導數證明單變量不等式2020屆高考專題復習浮山中學李善飛

銅陵市新型冠狀病毒疫情防控期間名師課堂

通過對近幾年的高考命題的分析，發現高考對導數的考查常以函數為依托，將導數內容和傳統內容中有關不等式和函數的單調性、方程根的分布、曲線的切線問題等內容有機的結合在一起，設計綜合試題,從而考查函數、導數的基礎知識和基本方法。解決這類有關的問題，需要借助構造函數，那么怎樣合理的構造函數就是問題的關鍵。這里根據我多年的教學經驗，總結出一些方法，希望對同學們有所幫助。考情分析方法梳理FANGFASHULI一、變形構造函數證明對不等式合理變形導數研究函數最值、單調性獲得不等式結論構造函數步驟例1.

求證(1)當時，證法1：小結：直接作差構造函數，兩次求導，利用函數單調性證明。1例1.

求證(1)當時，小結：對數單身狗，對含對數的不等式，先清理對數的因式再構造可減少求導分析的次數。證法2：例1.

求證(2)當時，小結：指數找朋友，對含指數的不等式，將變量集中到指數上既可減少求導分析的次數，也可以避免導函數零點不可求。作差后再構造【過關訓練】1.求證：

【過關訓練】

分析：方法梳理FANGFASHULI二、換元構造函數證明對不等式合理變形導數研究獲得不等式結論構造函數步驟代數式換元例2.

證明：1小結：把數列不等式通過換元轉化為代數不等式，利用導數再證明。換元后再構造【過關訓練】2.求證:

分析：方法梳理FANGFASHULI三、切線放縮法證明對不等式切線放縮導數研究函數最值、單調性獲得不等式結論構造函數步驟小結：運用切線放縮時，力求“腦中有‘形’，心中有‘數’”.變復雜為簡單，證明效果事半功倍。例3.證明：1【過關訓練】3.已知函數

，證明：對任意恒成立.

分析：放縮后再構造xyO1附：幾個常見的“切線不等式”xyO1xyO方法梳理FANGFASHULI四、分段構造函數證明對不等式合理變形導數研究函數最值、單調性獲得不等式結論分段構造函數步驟例4.證明：1小結：根據不等式變量取值范圍的特點，對其進行分類，再利用導數證明。注意分類要做到不重復不遺漏。【過關訓練】4.

分析：分段后再構造方法梳理ZHISHISHULI五、凹凸反轉法證明對不等式合理變形導數研究函數單調性與最值獲得不等式結論構造兩個函數步驟例5.證明：小結：f(x)>0?g(x)>h(x)g(x)min>h(x)max.或者f(x)>0?g(x)+h(x)>0g(x)min+h(x)min>01

f(x)>a?g(x)h(x)>a

g(x)minh(x)min>a.分析：【過關訓練】5.

方法小結基于有界性進行分割,構造兩個函數：（充分不必要條件）f(x)>0?g(x)+h(x)>a

g(x)min+h(x)min>a.

f(x)>a?g(x)h(x)>a

g(x)minh(x)min>a.（注意先證f(x)，g(x)的符號）常見有界函數方法梳理FANGFASHULI六、隱零點法證明例6.證明：二階求導導函數隱零點的存在性獲得不等式結論構造函數步驟整體代換1小結：構造函數求導發現導函數有零點，因為零點不可求，故稱之為隱零點。一要證明零點的存在，二要利用零點方程進行整體代換所有的對數與指數，函數的最值就可以表示成隱零點的函數。【過關訓練】6.分析：一定零點二代換變形構造函數證明1切線放縮法證明31.導數證明單變量不等式有哪些方法呢？分段討論法證明4凹凸反轉法證明5隱零點法證明6單變量不等式換元構造函數證明22課堂總結KETANGZONGJIE課堂總結KETANGZONGJIE2變形移項、乘除、平方、開方對數單身狗指數找朋友整體換元切線放縮化歸思想函數思想構造