§2.5

函數的連續性一、概念二、連續函數在連續點處的局部性質一、概念1、連續點xfi

x0對y

=

f

(x),

x

?

D,

若x0

?

D且有lim

f

(x)

=

f

(x0

),則稱f

(x)在x0連續,稱x0為f

(x)的一個連續點2、連續函數若對"x0

?

D,有f

(x)在x0連續,則稱f

(x)為D上的連續函數3、單側連續（1）左連續0xfi

x-若有lim

f

(x)=f

(x),則稱f

(x)在x0左連續（2）右連續0xfi

x+若有

lim

f

(x)

=

f

(x),則稱f

(x)在x0右連續（3）與點連續的關系f

(x)在x0連續

f

(x)在x0既左連續,

又右連續4、定理 基本初等函數在其定義域內處處連續；初等函數在其定義域內亦處處連續（端點為單側連續）5、間斷點及其分類（1）

f

(x)在x0連續條件的分解同時滿足下述三條件，即為連續點①②f

(x)在x0有定義

f

(x0

+

0)與f

(x0

-

0)均存在③f

(x0

+

0)

=

f

(x0

-

0)

=

f

(x0

)間斷點：上述三個條件中至少有一個不成立的點即為間斷點，也稱間斷點為不連續點。間斷點僅在定義域及其端點處考察，其它點不考慮。間斷點的分類：分為第一類間斷點和第二類間斷點◎第一類間斷點：滿足條件②的間斷點，即是f

(x0

+0)與f

(x0

-0)均存在的間斷點1)若f

(x0

+0)?f

(x0

-0),則稱x0為跳躍間斷點,如y

=[x]在整數點處且稱f

(x0

+0)

-f

(x0

-0)

為f

(x)在x0處的跳躍度2)若f

(x0

+0)

=f(x0

-0)

?f

(x0

),或f

(x)在x0處無定義,則稱x0為f

(x)的可去間斷點,此時只需改變或補充f

(x)在x0處的函數值,就可使f

(x)在x0處連續,如xy=sin

x

在x

=0處y

=x

+1,

x

>

00,

x

=

01-

x,

x

<

0在x

=0處兩個函數在給定點處均間斷，一個為可去間斷點，另一個為跳躍間斷點，它們的大致圖形如下XY1O

p25p

22p2--p2p

3p3p-p-2p5p

-

3p2

2-3py

=

2p3py

=-

25py

=

2xy

=sin

x

的圖形為XYO11y

=

x

+

1,

x

>

0y

=

1

-

x

,

x

<

0x

+1,

x

>

0y

=

0,

x

=

01-

x,

x

<

0的圖形為（4）理解舉例例1

設f

(x)

=x2

-11

,xx

<

0,0

<

x

-1

￡1x

-1x

>

22x

-1,求f

(x)的間斷點,并判斷出它們的類型解：f

(x)的定義域為(-￥

,0)[0,1)(1,2](2,+￥

),(-￥

,0),且在(0,1),(1,2),(2,+￥

)中f

(x)為初等函數,函數處處連續因此函數的間斷點只可能在x1

=0,x2

=1,x3

=2處◎第二類間斷點：f

(x0

+0)與f

(x0

-0)至少有一個不存在的點

lim

f

(x)

=

limxfi

0-

xfi0-1x=

￥,1\

x

=

0是f

(x)的第二類間斷點x2

-1=2,且f

(x)在x2

=1處無定義又

lim

f

(x)=limxfi

1

xfi

1x

-1\x2

=1是f

(x)的可去間斷點x2

-1而

lim

f

(x)

=

limxfi

2-

xfi

2-=

3,x

-1lim

f

(x)

=

lim

(2x

-1)

=

3,

f

(2)

=

3xfi

2+

xfi

2+\x3

=2是f

(x)的連續點例2x2nnfi

￥

1+

x求f

(x)=lim在x

=1點的跳躍度2n2n解：

lim

x

=nfi

￥0,

x

<11,

x

=1+￥

,

x

>1\

f

(x)

=0,

x

<1x

=11

,21

x

>

1\

lim

f

(x)

=

0,

lim

f

(x)

=1xfi

1-

xfi

1+x2n2n\

f

(x)

=

limnfi

￥在x

=1點的跳躍度為11+

x二、連續函數在連續點處的局部性質1、性質1若f

(x)在x0連續,且f

(x0

)>0,則$d

>0,使得對"x

?

Od

(x0

)均有f

(x)>02、性質2若f

(x),g(x)在x0連續,則有Cf

(x),f

(x)–g(x),f

(x)?g(x)和0g(x)f

(x)(g(x)?0)在x

處亦連續3、推論若f

(x),g(x)在[a,b]上連續,則Cf

(x),f

(x)–g(x),g(x)f

(x)?g(x)和f

(x)(g(x)?0,x

?

[a,b])在[a,b]上亦連續xfi

Xxfi

X4、性質3若f

(x)在x

=

A連續,

lim

g

(

x)

=

A,

則有

lim

f

[g(x)]

=

f

(

A)特別地，若g(x)在x0連續,f

(x)在A

=g(x0

)連續,則f

[g(x)]在x0連續xxfi

￥例3

利用函數連續性求極限

lim(1+

1

)x此例即為前面補充的第二重要極限，這里用連續性計算解：(1

+1)

xxx

ln(1+

1

)=

e

,xx

xxfi

￥xfi

￥\

lim

x

ln(1+

1

)

=

lim

x

?1

=11

1

1xfi￥lim

=

0

ln(1+

)

~

(x

fi

￥

)x

x

x而f

(x)=ex在(-￥

,+￥

)連續1\

lim

(1

+x

fi

￥)

xxx

ln(1+

1

)=

lim

e

=

e1

=

ex

fi

￥x例4

求下列函數的極限1x1x(1)

lim(1-

2x)xfi

0;

(3)

limxfi

01-

2x3

-

2x;

(2)

limxfi

￥x1-

2x1+

2x

1解：(1)lim(1-2x)xxfi

01

ln(1-2

x)=

lim

exxfi

01xfi

0(-2

x)=

lim

ex

=

e-2x

ln

1-2

x3-2

x

1-

2x

(2)

lim

=

lim

exfi

￥xxfi

￥

3

-

2x

2x

-3-2

x

=

lim

e

=

exfi

￥2x

ln1-3-2

x

=

lim

exfi

￥11

ln1-2

xx

1+2

x=

lim

exfi

0

1-

2x

x(3)

lim

1+

2x

xfi

0

1

ln1-

4

x

1+2

x

=

lim

exfi

0x1

-

4

xx

-41+2

x

=

lim

e

=

exfi

0例5

求極限xfi

0lim

sin[ln(1+

2x)]-

sin[ln(1-

x)]x解：sin[ln(1+2x)]-sin[ln(1-x)]=

2

sin[

ln(1+

2x)

-

ln(1-

x)]cos[

ln(1+

2x)

+ln(1-

x)]2

222

ln

1+

2x

1-

x

cos

ln(1+

x

-

2x

)=

2

sin2ln(1+

x

-

2x2

)而lim

cosxfi

0=1,且當x

fi

0時有2ln

1+

2x

ln

1+

2xln

1+

2x

~3x

,

sin

~3x1-

x

1-

x~1-

x

1-

x

2

22(1-

x)xfi

0x

xfi

0

2x(1-

x)\

lim

sin[ln(1+

2x)]-

sin[ln(1-

x)]

=

2

lim

3x=

35、性質4

利用函數極限計算數列極限若

lim

f

(x)

=

A,則有lim

f

(n)

=

Axfi

+￥

nfi

￥例6

求極限1lim(1-nfi

￥)n2n

+1解：n

ln(1-

1

)2n+11

(1-)n

=

e2n

+111lim

x

ln(1-xfi

+￥)

=

lim

x(-xfi

+￥2x

+12)

=

-

12x

+1n

ln(1-

1

)-12n+121\

lim(1-nfi

￥)n

=

lim

enfi

￥2n

+1=

e例7

求極限nlim

n

sin

pnfi

￥~n解：

n

fi

￥

p

fi

0

sinp

pn

nn

nnfi

￥nfi

￥\

lim

n

sin

p

=

lim

n

?p

=

p例8

連續復利問題在利息的計算方式上，分單利制和復利制兩種方式。所謂單利制是指只計算本金的利息，利息不計算利息；而復利制下除了本金計算利息外，利息也要計算利息，即是一般所稱的利滾利。經濟學中稱本金為現值，到