖(2)．(1)分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于eq\f(1,2)AB的長(zhǎng)為半徑作弧(想一想，為什么)，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；(2)作直線CD.CD就是所求作的直線．這個(gè)作法實(shí)際上就是線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖．教師引導(dǎo)學(xué)生思考：(1)在作法中為什么有CA＝CB，DA＝DB?(2)可以用這種方法找線段的中點(diǎn)嗎？四等分點(diǎn)呢？三、舉例分析例2如圖(1)，△ABC和△A′B′C′是兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形，請(qǐng)畫(huà)出它的對(duì)稱軸．教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)學(xué)生把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決問(wèn)題，只要畫(huà)出點(diǎn)A、點(diǎn)A′連線的垂直平分線即可，如圖(2)．例3圖(1)是一個(gè)五角星，請(qǐng)畫(huà)出它的對(duì)稱軸．教學(xué)方法：引導(dǎo)學(xué)生思考五角星有幾條對(duì)稱軸，點(diǎn)A可以和哪些點(diǎn)成對(duì)應(yīng)點(diǎn)？最后化歸到例2，由學(xué)生自己完成．四、鞏固練習(xí)教材第64頁(yè)練習(xí)第1，2，3題．五、課堂小結(jié)本節(jié)課你有什么收獲？還有哪些不懂的地方嗎？六、布置作業(yè)教材習(xí)題.1第7，8題．通過(guò)前兩節(jié)的學(xué)習(xí)，這節(jié)畫(huà)對(duì)稱軸的習(xí)題課就可以全部交由學(xué)生自己完成．畫(huà)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸就是利用兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)找到對(duì)稱軸，即畫(huà)出這對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線，讓學(xué)生用尺規(guī)作圖，獨(dú)立完成．．2畫(huà)軸對(duì)稱圖形(2課時(shí))第1課時(shí)作軸對(duì)稱圖形通過(guò)實(shí)際操作，掌握作軸對(duì)稱圖形的方法．重點(diǎn)能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過(guò)一次對(duì)稱后的圖形．難點(diǎn)較復(fù)雜圖形的軸對(duì)稱圖形的畫(huà)法．一、問(wèn)題導(dǎo)入我們前面學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì)．如果有一個(gè)圖形和一條直線，如何畫(huà)出這個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱的圖形呢？這節(jié)課我們一起來(lái)學(xué)習(xí)作軸對(duì)稱圖形的方法．二、探究新知[活動(dòng)]在一張半透明紙的左邊部分，畫(huà)一只左腳印，把這張紙對(duì)折后描圖，打開(kāi)對(duì)折的紙，就能得到相應(yīng)的右腳印．這時(shí)，右腳印和左腳印成軸對(duì)稱，折痕所在的直線就是它們的對(duì)稱軸，并且連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分．類似地，請(qǐng)你再將一個(gè)圖形做一做，看看能否得到同樣的結(jié)論．認(rèn)真觀察，左腳印和右腳印有什么關(guān)系？(成軸對(duì)稱)對(duì)稱軸是折痕所在的直線，即直線l，它與圖中的線段PP′是什么關(guān)系？(直線l垂直平分線段PP′)[思考1]如何畫(huà)一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱圖形？例1畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′.畫(huà)法：(1)過(guò)點(diǎn)A作對(duì)稱軸l的垂線，垂足為B；(2)延長(zhǎng)AB到A′，使得BA′＝AB.點(diǎn)A′就是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)．[思考2]如何畫(huà)一條直線的對(duì)稱圖形？例2已知線段AB，畫(huà)出AB關(guān)于直線l的對(duì)稱線段．畫(huà)法：(1)畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′.(2)畫(huà)出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.(3)連接點(diǎn)A′和點(diǎn)B′成線段A′B′.線段A′B′即為所求．[思考3]如果有一個(gè)圖形和一條直線，如何畫(huà)出與這個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱的圖形呢？例3如圖，已知△ABC和直線l，畫(huà)出與△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形．畫(huà)法：(1)過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線l的垂線，垂足為O，在垂線上截取OA′＝OA，A′就是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)．(2)同理，分別畫(huà)出點(diǎn)B，C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，C′.(3)連接A′B′，B′C′，C′A′，則△A′B′C′即為所求．三、課堂練習(xí)1．教材第68頁(yè)練習(xí)第1，2題2．下列圖形中，點(diǎn)P與P′關(guān)于直線MN對(duì)稱的圖形是()四、小結(jié)與作業(yè)1．歸納：幾何圖形都可以看成由點(diǎn)組成，對(duì)于某些圖形，只要畫(huà)出圖形中的一些特殊點(diǎn)(如線段的端點(diǎn))，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到圖形的對(duì)稱圖形．2．作業(yè)：教材習(xí)題.2第1題．幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)(如線段端點(diǎn))的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．第2課時(shí)用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱1．能在直角坐標(biāo)系中畫(huà)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)．2．能表示點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，表示關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．重點(diǎn)用坐標(biāo)表示點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．難點(diǎn)找對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系．一、問(wèn)題導(dǎo)入教材圖.2－3是一張老北京城的示意圖，其中西直門和東直門是關(guān)于中軸線對(duì)稱的，如果以天安門為原點(diǎn)，分別以長(zhǎng)安街和中軸線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)如圖所示的東直門的坐標(biāo)，你能說(shuō)出西直門的坐標(biāo)嗎？二、探究新知【探究1】(1)在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列已知點(diǎn)A(2，－3)，B(－1，2)，C(－6，－5)，D(3，5)，E(4，0)，F(xiàn)(0，－3)；(2)畫(huà)出這些點(diǎn)分別關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)，并填寫(xiě)表格；(3)請(qǐng)你仔細(xì)觀察點(diǎn)的坐標(biāo)，你能發(fā)現(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么規(guī)律嗎？(4)請(qǐng)你想辦法檢驗(yàn)?zāi)闼l(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性，說(shuō)說(shuō)你是如何檢驗(yàn)的．已知點(diǎn)A(2，－3)B(－1，2)C(－6，－5)D(3，5)E(4，0)F(0，－3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)【歸納】關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．【探究2】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出以上各點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)并寫(xiě)出坐標(biāo)，觀察關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有什么規(guī)律？【歸納】關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【探究3】按以上規(guī)律，說(shuō)出點(diǎn)P(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)，再說(shuō)出P1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2坐標(biāo)．觀察點(diǎn)P經(jīng)過(guò)兩次軸對(duì)稱所得點(diǎn)P2的坐標(biāo)有什么規(guī)律？【歸納】一個(gè)點(diǎn)經(jīng)歷關(guān)于x軸、y軸兩次軸對(duì)稱得到的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律是：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)．在以后學(xué)了“中心對(duì)稱”后，兩點(diǎn)被稱為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．三、舉例分析【例1】已知A(2，a)，B(－b，4)，分別根據(jù)下列條件求a，b的值．(1)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱；(3)A，C關(guān)于x軸對(duì)稱，B，C關(guān)于y軸對(duì)稱．【解析】(1)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，說(shuō)明縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)相反，a＝4，b＝2；(2)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，說(shuō)明橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相反，a＝－4，b＝－2；(3)A，C關(guān)于x軸對(duì)稱，B，C關(guān)于y軸對(duì)稱，說(shuō)明A，B經(jīng)過(guò)x軸、y軸兩次對(duì)稱變換，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橫、縱坐標(biāo)各互為相反數(shù)，a＝－4，b＝2.【例2】如下圖，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分別畫(huà)出與四邊形ABCD關(guān)于y軸和x軸對(duì)稱的圖形．學(xué)生獨(dú)立完成，教師用多媒體出示出正確答案并講評(píng)．四、課堂鞏固1．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(4，－5)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．已知點(diǎn)P(－2，3)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為Q(a，b)，則a＋b的值為()A．1B．－1C．5D．－53．點(diǎn)P(a，b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P1，點(diǎn)P1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P2，則P2的坐標(biāo)為()A．(a，b)B．(a，－b)C．(－a，b)D．(－a，－b)4．若點(diǎn)(a，b)與點(diǎn)(m，n)滿足a＋m＝0，b－n＝0，則這兩點(diǎn)關(guān)于()對(duì)稱．A．x軸B．y軸C．x軸或y軸D．不確定五、拓展思維如圖，點(diǎn)A(1，4)，B(4，1)，l為第一、三象限角∠x(chóng)Oy的平分線．(1)求證：l垂直平分AB；(2)A，B關(guān)于l成軸對(duì)稱嗎？(3)如果點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(6，8)和(8，6)，它們還關(guān)于l對(duì)稱嗎？(4)如果你發(fā)現(xiàn)了對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，寫(xiě)出點(diǎn)P(m，n)關(guān)于第一、三象限角平分線的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)．六、小結(jié)與作業(yè)小結(jié)：(1)點(diǎn)關(guān)于某條直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過(guò)尋找線段之間的關(guān)系來(lái)求．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，－y)，即橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；點(diǎn)(x，y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－x，y)即橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等．作業(yè)：教材習(xí)題.2第3，4題．本節(jié)課通過(guò)學(xué)生熟悉、向往的北京城內(nèi)天安門、長(zhǎng)安街、東直門等的方位引入新課，能強(qiáng)烈地吸引學(xué)生的注意力，較好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．其中歸納規(guī)律后檢驗(yàn)其正確性是科學(xué)研究問(wèn)題的一個(gè)必不可少的步驟，并通過(guò)一系列的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生思維的流暢性，也使學(xué)生特別是學(xué)有困難的學(xué)生都能達(dá)到基本的學(xué)習(xí)目標(biāo)．．3等腰三角形．3.1等腰三角形(2課時(shí))第1課時(shí)等腰三角形的性質(zhì)和應(yīng)用1．理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)．2．運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)算．3．觀察等腰三角形的對(duì)稱性、發(fā)展形象思維．重點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用．難點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)的證明．一、情境導(dǎo)入【活動(dòng)1】教師預(yù)先做出各種幾何圖形，包括圓、長(zhǎng)方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等邊三角形等．讓同學(xué)們搶答哪些是軸對(duì)稱圖形，提問(wèn)什么是軸對(duì)稱圖形，什么樣的三角形才是軸對(duì)稱圖形．引入今天所要講的課題——等腰三角形．我們知道，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，下面我們利用軸對(duì)稱的知識(shí)來(lái)研究等腰三角形．二、探究新知如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中虛線對(duì)折，并剪去陰影部分，再把它展開(kāi)，得到的△ABC有什么特點(diǎn)？學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手操作，從剪出的圖形觀察△ABC的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)AB＝AC.教師活動(dòng)：讓學(xué)生回顧等腰三角形的概念：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．如下圖．在△ABC中，若AB＝AC，則△ABC是等腰三角形，AB，AC是腰，BC是底邊，∠A是頂角，∠B和∠C是底角．【活動(dòng)2】把活動(dòng)1中剪出的△ABC沿折痕AD對(duì)折，找出其中重合的線段，填入下表：重合的線段重合的角從上表中你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有什么性質(zhì)嗎？學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察，獨(dú)立完成上表，然后小組討論交流，從表中總結(jié)等腰三角形的性質(zhì)．教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生歸納．性質(zhì)1等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”)；性質(zhì)2等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線合一”)．【活動(dòng)3】你能用所學(xué)知識(shí)驗(yàn)證上述性質(zhì)嗎？如圖，在△ABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C.學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論，尋找解決問(wèn)題的辦法，若證∠B＝∠C，根據(jù)全等三角形的知識(shí)可以知道，只需要證明這兩個(gè)角所在的三角形全等即可．于是可以作輔助線構(gòu)造兩個(gè)三角形，作BC邊上的中線AD，證明△ABD和△ACD全等即可，根據(jù)條件利用“邊邊邊”可以證明．教師活動(dòng)：讓學(xué)生充分討論，根據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)利用邏輯推理的方式進(jìn)行證明，證明過(guò)程中注意學(xué)生表述的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性．證明：作BC邊上的中線AD，如圖．在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AD，,BD＝CD，))所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠B＝∠C.這樣，就證明了性質(zhì)1.類比性質(zhì)1的證明你能證明性質(zhì)2嗎？由△ABD≌△ACD，還可得出∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°.從而AD⊥BC，這也就證明了等腰△ABC底邊上的中線平分頂角∠A并垂直于底邊BC.添加輔助線的方法多樣，讓學(xué)生再去討論、交流，即用類似的方法可以證明性質(zhì)2.三、應(yīng)用提高例1如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．學(xué)生活動(dòng)：小組合作，分組討論、交流．教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生分析圖形中關(guān)于角的數(shù)量關(guān)系．(三角形的內(nèi)角、外角，等腰三角形的底角)發(fā)現(xiàn)：(1)∠ABC＝∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；(2)∠A＝∠ABD；(3)∠A＋2∠C＝0°.若設(shè)∠A＝x，則有x＋4x＝0°，得到x＝36°，進(jìn)一步得到兩個(gè)底角的度數(shù)．四、小結(jié)與作業(yè)請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，有哪些收獲？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后，用自己的語(yǔ)言歸納，教師適時(shí)點(diǎn)評(píng)，并關(guān)注以下幾個(gè)問(wèn)題：小結(jié)：(1)等邊對(duì)等角；(2)等腰三角形的三線合一；(3)等腰三角形常用輔助線作法(作底邊上的高、作底邊上的中線、作頂角的平分線)．作業(yè)：教材習(xí)題.3第1，3，7題．本節(jié)課重點(diǎn)要讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手翻折等腰三角形紙片得出等腰三角形“兩個(gè)底角相等”、“三線合一”的性質(zhì)．設(shè)計(jì)理念是讓學(xué)生通過(guò)感官認(rèn)識(shí)、折紙、猜想、驗(yàn)證等腰三角形的性質(zhì)，然后運(yùn)用全等三角形的知識(shí)加以論證，使學(xué)生思維由形象直觀過(guò)渡到抽象的邏輯演繹，層層展開(kāi)，步步深入，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的．第2課時(shí)等腰三角形的判定1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．2．運(yùn)用等腰三角形的判定進(jìn)行證明和計(jì)算．重點(diǎn)等腰三角形的判定方法．難點(diǎn)等腰三角形的判定方法的證明．一、提出問(wèn)題出示教材第77頁(yè)“思考”．學(xué)生思考，回答后教師提問(wèn)：在一般三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？學(xué)生猜想它們所對(duì)的邊相等．即如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．如何證明？二、解決問(wèn)題教師引導(dǎo)提示，學(xué)生根據(jù)提示畫(huà)出圖形，并寫(xiě)出已知、求證．已知：在△ABC中，∠B＝∠C.求證：AB＝AC.與學(xué)生一起回顧等腰三角形中常添加的輔助線：高、頂角平分線、底邊上的中線．讓學(xué)生逐一嘗試，發(fā)現(xiàn)可以作AD⊥BC，或AD平分∠BAC，但不能作BC邊上的中線．學(xué)生口頭證明后，選一種方法寫(xiě)出證明過(guò)程．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，作△ABC的角平分線AD.在△BAD和△CAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠2，,∠B＝∠C，,AD＝AD，))∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC.歸納等腰三角形的判定方法：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，簡(jiǎn)稱：“等角對(duì)等邊”．三、應(yīng)用舉例1．出示教材例2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)命題畫(huà)出圖形，利用角平分線的性質(zhì)及“等邊對(duì)等角”來(lái)證明．學(xué)生討論后，自己完成證明過(guò)程．例2求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.(如圖所示)求證：AB＝AC.分析：要證明AB＝AC.可先證明∠B＝∠C.因?yàn)椤?＝∠2，所以可以設(shè)法找出∠B，∠C與∠1，∠2的關(guān)系．證明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B(______________________)，∠2＝∠C(______________________)．而已知∠1＝∠2，所以∠B＝∠C.∴AB＝AC(______________)．2．出示教材例3.讓學(xué)生自學(xué)例3.例3已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高的長(zhǎng)為h，求作這個(gè)等腰三角形．作法：(1)作線段AB＝a.(2)作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點(diǎn)D.(3)在MN上取一點(diǎn)C，使DC＝h.(4)連接AC，BC，則△ABC就是所求作的等腰三角形．四、課堂小結(jié)1．等腰三角形的判定方法是什么？2．等腰三角形的性質(zhì)與判定既有區(qū)別又有聯(lián)系，你能總結(jié)一下嗎？五、布置作業(yè)教材習(xí)題.3第2，8，題．學(xué)生剛剛學(xué)過(guò)等腰三角形的性質(zhì)，對(duì)等腰三角形已經(jīng)有了一定的了解和認(rèn)識(shí)．因此在課堂教學(xué)中先引出等腰三角形的判定定理及推論，并能夠靈活應(yīng)用它進(jìn)行有關(guān)論證和計(jì)算．發(fā)展學(xué)生的動(dòng)手、歸納猜想能力；發(fā)展學(xué)生證明用文字表述的幾何命題的能力；使它們進(jìn)一步掌握歸納思維方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)分類思想、轉(zhuǎn)化思想．．3.2等邊三角形(2課時(shí))第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)和判定1．掌握等邊三角形的定義．2．理解等邊三角形的性質(zhì)與判定．重點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)和判定．難點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用．一、問(wèn)題引入在等腰三角形中，如果底邊與腰相等，會(huì)得到什么結(jié)論？二、自主探究1．等邊三角形的定義底邊和腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形．2．思考：把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，能得到什么結(jié)論？一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角滿足什么條件才是等邊三角形？邊：三條邊都相等．角：三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA嗎？為什么？你從中能得到什么結(jié)論？三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.(1)求證：△ABC是等邊三角形；(2)如果把∠A＝60°改為∠B＝60°或∠C＝60°，那么結(jié)論還成立嗎？(3)由上你可以得到什么結(jié)論？有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．三、應(yīng)用舉例1．教材例4.例4如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠A＝∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等邊三角形．2．歸納：在判定三角形是等邊三角形時(shí)：(1)若三角形是一般三角形，只要找三個(gè)角相等或三條邊相等；(2)若三角形是等腰三角形，一般是找一個(gè)角等于60°.四、鞏固練習(xí)教材第80頁(yè)練習(xí)第1，2題．補(bǔ)充題：1．如圖，已知等邊△ABC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD＝BE＝CF.求證：△DEF是等邊三角形．2．如圖，已知等邊△ABC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且CE＝CD，DF⊥BE.求證：BF＝EF.eq\o(\s\up7(,第1題圖),第2題圖)教師提出要求，補(bǔ)充題1，2可以讓學(xué)生板書(shū)過(guò)程．五、總結(jié)提高小結(jié)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你了解到了等邊三角形有哪些特點(diǎn)？怎樣判定一個(gè)三角形是等邊三角形？布置作業(yè)：教材習(xí)題.3第，題．教學(xué)中設(shè)計(jì)了兩個(gè)問(wèn)題：把等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，你能得到什么結(jié)論？類似地，你又能得到哪些等邊三角形的判定方法？讓學(xué)生先自主探索再合作交流，小組內(nèi)、小組間充分討論后概括所得結(jié)論．這既鞏固應(yīng)用等腰三角形的知識(shí)，又類比探索等邊三角形性質(zhì)定理和判定定理的方法，并使學(xué)生加深對(duì)等腰三角形與等邊三角形的聯(lián)系與區(qū)別的理解．第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)與應(yīng)用．重點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)．難點(diǎn)含30°角的直角三角形性質(zhì)的推導(dǎo)．一、情境導(dǎo)入將兩個(gè)含30°的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形，找出Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的關(guān)系嗎？二、探究新知由題意可判定△ABD是等邊三角形，且AC為邊BD上的高，可得BC＝CD＝eq\f(1,2)AB.教師歸納：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．你能證明這一結(jié)論嗎？讓學(xué)生從以下兩個(gè)途徑探索：(1)△ABD是等邊三角形，AC⊥BD于點(diǎn)C，則∠BAD＝____度，BC＝____BD＝____AB.(2)在△ABC中，若AC⊥BC，∠A＝30°，則∠B＝____度，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使BD＝AB，連接AD，則△ABD是等邊三角形，BC＝eq\f(1,2)____＝eq\f(1,2)____．以上結(jié)論是直角三角形的性質(zhì)之一，在以后的證明和計(jì)算中經(jīng)常用到．思考：逆命題：“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°”是否成立？課堂練習(xí)①在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝4，則BC＝________，∠BCD＝________，BD＝________．②小明沿傾斜角為30°的山坡從山腳步行到山頂，共走了200m，求山的高度．三、舉例分析出示教材例5.例5如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多長(zhǎng)？解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB，DE＝eq\f(1,2)AD.∴BC＝eq\f(1,2)×7.4＝3.7(m)．又AD＝eq\f(1,2)AB，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×3.7＝1.85(m)．答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m.教師引導(dǎo)學(xué)生尋找圖中含有30°角的直角三角形，并選擇BC，DE所在直角三角形．由學(xué)生口答后，找學(xué)生完成板書(shū)，其他同學(xué)對(duì)照．四