專題31特殊平行四邊形考點1：菱形的性質與判定1．（2021·安徽中考真題）如圖，在菱形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過菱形ABCD的對稱中心O分別作邊AB，BC的垂線，交各邊于點E，F，G，H，則四邊形EFGH的周長為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的長，即可求出該四邊形的周長．【詳解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的對邊平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，因為O點是菱形ABCD的對稱中心，∴O點到各邊的距離相等，即OE=OF=OG=OH，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四邊形EFGH是矩形；設OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，SKIPIF1<0，如圖，連接AC，則AC經過點O，可得三角形ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=SKIPIF1<0，∴x=OE=SKIPIF1<0∴四邊形EFGH的周長為EF+FG+GH+HE=SKIPIF1<0,故選A．

2．（2021·陜西中考真題）如圖，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設AC與BD的交點為O，由題意易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而可得△ABC是等邊三角形，SKIPIF1<0，然后問題可求解．【詳解】解：設AC與BD的交點為O，如圖所示：∵四邊形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴△ABC是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；故選D．3．（2021·四川涼山彝族自治州·中考真題）菱形SKIPIF1<0中，對角線SKIPIF1<0，則菱形的高等于___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】過A作AE⊥BC，垂足為E，根據菱形的性質求出菱形邊長，再利用菱形的面積公式得到方程，解之可得AE．【詳解】解：如圖，過A作AE⊥BC，垂足為E，即AE為菱形ABCD的高，∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，∴OB=SKIPIF1<0BD=12，OA=SKIPIF1<0AC=5，在Rt△ABO中，AB=BC=SKIPIF1<0=13，∵S菱形ABCD=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：AE=SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．4．（2021·江蘇鎮江·中考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長DA，BC，使得AE＝CF，連接BE，DF．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）連接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，當∠ABE＝°時，四邊形BFDE是菱形．【答案】（1）見解析；（2）當∠ABE＝10°時，四邊形BFDE是菱形【分析】（1）根據平行四邊形的性子和“SAS”可證△ABE≌△CDF；（2）先證明四邊形BFDE是平行四邊形，再通過證明BE＝DE，可得結論．【解析】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∴∠1＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，SKIPIF1<0，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）當∠ABE＝10°時，四邊形BFDE是菱形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF，AE=CF，∴BF=DE，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∵∠1=30°，∠2=20°，∴∠ABD=∠1-∠2=10°，∴∠DBE=20°，∴∠DBE=∠EDB=20°，∴BE=DE，∴平行四邊形BFDE是菱形，故答案為10．5．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，見解析【分析】（1）根據平行四邊形的性質和全等三角形的證明方法證明SKIPIF1<0，則可得到AE＝CF；（2）連接BF，DE，由SKIPIF1<0，得到OE=OF，又AO=CO，所以四邊形AECF是平行四邊形，則根據EF⊥BD可得四邊形BFDE是菱形．【詳解】證明：（1）∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∴OA＝OC，BE∥DF∴∠E＝∠F在△AOE和△COF中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴AE＝CF（2）當EF⊥BD時，四邊形BFDE是菱形，理由如下：如圖：連結BF，DE∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∴OB＝OD∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形∵EF⊥BD，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形6．（2021·浙江嘉興市·中考真題）如圖，在SKIPIF1<0的正方形網格中，網格線的交點稱為格點，SKIPIF1<0在格點上，每一個小正方形的邊長為1．（1）以SKIPIF1<0為邊畫菱形，使菱形的其余兩個頂點都在格點上（畫出一個即可）．（2）計算你所畫菱形的面積．

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）6或8或10（答案不唯一）【分析】（1）根據菱形的定義并結合格點的特征進行作圖；（2）利用菱形面積公式求解．【詳解】解：（1）根據題意，菱形ABCD即為所求

（2）圖1中AC=2，BD=6∴圖1中菱形面積SKIPIF1<0．圖2中，AC=SKIPIF1<0，BD=SKIPIF1<0∴圖2中菱形面積SKIPIF1<0．圖3中，SKIPIF1<0∴圖3菱形面積SKIPIF1<0．考點2：矩形的性質與判定7．（2021·江蘇揚州市·中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0的頂點D、E在SKIPIF1<0上，點F、G分別在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據矩形的性質得到GF∥AB，證明△CGF∽△CAB，可得SKIPIF1<0，證明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=SKIPIF1<0，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．【詳解】解：∵DE=2EF，設EF=x，則DE=2x，∵四邊形DEFG是矩形，∴GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴AD+BE=AB-DE=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵AC=BC，∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，∴△ADG≌△BEF（AAS），∴AD=BE=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，在△BEF中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：x=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），∴EF=SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．8．（2021·山東泰安市·中考真題）如圖，將矩形紙片SKIPIF1<0折疊（SKIPIF1<0），使SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0為折痕，然后將矩形紙片展開鋪在一個平面上，E點不動，將SKIPIF1<0邊折起，使點B落在SKIPIF1<0上的點G處，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據矩形的性質和正方形的性質，證明SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，代入求解即可．【詳解】解：∵四邊形SKIPIF1<0是矩形,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且四邊形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0（折疊，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0對角線，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<09．（2021·湖北十堰市·中考真題）如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為_______.【答案】20．【詳解】∵AB＝5，AD＝12，∴根據矩形的性質和勾股定理，得AC＝13.∵BO為Rｔ△ABC斜邊上的中線∴BO＝6.5∵O是AC的中點，M是AD的中點，∴OM是△ACD的中位線∴OM＝2.5∴四邊形ABOM的周長為：6.5＋2.5＋6＋5＝20故答案為2010．（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，點C是SKIPIF1<0的中點，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．（1）求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（2）如果SKIPIF1<0，求證：四邊形SKIPIF1<0是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質以及點C是BE的中點，得到AD∥CE，AD=CE，從而證明四邊形ACED是平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質證得DC=AE，從而證明平行四邊形ACED是矩形．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵點C是BE的中點，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴四邊形ACED是矩形．考點3：正方形的性質與判定11．（2021·重慶中考真題）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O做ON⊥OM，交CD于點N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先證明SKIPIF1<0，再證明四邊形MOND的面積等于，SKIPIF1<0的面積，繼而解得正方形的面積，據此解題．【詳解】解：在正方形ABCD中，對角線BD⊥AC，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形MOND的面積是1，SKIPIF1<0SKIPIF1<0正方形ABCD的面積是4，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：C．12．（2021·重慶中考真題）如圖，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，SKIPIF1<0，直角頂點P在正方形ABCD的對角線BD上，點M，N分別在AB和CD邊上，MN與BD交于點O，且點O為MN的中點，則SKIPIF1<0的度數為（）A．60° B．65° C．75° D．80°【答案】C【分析】根據斜邊中線等于斜邊一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度數，即可求出SKIPIF1<0的度數．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°，∵點O為MN的中點∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP，∴∠PMN=∠MPO=30°，∴∠MOB=∠MPO+∠PMN=60°，∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，SKIPIF1<0，故選：C．13．（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，SKIPIF1<0，M是AD邊上的一點，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0沿BM對折至SKIPIF1<0，連接DN，則DN的長是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】延長MN與CD交于點E，連接BE，過點N作SKIPIF1<0，根據折疊的正方形的性質得到SKIPIF