第3項、……、第n項、…… 數列的一般形式可以寫成：a1、a2、a3、……、an、……；其中an是數列的第n項；這數列可以簡記作{an（n為正整數 如果一個數列{an}，從第2項起的每一項an與它的前一項an1的差等于同一個常數，這個 等差數列的通 ：等差數列{an}中，第n項首項（項數1）公差，ana1n1ddna1d（n為正整數 ：項數（末項首項）公差1，即n(ana1)d1（n為正整數：等差數列{an中，和（首項末項）項數2S(a1annannn1ddn2adn（n為正整數n212212 a1a2……anSna1an，Snn2 2十一、123n1nnn1)（n為正整數2十二、1352n32n1n2（n為正整數十三、123321n2（n為正整數【例16、10、14、1822、……；數列二：12、12、34、5、……、99、100數列三：124、8、16、32、649、8、7、6、54、32、12010201020102010201020102010數列六：1、0、1、0、1、0、1、0、1數列七：1124、37、……、179、1922054因為2112a2a1a3a2；所以數列二不是等差數列；2142a2a1a3a2；所以數列三不是等差數列；數列四是等差數列，公差為1；數列五是等差數列，公差為0因為0110a2a1a3a2；所以數列六不是等差數列；假設數列七是等差數列，則公差為241113，【例2 2k 命題一：如果數列{a}為等差數列，那么數列{a }為等差數列（n,kZ）命題二：如果數列{a}為等差數列，那么數列{a}為等差數列（n, 2k 2k 命題三：如果數列{a}中 }、{a}均為等差數列，那么數列{a}為等差數列（ 2k mk命題四：如果數列{a}為等差數列，那么數列{a }為等差數列（n,k,m,lZ，m、l為常數，且m mk【分析】命題一為真命題。若等差數列{an的公差為d，則數列{a2k1是公差為2d命題二為真命題。若等差數列{an的公差為d，則數列{a2k是公差為2d等差數列。命題三為假命題。數列2、14、3、6、5，奇數項為24、6是等差數列，偶數項為1、3、5是等差數列，但原數列不是等差數列。命題四為真命題。若等差數列{an的公差為d，則數列{a2k}是公差為md等差數列。【例3】（2008年第六屆“走進美妙的數學花園”中國青少年數學 級初賽）(123 200720082007 321)2008。【分析】原式5.5515.1520.565【例5】計算

2 31990 1990【考點】等差數列計算 【難度】3 【解析】原式123 (11990)199029952【例6】計算：200920082007 200920082007200900……01【例7】計算：1000999998997 。【分析】（方法一）100099999822103300 （方法二）1000999998(998995……104101)2（方法三）1000999998100019971 2【例8（1995年吉林省“金翅杯”競賽）5個連續自然數的和是35，求這5【分析】（方法一）設這5n（nN這5個連續自然數的和為n(n1)(n2)(n3) 所以這5個連續自然數中最小的數n(3510)55；所以這5個連續自然數從小到大依次為5、6、7、8、9（方法二）中間數（從小到大第3個數）為3557所以這5個連續自然數從小到大依次為5、6、7、8、9【分析】中間數（從小到大第9個數）為200617所以這17個連續偶數中最小的是118912102【例10】（1）72個數與第6個數的和是36（【分析】（1）中間數（從小到大第4個數）為36218；所以最小的偶數為18412（2）226162【例11】在1~100這100個自然數中，所有能被9【分析】在1~100這100個自然數中，能被9整除的自然數依次為9、1827、……、98、9991827……9899即在1~100這100個自然數中，所有能被9整除的自然數的和為594【例12】在不大于100自然數中，所有不能被9【分析】在不大于100的自然書中，能被9整除的自然數依次為0、9、1827、……、98、99091827……980123……98所以在不大于100的自然數中，所有不能被9整除的自然數的和為50505944456【例13】在1~2002004整除或被11【分析】在1~200200個自然數中，能被4整除的自然數依次為4、8、12、……、1962004812……196200在1~200200個自然數中，能被11整除的自然數依次為1122、33、……、187、19811223……187在1~200200個自然數中，既能被4整除又能被11即能被[4,114444、88、132、1764488132176(44176)在1~200200個自然數中，所有能被4整除或能被11 8814406541【例14】求1~100這1004以后能被5【分析】（方法一）4之后能被5整除的數也就是被5除余11~100的自然數被5除余1的數依次為1、6、11、……、91、這是一個首項為1，公差為5所以1~100這1004以后能被5整除的數之和為970（方法二）5~104所有自然數能被5整除依次為5、10、15、……、95、51015……95100所以1~100這1004以后能被5整除的數之和為1050204970【例】有一數列1、 、1、2007、2006、1、2005、2004、1、……，從第3個數起， 【分析】將這個數列分組如下（1、 、 （1（1，……20093 2，最后一個數為第670組的第2每一組的第2個數構成公差為2的等差數列，末項為20096701(2)這個數列前 項的和為(6712009)

2或每一組的第1、3個數的和等于這組的第2前670組的和為(20092007這個數列前2009項的和為 1794930，，n（nZnn(nnn(n2n(n1)1300n(n1)nn(n12600n(n 因為50512550、51522652n50因為4952 2650；所以n≥50n50所以這個多加一次的數為130050501)252，，n（nZnn(nnn(n2n(n1)n≤2009n(n n(n14018n(n因為62633906、63644032n63因為62633906、63644032n63；n63。63631)200972【例18】盒子里放有3只乒乓球，一位魔術師第1次從盒子里拿出一只球，將它變成3【分析】一只球變成3只球，實際上多了2第121222只球，……，第10次多了210最后盒子里有32122……210312……1023(1101021132【例19】（2008年第七屆“小機靈杯”數學競賽三年級初賽）有若干根長度相等的火柴棒，把這些火柴擺成如圖所示的圖形。照這樣擺下去，到第10行為止一共用了 【分析】從上往下看看，分別數一下每次用了多少根火柴棒，來找出規律：到第1行為止需要112根豎放的火柴；到第2行為止需要12223到第3行為止需要1233234到第10行為止需要123 91010(110)101065根橫放的火柴223 1011(21110652所以到第10行為止一共用了6565130到第n行為止需要123 (n1)nn(1n)nnn(n3)根橫放的火柴 23 nn1[2n1)]nn(n3 nn(n3)n(n3)n(n3根火柴（nZ 【例20】（2008年“數學解題能力展示”讀者評選活動中年級組復賽）將一些同樣大小的正方十次，那么它用了正方形紙片個。 圖 【分析】從上往下看或從左往右看，分別數一下每次用的正方形紙片的個數，來找出規律：第1次用了正方形紙片1個，第2次用了正方形紙片131個，第3次用了正方形紙片13531個，……，第103151719171513119753第n次用了正方形紙片135 (2n1) 5312n22n1個（nZ共有8層，請問最大三角形的面積是多少平方厘米？整個圖形由多少根火柴棍擺成？【分析】從上往下看看，分別數一下前幾層有多少個三角形，用了多少根火柴棒，來找出規律：最上面1層有1個三角形，用了21根火柴棒；最上面2層有13個三角形，用了(2412最上面3層有135個三角形，用了(246123最上面8層有13579111315[(15121]28264用了(246810121416123567(12356783(18831082最上面n層有13 (2n1)n2個三角形用最大三角形的面積是6412768平方厘米；整個圖形由108【例22】（2008年第七屆“小機靈杯”數學競賽四年級初賽）有若干根長度相等的火柴棒，把這些火柴棒擺成下面的圖形，照這樣擺下去，擺到第10個圖，一共用了 【分析】從上往下看看，分別數一下每次用了多少根火柴棒，來找出規律：擺到第1個圖需要121個小線段；擺到第2個圖需要12343擺到第3個圖需要1234565擺到第10個圖需要123 2019擺到第n個圖需要123 (2n1)2n 個小線段（nZ角陣：第1列為1；第2列為2、3、4；第3列為5、6、7、8、9；……。每一列比前一列多“ …526137489…【分析】第1列的最后一個數為1122列的最后一個數為422、第3列的最后一個數為932、……、第nn2；第1列有11212列有3221個數、第3列有5321個數、……第n列有n21個數；所以在以1nn2[(n2112n2n1在以1開頭的行中，第2008個數是20082 4030057【例24】正整數數列按圖中排成一個數陣，自上至下第1行有12335個（1少？（2）2009排在第幾行第幾列？123567810 1415【分析】前9行一共有135 (921)9281個數，它們的和為(181)8133212前10行一共有135 (1021)102100個數，它們的和為(1100)10050502自上至下第10行中所有數的和為505033211729前n行一共有135 (n21)n2個數（nZ因為4421936，4522025，2009193673；所以200945行第73第1第2第3第4第5第1125第2436第3987第4第5m為數表中的一個數（mZmn2mn行、第1列（nZmn1)21m在第1n列（nZmn2mn（mnZ當(n1)2mn2mnn列（mnZnn

[(n1)21]2

（nZ當(n

m

[(n1)21]2

mn當[(n1)212

mn2mn行（mnZ當(n

m

[(n1)21]2

mnmn1)2當[(n1)212

mn2mnn2m1列（mnZ2 2 ，(4421)

∵1981≤2009≤2025∴2009在45行、第2009117列與第80列交錯位置上的數是 1→2↓9↑→↓4↓←38↑↓5→6→7↓↓←←←→→→2行、第1224，第4行、第1列上的數為4216第80行、第1列上的數為802所以，第80行、第80列交錯位置上的數為 08016321。當n2k1時（kN，第1行、第n列上的數為n2；nnn2n1；n2k時（kNn行、第1列上的數為n2nnn2n1 2468 100 【分析】（方法一）2468……100(2100[(100221]2（方法二）2468……1001234……50(150)[(501)11]22 （2005年第三屆小學“希望杯 12 891098 21 12……891098……21102 （1）5個連續自然數的和是280，求這5自然數的中間及最小自然數（2）172295（3）6個連續偶數的和為54，求這6【分析】（1）中間數（第3個數）為2805最小自然數為56311（2（方法一）設這17n（nN這17nn2n4……n3217n2722295；所以這17個連續自然數中最大的數為n(2295272)17151。（方法二）中間數（從小到大第9個數）為229517135所以這17個連續自然數中最大的數1351792151（3（方法一）設這6n（nN這6nn2n4n6n8n106n3054；所以這6n543064；所以這64、6、8、10、12、14（方法二）2個數（從小到大第34個數）的和為5462182個數分別為8、10所以這64、6、8、10、12、14 所以7個盒子中至少有1234567(17728227【練習5 （1（1997年市數學競賽）6個連續自然數的和是63，求這6個數（2（2006年第四屆小學“希望杯”數學邀請賽）4個連續奇數之和是2008，（3（市第四屆“迎春杯”決賽）把1988表示成28個連續偶數的和，那么其中最大的【分析】（1（方法一）設這6n（nN這6nn1n2n3n4n56n1563；所以這6n(6315)68；所以這6個連續自然數從小到大依次為8、9、10、11、12、13（方法二）中間兩個數的和為6362212個數分別為10、所以這6個連續自然數從小到大依次為8、9、10、11、12、13（2（方法一）設這4n（nZ4nn2n4n64n1220084n2008124499（方法二）2個數（2、3個數）的和為20084210042個數分別為501、503；所以這4個連續奇數中最小的數499（3（方法一）28n（nZ28nn2n4……n52n5428n7561988；（方法二）2個數的和為19882821422個數（從小到大第14、15個數）分別為70、7228個連續偶數中最大的數702814298或722815298 （1（第七屆“杯”邀請賽）3個連續奇數的和比其中最小的數多28，這3個數中最（，3個數與第742，這7【分析】（1）328，即相鄰228所以這3個數中最大的是(282215（2（方法一）第7個數比第3個數大(7328第3個數為(428217，第7個數為4217或第7個數為(428225，第3個數為422517所以這7個連續的奇數分別為13、15、17、19212325（方法二）第542221所以這7個連續的奇數分別為13、15、17、19212325 8個人的各不相同，之和是109歲，其中最大的人是18歲，請問最小的人【分析】只要是其他人的盡可能大，就能使最小數盡可能小因為最大是18歲，所以余下的6個人的依次取17、16、15、14、13、所以，最小的人至少為109(18171615 歲 求1~100這100個自然數中，所有加4以后能被5整除的數之和【分析】（方法一）4之后能被5整除的數也就是被5除余1~100的自然數被5除余1的數依次為1、6、11、……、91、這是一個首項為1，公差為566所以1~100這1004以后能被5整除的數之和為970（方法二）5~104所有自然數能被5整除依次為5、10、15、……、95、51015……95100所以1~100這1004以后能被5整除的數之和為1050204970【練習9】（2004年第二屆“走進美妙的數學花園”中國青少年數學趣味數學解題技能展示大賽四年級）25個同樣大小的等邊三角形拼成了大等邊三角形，在圖中每個結點處都標置的數分別是100200、300。求所有結點上數的總和。

從100到300200200所以這12345621200所有結點上數的總和為200214200 （1999年江蘇省南通市小學數學競賽試題）312，1、2是連續的自然數。10以內的9個【分析】第1類：將奇數拆成相鄰2312、523、734、945第2類：將3的倍數拆成相鄰36123、9234因為123410，所以不可能將1~9這9個自然數拆成4個或43 8567892

，有3【補充2】設沿路每隔3米立一根樁共立2009根樁全部樁都放在樁位要把它們搬到各個樁位，但每次只能搬運一根請問總共要走多少路（最初自樁出發最后又返回原來位置的距離）？從樁開始，把所有樁搬到各個樁位，再返回到樁，一共走了{616263米【補充3】（1996年第一屆漢城國際數學競賽小學組第一試）有奇數塊石頭，沿直線每隔1一塊。人用這樣的辦法搬石頭，除了中間的石頭以外，把其余的石頭向中間集中，走了300米。問：一【分析】設一共放了2n1塊石頭（nNnk塊石頭（1knkN，需要走2k從中間石頭開始把所有石頭集中在當中一共走了(212223… 從最右邊的石頭開始，把所有石頭集中在當中一共走了2n(n1)nn(2n1)米；因為300223521225n122n12525 （第七屆“杯”邀請賽）7個連續的自然數，最大的2個數的和比最小的數大1997，【分析】最大的數比最小的數大(7116，所以第2大的數（從小到大第6數）為19976所以中間數（4數）為199164119892大的數比最小的數大(6115，所以最大的數（從小到大第7數）為199751992所以中間數（4數）為1992741 個數的積的差是114，那么這322最大的數與最小的數的差為21142573個數中最小的數為57156 （2004年第十三屆“杯”邀請賽/《小學生數學報》邀請賽）有3個連續的兩位自然數，它們的和也是兩位自然數，并且和是23的倍數，這3個自然數分別是多少？3個連續的兩位自然數的和為中間數的3倍，即為3又因為這323的倍數；[32369這3個連續的兩位自然數的和為兩位自然數；所以這3個連續的兩位自