因子分析在市場調研中的應用市場調研過程中，研究人員經常需要面對大批量的數據，這些數據不但數據量大，涉及的變量眾多，而且變量間往往存在一定的相關性，為分析問題帶來了一定的難度。因此，如何正確有效的處理這些多變量大樣本的數據，既是研究人員感興趣的一個問題，也是研究人員需要具備的一種能力。在這方面，因子分析有著較為廣泛的應用。因子分析是一種主要用于數據化簡和降維的多元統(tǒng)計分析方法。在面對諸多具有內在相關性的變量時，因子分析試圖使用少數幾個隨機變量來描述這許多變量所體現的一種基本結構，從而將數據降至一個可以掌握的水平（amanageablelevel）。這既便于問題的分析，易于抓住問題的本質所在，同時也為后續(xù)的統(tǒng)計分析奠定了基礎。一、因子分析的數理統(tǒng)計背景從數理統(tǒng)計的角度來看，因子分析的基本目的是，用少數幾個隨機變量去描述許多變量之間的協方差關系。與多元回歸不同的是，這里的少數幾個隨機變量是不可觀測的，通常稱之為因子。本質上，因子分析基于這樣的思想：根據相關性的大小將變量分組，使得同組內的變量之間相關性較高，但不同組的變量相關性較低。由此，可以認為，每組變量代表一個基本結構（因子），它們可以反映問題的一個方面，或者說一個維度。因子模型假定觀測到的每一個隨機變量Xi線性的依賴于少數幾個不可觀測的隨機變量F1，F2,，…Fm（通常稱為公共因子，commonfactor）和一個附加的方差源ei（通常稱為特殊因子或誤差，uniquefactor），即：（1）其中，lij為第i個變量在第j個因子上的載荷，稱為因子負載（factorload）。通常對隨機變量Fj和ei進行如下假定：（1.1）（1.2）（1.3）即：（1）各公共因子的均值為0，方差為1，且因子之間不相關；（2）各誤差的均值為0，具有不等方差，且誤差之間不相關；（3）公共因子和誤差間相互獨立。滿足（1）式及假設（1.1）—（1.3）的因子模型通常稱之為正交因子模型。這也是因子模型中應用最為廣泛的一類模型。除此之外，還有斜交因子模型，即各因子間存在相關，這種模型在尋求因子解釋方面存在一定優(yōu)勢，但由于相關性的存在降低了其應用價值，在實際應用并不多見。統(tǒng)計中，常常將變量間的一種相關關系看作為一種“信息”。因子分析正是基于變量間的方差-協方差矩陣（相關-協相關矩陣，對標準化的隨機變量而言二者是一致的）的一種分析方法，它希望利用公共因子來盡可能的解釋變量間的這種關系。在正交因子模型中，我們具有如下的協方差結構：（2.1）（2.2）（2.3）即：（1）可測變量Xi的方差可由該變量在m個公共因子上的負載平方和（第i個共同度，communality）和特殊因子的方差（特殊度，speciality）表出；（2）可測變量Xi、Xj間的協方差可由可測變量在所有公共因子上的負載的對應乘積之和給出；（3）可測變量和公共因子之間的協方差即為因子負載。上述的協方差結構（2.1）—（2.3）為我們分析因子模型的適合度、選擇和評價公共因子等方面提供了依據。二、如何進行因子分析統(tǒng)計軟件，如SPSS等的廣泛應用使因子分析的實際計算過程相當簡易，但是對研究人員而言，明白一種分析方法的意義往往比知曉其計算過程更為重要。一個完整的因子分析過程應當包含如下方面：1、問題的定義（problemofformulation）這包括定義一個因子分析的問題并確定實施因子分析的變量。應用統(tǒng)計分析方法的關鍵往往并不在于方法本身，而在于對合適的問題選擇合適的方法。因子分析適用的場合往往是一些多變量大樣本的情形，研究者的目的則在于尋求這些具有內在相關性的變量背后的一種基本結構。包含在因子分析中的變量應當依據過去的經驗、理論或者研究者自己的判斷而被選擇。但非常重要的一點是，這些變量必須具備區(qū)間或者比率測度等級。在樣本大小方面，粗略而言，進行因子分析的樣本容量至少應是因子分析所涉及變量數目的４—５倍。２、計算并檢驗協方差（相關）矩陣（construction&testofcorrelationmatrix）如前所述，因子分析基于變量間的協方差矩陣。換言之，包含在因子分析中的變量必須具有一定的相關性，如果變量間不存在相關，或者相關性很小，那么因子分析將不是一種合適的分析方法。實際中，變量間的相關性往往是存在的，但是否達到適合進行因子分析的程度呢？除了直觀的判定外，所幸的是還存在一些客觀的檢驗方法。巴特利特球體檢驗（Bartlett’stestofsphericity）可以用來檢驗變量間是否存在相關。它是一種建立在協方差陣是單位陣（即變量間不相關）的假設基礎之上的檢驗。一個大的檢驗值通常意味著檢驗結果的顯著性，因此可以拒絕原假設，可以進行因子分析，否則應該慎重考慮。另一個有用的方法是KMO測度（Kaiser-Meyer-Olkinmeasureofsamplingadequacy），它比較了觀測到的變量間的相關系數和偏相關系數的大小。一個大的KMO測度值同樣支持我們進行因子分析。一般而言，KMO測度〉0.5意味著因子分析可以進行，而在0.7以上則是令人滿意的值。3、選擇因子分析的方法（methodoffactoranalysis）主成分分析法（principalcomponentanalysis）和公因子分析法（commonfactoranalysis）是兩種主要的尋找公因子的方法。前者主要考慮變量的全部方差，而后者則著重考慮共同方法。因此，主成分分析法使用直接由數據計算出的協方差陣，而公因子分析法則先將計算出的協方差陣的對角線元素替換為一個估計的共同度，再進行后續(xù)分析。如果研究者關注的問題是尋求可以解釋數據中的最大方差的盡可能少的因子時，主成分分析法是一種值的推薦的方法，同時這也是應用比較廣泛的一類方法。4、確定因子數目（numberoffactors）主成分法所獲取的因子解的數目是同原來變量的個數一樣多的，而因子分析的主要目的則是用少數幾個公因子來闡釋數據的基本結構。這既要求因子的數目應該遠比遠來的變量個數要少，同時又要求保留的因子能夠盡可能多的保留原來變量的信息。因此因子數目的選取也就比較講究。除了經驗判斷外，特征值法是選用較多的判斷方法。因子對應的特征值就是因子所能解釋的方差大小，而由于標準化變量的方差為1，因此特征值法要求保留因子特征值大于1的那些因子。這意味著要求所保留的因子至少能夠解釋一個變量的方差。需要注意的是，如果變量的數目少于20，該方法通常會給出一個比較保守的因子數目。此外，基于所保留的因子能夠解釋的方差比例的方法也常常使用。一般而言，所保留的公因子至少應該能夠解釋所有變量60%的方差。因子碎石圖（screeplot）提供了因子數目和特征值大小的圖形表示。可以用于直觀的判定因子數目。半分法及統(tǒng)計檢驗法也是確定因子數目的方法，但并不常用。甩5飼、因納子旋版轉（楚ro作ta攪ti殊on鑰o粉f臣fa謝ct卸or豬s訓）度抽因子陶負載輕給出題了觀辨測變龜量和灶提取悟的因亡子之樹間的敏相關承程度喘的大瓣小，盈這意疫味著此在某線一因贈子上眨的負短載大盆的變?yōu)趿繉Υ笤撘蛑圩拥脑绊懲陷^大斧，因絮子的藏實際點意義科較大俗地取江決于閉這些饒變量騎。這胡可以諸幫助術我們碑來解絲釋因錯子的聚實際佛意義寨。但圖是，智基于區(qū)公因膨子本善身的蝴意義扭，實鐵際中睜往往侵會出湯現所嚴有變泡量在畜一個棗因子剛上的聯負載痰都比側較大激的情購形，會這為黑因子格的解修釋帶慰來了服困難奸。甲急因子個旋轉還（極ro撿ta定ti容on洗o徐f嗓fa謝ct趴or感s旺）為瞧因子冬解釋伸提供承了便六利。肝因子播旋轉狼的目遙的是網使某保些變獎量在棋某個嘗因子絡上的哨負載躍較高喘，而襲在其顯它因巴子上卸的負沙載則鉤顯著溫的低救，這敵事實冬上是泊依據棵因子迷對變品量進錘行更蕉好的系“吊聚類饑”驗。同安時，漠一個姨合理捏的要促求是美這種得旋轉瀉應并皮不影卵響共逢同度切和全宰部所季能解踏釋的婆方差阿比例住。因呀子模呼型本汁身的縣協方兆差結鬼構在紅正交服陣下絹的墳“算不可數識別淘性那”衰決定佳了因雜子旋漲轉的坑可行帖性。慣澆正交緞旋轉熔（察or辜th晃og秤on危al級r輔ot鋒at強io夫n刺）和鹿斜交欠旋轉帖（架ob期li竭qu吹e心ro鹽ta妻ti憶on憶）是杏因子羞旋轉渡的兩哲類方涌法。怒前者帆由于灶保持索了坐樂標軸年的正賄交性悉（成狀直角軌），疲即因康子之悲間的角不相槽關性蜓，因妹此使冷用最壽多，深也是武正交散因子狠模型見的旋動轉方慧法。代正交誘旋轉敘的方遣法很驚多，稅其中演以方秒差最申大化喇法（釋va提ri已ma秀x永pr督oc孩ed挖ur沃e冰）最獎為常玻用。哨斜交驕旋轉民可以廟更好兼的簡蝕化因回子模準式矩趟陣，禮提高國因子遼的可注解釋符性，頓但是羨因為校因子算間的摧相關驅性而患不受娃歡迎呢。但恒是如能果總鼓體中傭各因耐子間怖存在柳明顯早的相昨關關心系則儉應該身考慮主斜交距旋轉板。外6澇、因盾子解叉釋（叔in傻te飾rp宵re鴿ta媽ti鴨on糠o演f撕fa套ct誤or廁s獄）置譯因子樣分析杯的重喜要一乘步應授該是炊對所配提取尊的公架因子檢給出蒙合理厭的解腔釋。波因子臂解釋禍可以泰通過雨考慮冬在因恢子上甘具有逢較高鐵負載踢的變榮量的剝意義例進行般。經榮過因幸子旋楚轉后取的因蕩子負奴載陣癢可以丘大為河提高去因子岸的可甚解釋降性。威良需要范注意休的是火，即宵是經紋過旋起轉后兇，仍暖有可巡能存窗在一范個因沸子的抽所有弦因子沖負載理均較今高的摸情形己，這究種因緩子通歷常可刃以稱污之為峽一般盤或者絡基礎喂性因封子，墾一個寨合理鑒的解雖釋是醋它是互由于有所研有究的第問題報的共涼性所淘決定色的，腥而并斬不單效一的監(jiān)取決棟于問濤題的進某一食個方撇面。周此外詞，對蜜于某呀些負販載較宋小、池難以質解釋濃或者擾實際紫意義欠不合冊理的字因子顛，如川果其散解釋軋的方貧差較江小，踏則通呈常予奉以舍李棄。者7榴、因林子得燈分（照fa導ct毯or雁s胡co騙re文s卸）貼王如果綠后續(xù)嚴分析健需要透，如茶進行弓回歸蛋分析寸等等額，通靜常需額要進散一步冰計算仍各公柔因子億的因皂子得辰分。絲即給訓出各讀因子六在每輛一個掛案例韻上的薯值。悅事實澆上，溫既然是各觀從測變華量可女以表魔為各根公因悔子的揪線性今組合猶，那污么反遍之，霞各公懂因子內也可躬以表插為各舟觀測戰(zhàn)變量拍的線沈性組拆合：中（功2廊）胖其中嘉：大Wi限j銅為第宗i妖個因附子在扔第密j饅個變正量處含的因直子得依分系挑數。古注意奔，它影并不拼等于立（梯1悼）中嗎的因某子負給載泊Li喪j寒。縱蘋因子壽得分垂正是編通過掛這樣奴的方絹法利拿用各禁觀測乖變量頓的值預而估似計得弓到的徒。主轉成分模分析識法可曠以給奸出各拋因子朽得分蓄的精渣確值房，并播且這專些值掩之間方是不哲相關棉的。溪因子燃得分極值可博以用姻來代憐替原燈來的脂變量健用于畜后續(xù)懷的分盼析。傲由于冷消除瘡了相畜關性攪，為尊后續(xù)侵的統(tǒng)灰計分諷析方堅法的艇應用客提供饑了較騎大便棒利。盞8畜、模給型的改適合家度（妻mo抹de潮l鳥fi爪tn促es孫s漆）壺居因子填分析激的最迅后，貨應該事對構縫建的呼模型乒是否闖適合句問題軌本身師有一催個認世識，疑這就圖涉及完到模篇型的瘋適合而度的童判斷儉。這臥種判煮斷常甩常基鬼于殘緊差矩后陣而波進行狹。久必由因屬子模脅型的別協方愿差結盾構（脖2.閣1床）和輛（眨2.允2剖）可駛知，趙一旦儲因子頑模型近建立標，有川了因弄子負從載后居，我稀們就穴可以濱計算戚的觀汁測變概量的池方差勸-胳協方縣差陣率，這起種由株公因晚子再準生的異方差艇-即協方爺差陣珠（盈re離pr峰od助uc豎e防co制rr棚el芬at仆io密n慚ma繼tr始ix樂）與躲實際對觀測垃到的廳方差菠——謝協方估差陣奴（袖ob籌se粱rv資ed汗c虎or香re倆la綿ti踢on鴿m肆at疊ri攀x刃）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