自動控制第九章課件第一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三經典控制理論a.特點研究對象：單輸入、單輸出線性定常系統。解決方法：頻率法、根軌跡法、傳遞函數。非線性系統：相平面法和描述函數法。數學工具：常微分方程、差分方程、拉氏變換、Z變換。b.局限性不能應用于時變系統、多變量系統。不能揭示系統更為深刻的內部特性。第二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三現代控制理論a.特點研究對象：多輸入、多輸出系統，線性、非線性、定常或時變、連續或離散系統。解決方法：狀態空間法（時域方法）。數學工具：線性代數、微分方程組、矩陣理論。b.主要標志1958年，R.E.Kalman采用狀態空間法分析系統，提出能控性、能觀測性、Kalman濾波理論1961年，龐特里亞金極大值原理。1965年，R.Bellman提出了最優控制的動態規劃方法。第三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三現代控制理論以狀態空間為基礎，解決多輸入—多輸出、參變量、非線性、高精度、高性能等控制系統的分析和設計問題。最優控制、最佳濾波、系統辯識、自適應控制等都是這一領域的課題。在現代控制理論的發展中，線性系統理論首先得到研究和發展，已形成較為完整成熟的理論。現代控制理論中的線性系統理論運用狀態空間分析方法描述輸入－狀態—輸出諸變量之間的因果關系，不但反映了系統輸入—輸出的外部特性，而且揭示了系統內部的結構特征，是一種既適用于單輸入—單輸出系統又適用于多輸入—多輸出系統，既可用于線性定常系統又可用于線性時變系統的有效分析和設計。第四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三一、系統數學描述的兩種基本類型我們研究的系統假定具有若干輸入端和輸出端如圖示。

系統的外部變量：輸入向量輸出向量系統的內部變量：系統的數學描述是反映系統變量間因果關系和變換關系的一種數學模型。系統的數學描述通常有兩種基本形式。9-1線性系統的狀態空間描述第五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三1.系統的外部描述其外部數學描述是：n階微分方程及對應的傳遞函數。

微分方程：

傳遞函數：2.系統的內部描述系統的內部描述即狀態空間描述，通常有兩個數學方程組成。

第六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三二、狀態空間描述的幾個基本概念1．狀態所謂狀態，是指系統過去、現在和將來的狀況，是系統信息的集合。2．狀態變量

狀態變量是指能確定系統運動狀態的最少數目的一組變量。3．狀態向量

將狀態變量視作向量的分量，即稱為狀態向量

4．狀態空間

以n個狀態變量作為坐標軸所組成的n維空間。第七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三5．狀態方程由系統的狀態變量構成的一階微分方程組，稱為狀態方程。6．輸出方程在指定系統輸出的情況下，輸出與狀態變量間的函數關系式。7．狀態空間表達式(動態方程)狀態方程與輸出方程的組合，又稱為動態方程。線性連續系統的狀態空間表達式的一般形式為：第八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三

為n維向量，為p維向量，為q維向量，A為n×n矩陣，B為n×p矩陣，C為q×n矩陣，D為q×p矩陣。由于A，B，C，D矩陣完整地表征了系統的動態特性，因此有時把一個確定的系統簡稱為（A，B，C，D）。第九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三三、線性定常連續系統狀態空間表達式的建立建立狀態空間表達式的方法主要有兩種：一是直接根據系統的機理建立相應的微分方程，然后選擇有關的物理量作為狀態變量，從而導出狀態空間表達式；二是由已知的系統其它數學模型經過轉化而得到狀態空間表達式。

1．根據系統機理建立狀態空間表達式

以i(t)作為中間變量，列寫該回路的微分方程第十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(1)設狀態變量則狀態方程為：輸出方程為：寫成矩陣—向量的形式為：簡記為：

第十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(2)設狀態變量，寫成矩陣—向量的形式為：第十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例建立右圖所示機械系統的狀態空間表達式（注：質量塊m的重量已經和彈簧k的初始拉伸相抵消）根據牛頓第二定律即：選擇狀態變量則：第十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三系統的動態方程為系統的結構圖如下第十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三2．由系統微分方程建立狀態空間表達式系統的時域數學模型為輸入—輸出之間的高階微分方程，其一般形式為：系統的時域數學模型為狀態空間表達式，其形式為：如何由系統的高階微分方程建立(轉化為)系統的狀態空間表達式，關鍵問題是選擇系統的狀態變量。(1)系統輸入量中不含導數項

選取n個狀態變量：

第十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三狀態方程：輸出方程：其向量矩陣形式為：

第十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例設系統方程為求狀態空間表達式。解設系統的狀態方程為輸出方程為其向量矩陣形式為：

第十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三首先考察三階系統，其微分方程為選擇狀態變量：其中，待定系數為：2）微分方程中含有輸入信號導數項第十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三于是寫成矩陣形式第十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三系統的狀態圖第二十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三系統的微分方程為：選擇下列n個狀態變量：原則：使狀態方程不含u的導數。第二十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三系統的的狀態方程為

輸出方程為第二十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三3．由系統傳遞函數建立狀態空間表達式設系統的傳遞函數為

應用綜合除法有

(1)串聯分解的情況第二十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三系統的狀態方程為

輸出方程為

其對應的微分方程為：選擇一組狀態變量為：

第二十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三動態方程寫成向量—矩陣形式為：A和B具有以上形狀時，A陣稱為友矩陣，相應的動態方程稱為可控標準型。

第二十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三第二十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三當時，A，B，C均不變，若我們選擇另一組狀態變量時，會得到系統的請注意A，C矩陣的形狀特征，對應的動態方程稱為可觀測標準型。可控標準型與可觀測標準型之間存在對偶關系：

第二十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(2)只含單實極點時的情況傳遞函數可展成部分分式之和：若令狀態變量其反變換結果為

第二十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三展開得

向量-矩陣形式為：第二十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三第三十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三若令狀態變量滿足進行反變換并展開有其向量-矩陣形式為第三十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三第三十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例已知系統傳遞函數為，試求對角型狀態空間表式。解狀態空間表達式為：第三十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(3)含重實極點時的情況

設D(s)可分解為傳遞函數可展成為下列部分分式之和

式中的計算公式（r重極點）：

狀態變量的選取方法與之含單實極點時相同，可得出向量-矩陣形式的動態方程。

第三十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三動態方程：或者

第三十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三四、線性定常系統的線性變換

對系統進行線性變換，便于揭示系統特性及分析和綜合設計，且不會改變系統的性質。1.系統的特征值及其不變性選擇不同的狀態變量便有不同形式的動態方程，若兩組狀態變量之間用一個非奇異矩陣聯系著，則兩組動態方程的矩陣與該非奇異矩陣有確定的關系。(1)等價系統方程

設線性定常系統的動態方程為令，P為非奇異線性變換矩陣，則：第三十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三經過線性變換后系統的狀態方程式為：同一系統選取不同的狀態變量便有不同形式的動態方程，對系統進行線性變換的目的是使矩陣規范化，以便揭示系統特性及分析計算。對系統進行線性變換后并不會改變系統原有的性質，故有等價變換之稱。

第三十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三在進行狀態空間的線性變換中，需要計算矩陣的逆，簡要復習一下逆矩陣的計算。常用的逆矩陣計算方法有計算伴隨矩陣法。

計算式：

P-1=adj(P)/|P|其中adj(P)和|P|分別為矩陣P的伴隨矩陣和行列式。

伴隨矩陣的定義與計算如下：設有矩陣P為第三十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三則其伴隨矩陣為：其中為矩陣P的元素的代數余子式。代數余子式為nn矩陣P去掉第i行第j列余下的n-1行n-1列的行列式值乘以符號。第三十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例計算下述矩陣的逆矩陣。解(1)先計算代數余子式第四十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(2)計算伴隨矩陣(3)計算行列式值(4)計算逆矩陣第四十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例系統狀態空間表達式為線性變換矩陣為求線性變換后系統的狀態方程。解第四十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(2)系統的特征值系統的特征值就是系統矩陣A的特征值。n×n維系統矩陣A的特征值是下列特征方程的根：例求系統系數矩陣的特征值。解

第四十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(3)特征值的性質

①A為n×n方陣時，它的特征方程是

的n次代數方程，有且僅有n個特征值。②物理上存在的系統，A為實常數矩陣時，其特征值或為實數，或為共軛復數對。③同一系統進行非奇異線性變換后，其特征值不變。證明如下：為證明線性變換下特性值的不變性，需證明和的特征多項式相同。注意：乘積的行列式等于各行列式的乘積第四十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三注意到行列式和的乘積等于乘積的行列式，從而這就證明了在線性變換下矩陣A的特征值是不變的。④若A有互異的特征值且向量滿足下列方程式：則稱為特征值相對應的A的特征向量。第四十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三2.將狀態方程化為對角線規范型(1)矩陣A具有任意形式當矩陣A為任意形式的方陣，且有n個互異實數特征值，則由非奇異變換可將其化為對角陣變換矩陣為其中為矩陣A對應于特征值的特征向量。第四十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例將矩陣化為對角形。解矩陣A的特征方程為特征值設對應于的特征向量，則有展開得到第四十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三故得選取，則，于是同理可以算出對應于時的特征向量故變換后的矩陣A為第四十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(2)矩陣A為友矩陣A陣為友矩陣，且有互異實數特征根。則用范德蒙特矩陣P可以將A對角化。

范德蒙特矩陣第四十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例試將下列狀態空間模型變換為對角線規范形解

1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為2.變換矩陣P及其逆陣P-1分別為第五十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三3.計算各矩陣4.系統在新的狀態變量下的狀態空間模型為第五十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(3)矩陣A為任意形式的方陣，若矩陣A具有m重實數特征值，其余為(n-m)個互異實數特征值，但在求解重特征值對應的時，仍有m個獨立特征向量，即每個重特征值對應的獨立特征向量數恰好等于重特征值的重數。這時就同沒有重特征值的情況一樣，仍可將矩陣A化為對角陣。如何檢驗n×n型矩陣A存在m重特征值時，有沒有m個獨立的特征向量?由矩陣理論知道，重特征值對應的矩陣中，只有(n-m)個獨立方程時，m重特征值對應有m個獨立特征向量。第五十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例已知系統的狀態空間描述為求系統的特征值，特征向量以及對角標準型。解系統的特征值設對應的特征向量為第五十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三

設對應重特征值的特征向量為可見對應，只有(n-m)=(3-2)=1個獨立方程，所以有兩個獨立的特征向量。令，則同理令，則

第五十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三所以對應的兩個獨立特征向量為變換后第五十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三于是變換后為對角標準型3.將狀態方程化為約當規范型(1)矩陣A具有任意形式當矩陣A為任意形式的方陣，具有m重實特征值，其余為(n-m)個互異實特征值，但在求解時，只有一個獨立實特征向量，則只能使A化為約當陣J。第五十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三約當標準形為變換矩陣式中是互異特征根對應的實特征向量，算法同上。是廣義特征向量。m行n-m行約當塊第五十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三廣義特征向量滿足或可寫成第五十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例化為約當標準型。解令對應的特征向量為，則第五十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三令對應的廣義特征向量為，由，即對于對應的特征向量，有第六十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三第六十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(2)矩陣A為友矩陣設A陣為友矩陣，具有m重實特征值，其余為(n-m)個互異實特征值，但重根只有一個獨立的特征向量，則能使A化為約當陣J。變換矩陣為第六十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例化為約當標準型。解第六十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三五、線性定常連續系統狀態方程的解建立了系統的數學描述之后，接著而來的是對系統作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系統對給定輸入信號的響應問題，也就是對描述系統的狀態方程和輸出方程的求解問題。定性分析主要包括研究系統的結構性質，如能控性、能觀測性、穩定性等。這里主要是討論用狀態空間模型描述的線性系統的定量分析問題，即狀態空間模型—狀態方程和輸出方程的求解問題。第六十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三1．齊次狀態方程的解在沒有控制作用下，線性定常系統由初始條件引起的運動稱為線性定常系統的自由運動。齊次狀態方程(齊次向量微分方程)為齊次狀態方程通常采用冪級數法和拉普拉斯變換法求解。(1)冪級數法設齊次狀態方程的解是t的向量冪級數，即第六十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三式中，都是n維向量，且。將上式代入方程得到令上式等號兩端的同冪項系數相等定義則第六十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例設某控制系統的狀態方程為

試用冪級數法求解該方程。解第六十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(2)拉普拉斯變換法將式取拉氏變換，有

給出了的閉合形式。

第六十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例設系統狀態方程為試用拉氏變換法求解。解

狀態方程的解為：

第六十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三2．狀態轉移矩陣的運算性質狀態轉移矩陣具有如下運算性質：(1)

(2)(3)(4)(5)第七十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(6)(7)(8)(9)引入非奇異變換后，(10)兩種常見的狀態轉移矩陣第七十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例設A為2×2的常數矩陣，對于系統的狀態方程試求:(1)系統的狀態轉移矩陣；

(2)系統矩陣A。解(1)系統齊次方程解為

，因此應有

第七十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三解方程組得(2)對兩邊求導，可得到第七十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三3.非齊次狀態方程的解非齊次狀態方程當初始條件為的解為當初始條件為的解為

采用積分法證明：兩端同左乘

第七十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例設系統運動方程為，式中a，b，c均為實數，試求：(1)求系統對角型動態方程；(2)求系統狀態轉移矩陣；(3)當輸入函數u(t)=1(t)時，求系統狀態方程的解。解

(1)求系統對角型動態方程

(2)求系統狀態轉移矩陣第七十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(3)當輸入函數u(t)=1(t)時，求系統狀態方程的解第七十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三六、傳遞函數矩陣1．定義初始條件為零時，輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換式之間的傳遞關系稱為傳遞函數矩陣，簡稱傳遞矩陣。2．表達式

設系統的動態方程為令初始條件為零，求拉氏變換式則系統傳遞矩陣表達式為：

第七十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三其展開式

其中表示第i個輸出對第j個輸入之間的傳遞函數。系統的狀態空間表達式不具有唯一性，選擇不同的狀態變量，便會有不同的狀態空間表達式，但傳遞函數矩陣是不變的。

第七十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例線性定常系統狀態空間表達式為求系統的傳遞函數矩陣。解第七十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三七、線性離散系統狀態空間表達式的建立及其解1．由脈沖傳遞函數建立動態方程單輸入-單輸出線性定常離散系統脈沖傳遞函數的一般形式為上式與連續系統的傳遞函數在形式上相同，故連續系統動態方程的建立方法可用于離散系統。

第八十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三采用串聯分解，可以得到動態方程為簡記為離散系統狀態方程描述了(k+1)T時刻的狀態與kT時刻的狀態及輸入之間的關系；其輸出方程描述了kT時刻的輸出量與kT時刻的狀態及輸入量之間的關系。第八十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三2．線性定常連續系統的離散化

無論是采用數字控制裝置對連續時間系統作實時控制，還是采用數字計算機分析連續時間系統的運動行為，都會遇到把連續時間系統化為等價離散時間系統的問題。這類問題為連續時間系統的時間離散化。線性連續時間系統狀態方程離散化的實質是將矩陣微分方程化為矩陣差分方程，它是描述多輸入多輸出離散時間系統的一種方便的數學模型。

第八十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三

所謂連續線性系統的時間離散化問題，就是基于一定的采樣方式和保持方式，由系統的連續時間狀態空間描述導出相應的離散時間狀態空間描述，并對兩者的系數矩陣建立對應的關系式。線性定常連續系統的狀態方程為第八十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三令，則令，則若記

引入新的變量置換積分下限積分上限上式可化簡為

第八十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三離散化的狀態方程為離散化的輸出方程為式中與連續狀態轉移矩陣的關系為例試將狀態方程離散化解第八十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三3．線性離散動態方程的解求解離散系統運動的方法主要有z變換法和遞推法，前者只適用于線性定常系統，而后者對非線性系統、時變系統都適用，且特別適合計算機計算。下面用遞推法求解系統響應。離散系統狀態方程為令上式中的可以得到時刻的狀態，即第八十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三對方程系統解為

第八十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三可控性和可觀測性概念，是卡爾曼于20世紀60年代首先提出的，是用狀態空間描述系統引伸出來的新概念，在現代控制理論中起著重要的作用。它不僅是研究線性系統控制問題必不可少的重要概念，而且對于許多最優控制、最優估計和自適應控制問題，也是常用到的概念之一。可控性、可觀測性與穩定性是現代控制系統的三大基本特性。可控性：u(t)x(t)可觀測性：y(t)x(t)

9-2線性系統的可控性和可觀測性第八十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例給定系統的狀態空間描述

解展開

系統可控、不可觀測例橋式電路解取i和作為狀態變量,u—輸入,—輸出。

u只能控制i。

系統不可控，不可觀測

第八十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三一、可控性定義線性連續系統的可控性的定義為：若存在一個無約束的控制向量u(t)，能在有限時間間隔內，將系統任意的初態狀態轉移到任意終端狀態，則稱該系統是狀態完全可控的，簡稱系統是可控的或可控系統。二、可觀測性定義線性連續系統的狀態可觀測性的定義為：已知輸入u(t)及有限時間間隔內測量到的輸出y(t)，能唯一確定初始狀態，則稱系統是完全可觀測的，簡稱系統可觀測。第九十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三三、線性定常連續系統的可控性判據1．凱萊—哈密頓定理設n階矩陣A的特征多項式為

則A滿足其特征方程，即稱之為凱萊—哈密頓定理。推論1.矩陣A的k(k≥n)次冪，可表為A的(n-1)階多項式，即：推論2.矩陣指數可表為A的(n-1)階多項式，即：第九十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三2．狀態可控性判據的第一種形式（秩判據）設狀態方程為終態解為設初始時刻于是有

第九十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三記為系統可控性矩陣。根據解存在定理，矩陣S的秩為n時，方程組才有解。于是系統狀態可控的充分必要條件是

第九十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例設系統狀態方程為：

試判別其狀態的可控性。解

系統可控

第九十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例設系統狀態方程為：試判別其狀態的可控性。解顯見S矩陣的第二、三行元素絕對值相同系統不可控。第九十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三3．狀態可控性判據的第二種形式當系統矩陣A已化成對角陣或約當陣時，由可控性矩陣能導出更簡潔直觀的可控性判據。1)A陣為對角陣引例設二階系數A、b矩陣為其可控性矩陣的行列式為

時系統可控當A有相異特征值時，應存在意為A陣對角化且有相異元素時，只需根據輸入矩陣沒有全零行即可判斷系統可控。

第九十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三設n階系統狀態方程為A為對角陣時的可控性判據又可表為：A為對角陣且元素各異時，輸入矩陣B不存在全零行。當A為對角陣且含有相同元素時，上述判據不適用，應根據可控性矩陣的秩來判斷。第九十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三2)A陣為約當陣又設二階系數A、b矩陣為可控性矩陣S的行列式為時系統可控，于是要求：即當A陣約當化且相同特征值分布在一個約當塊時，只需根據輸入矩陣中與約當塊最后一行所對應的行不是全零行，即可判斷系統可控，與輸入矩陣中的其它行是否為零行是無關的。第九十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三設n階系統狀態方程為

A陣約當化時的可控性判據又可表為：輸入矩陣中與約當塊最后一行所對應的行不是全零行（與約當塊其它行所對應的行允許是全零行）；輸入矩陣中與相異特征值所對應的行不是全零行。當A陣的相同特征值分布在兩個或更多個約當塊時，以上判據不適用，也應根據可控性矩陣的秩來判斷。第九十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例下列系統是可控的，試自行說明。

第一百頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例下列系統是不可控的，試自行說明。

第一百零一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三4．可控標準型問題一個單輸入系統，如果其A、B陣具有如下標準形式則系統一定可控。

通過驗證可控性矩陣的秩即可證明以上結論的正確性。

第一百零二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三5．輸出可控性概念線性定常系統的狀態空間表達式為連續系統的輸出可控性定義為：如果存在一個無約束的控制向量，在有限的時間間隔內，使任意給定的初始輸出能夠轉移到任意最終輸出，那么稱這個系統是輸出完全可控的。系統輸出可控的充要條件為：當且僅當維輸出可控性矩陣的秩等于q時，系統為輸出可控的。第一百零三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例設系統動態方程為試判別其狀態的可控性和輸出可控性。解

系統狀態不可控系統輸出可控第一百零四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三四、線性定常連續系統的可觀測性判據1．狀態可觀測性判據的第一種形式（秩判據）設多輸入-多輸出連續系統的動態方程為其輸出向量為上式表明，在時間內，根據觀測到的輸出量y(t)，唯一地確定系統狀態向量x(0)的充分和必要條件是x(0)的系數矩陣可逆。第一百零五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三記為系統可觀測性矩陣

系統可觀測的充分必要條件是：或例設系統動態方程如下，判別系統的可觀測性。解系統是可觀測的

第一百零六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例設系統動態方程如下，試判別系統的可觀測性和可控性。解判別系統的可觀測性判別系統的可控性第一百零七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三2．狀態可觀測性判據的第二種形式當系統矩陣A已化成對角陣或約當陣時，由可觀測性矩陣能導出更簡捷直觀的可觀測性判據。(1)A為對角陣時的可觀測性判據引例設二階系統動態方程中A、C分別為

時系統狀態可觀測，于是要求：當對角陣有相異特征值時，應存在，即只需根據輸出矩陣中沒有全零列便可判斷系統可觀測。

第一百零八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三

以上判斷方法可推廣到A陣對角化n階系統。設系統動態方程為狀態變量間解耦，輸出解為A為對角陣時可觀測判據又可表為：A為對角陣且元素各異時，輸出矩陣C不存在全零列。

第一百零九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(2)A為約當陣時的可觀測性判據引例設二階系統動態方程中A、C分別為只要，系統便可觀測，與無關，即為A陣約當化且相同特征值分布在一個約當塊內時，只需根據輸出矩陣中與約當塊最前一列所對應的列不是全零列，即可判斷系統可觀測，與輸出矩陣中的其它列是否為全零列無關。第一百一十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三以上判斷方法可推廣到A陣對角化n階系統。設系統動態方程為可觀測判據又可表為：輸出矩陣中與約當塊最前一列對應的列不是全零列；輸出矩陣中與相異特征值所對應的列不是全零列。

第一百一十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例下列系統可觀測例下列系統不可觀測第一百一十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三3．可觀測標準型問題一個單輸入系統，如果其A、C陣具有如下標準形式則系統一定可觀測。通過驗證可觀測矩陣的秩即可證明以上結論的正確性。第一百一十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三五、線性離散系統的可控性和可觀測性1．線性離散定常系統的可控性判據線性定常離散系統狀態可控性定義為：在有限時間間隔內，存在無約束的階梯控制序列能使系統從任意初態轉移至任意終態，則稱該系統狀態完全可控，簡稱可控。線性定常離散系統狀態空間表達式為線性定常離散系統狀態可控的充分必要條件是可控性矩陣滿秩，即。

第一百一十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三2．線性離散定常系統的可觀測性判據線性離散系統的狀態可觀測定義為：已知輸入向量序列及有限采樣周期內測量到的輸出向量序列，能唯一確定任意初始狀態向量，則稱系統是完全可觀測的，簡稱系統可觀測。線性定常離散系統狀態可觀測的充分必要條件是可觀測性矩陣滿秩，即

第一百一十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三六、可控性與可觀測性的對偶關系1.線性系統的對偶關系線性系統1、2如下：輸入r維，輸出m維，輸入m維，輸出r維，如果兩系統滿足如下關系：則稱兩系統是互為對偶的。第一百一十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三2.對偶原理設和是互為對偶的兩個系統，若是狀態完全可控的(或完全可觀的)，則是完全可觀的(完全可控的)。利用對偶原理，可以把對系統可控性分析轉化為對其對偶系統可觀測性的分析。從而溝通了控制問題和估計問題之間的關系。第一百一十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例這個系統動態方程為可控標準形，系統可控。其對偶系統

系統完全可觀測第一百一十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三穩定性是控制系統的重要性能，也是系統能夠正常工作的首要條件。控制系統在實際運行過程中，總會受到外界和內部一些因素的擾動，例如負載和能源的波動、系統參數的變化、環境條件的改變等。如果系統不穩定，就會在任何微小的擾動作用下偏離原來的平衡狀態，并隨時間的推移而發散。因此，如何分析系統的穩定性并提出保證系統穩定的措施，是自動控制理論的基本任務之一。9-3李雅普諾夫穩定性分析第一百一十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三在經典控制理論中給出的穩定性的概念是：如果在擾動作用下系統偏離了原來的平衡狀態，當擾動消失后，系統能夠以足夠的準確度恢復到原來的平衡狀態，則系統是穩定的。否則，系統不穩定。經典控制理論判穩方法：

勞斯判據、赫爾維茨判據、根軌跡法、奈奎斯特判據、對數頻率判據。適用范圍：單輸入-單輸出線性定常系統。經典控制理論的判穩方法無法滿足以多變量、非線性、時變為特征的現代控制系統對穩定性分析的要求。在解決這類系統的穩定性方面，最通用的方法還是基于李雅普諾夫第二法而得到的一些穩定性的理論。第一百二十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三

1892年，俄國學者李雅普諾夫建立了基于狀態空間描述的穩定性概念。提出了依賴于線性系統微分方程的解來判斷穩定性的第一方法(稱為間接法)和利用經驗和技巧來構造李雅普諾夫函數藉以判斷穩定性的第二方法(稱為直接法)。李雅普諾夫提出的穩定性理論是確定系統穩定性的更一般的理論，在現代控制系統的分析與設計中，得到了廣泛的應用與發展。第一百二十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三穩定性是系統的重要特性，是系統正常工作的必要條件。描述系統的穩定性有兩種方法：

外部穩定性：通過系統的輸入—輸出關系來描述系統的穩定性。

內部穩定性：通過零輸入下的狀態運動的響應來描述系統的穩定性。（本章研究重點）第一百二十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三本章主要討論系統的內部穩定性（特別是著重介紹在穩定性分析中最為重要和應用最廣的李雅普諾夫方法），在研究運動的內部穩定性時，為體現出系統自身結構的特點，常限于研究沒有外部輸入作用時的系統。也就是說內部穩定性表現為系統的零輸入響應，即在輸入恒為零時，系統的狀態演變的趨勢。李雅普諾夫穩定性理論是確定系統穩定性的更一般性理論，不僅適用于線性定常系統，而且適用于非線性、時變系統。

從工程上來看，系統的李雅普諾夫穩定性是指，在系統的工作過程中，如果受到長時間起作用的初始擾動時，經過“足夠長”的時間以后，系統恢復到平衡狀態的能力。第一百二十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三李雅普諾夫第一法（間接法）：利用線性系統微分方程的解來判斷系統穩定性。由于間接法需要解系統微分方程，并非易事，所以間接法的應用受到了很大的限制。李雅普諾夫第二法（直接法）：先利用經驗和技巧來構造李亞普諾夫函數，再利用李雅普諾夫函數來判斷系統穩定性。直接法不需解系統微分方程，給判斷系統穩定性帶來極大方便，獲得廣泛應用。第一百二十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三一、李雅普諾夫意義下的穩定性設非線性時變系統的狀態方程為

設在給定初始條件下，上式有唯一解當時，1.平衡狀態及其穩定性李雅普諾夫關于穩定性的研究均針對平衡狀態而言。由描述的系統中，對所有t總存在則稱為系統的平衡狀態或平衡點。

若已知狀態方程，令，所求得的解X便是平衡狀態。第一百二十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例系統方程為：令

可以推出：對于任意孤立的平衡狀態總可以經過適當的坐標變換，把它變換到狀態空間的原點，因此常用的連續系統的平衡狀態表達式為：第一百二十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三2．李雅普諾夫意義下的穩定性主要研究平衡狀態位于狀態空間原點（即零狀態）的穩定性問題。應用范數表示以平衡狀態為圓心，以R為半徑的球域時，可以寫成。稱之為歐幾里德范數(歐氏范數)。它等于：它代表向量的長度，即表示狀態空間中

點至點之間的距離的尺度。例如：

第一百二十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三以向量的范數大小說明系統穩定性的含義。設對應于系統的初始條件可以畫出一個球域，即系統的初始狀態位于以平衡狀態為球心，半徑為δ的閉球域內，它的范數為：若能使系統方程的解在的過程中，都位于以為球心，任意規定的半徑的閉球域內，即則稱該是穩定的，通常稱為李雅普諾夫意義下的穩定性。只要δ與無關，這種平衡狀態稱為一致穩定的平衡狀態。第一百二十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三第一百二十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三3．漸近穩定性若平衡狀態是李雅普諾夫意義下的穩定，并且從球域出發的運動軌跡在時，不僅不會超出之外，而且最終收斂于，則稱平衡狀態是漸近穩定的。即：若δ與無關，則稱平衡狀態是一致漸近穩定。

第一百三十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三第一百三十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三4．大范圍內漸近穩定性對所有的狀態，即狀態空間的所有的點，如果從這些狀態出發的軌跡都保持漸近穩定性，則稱平衡狀態是大范圍漸近穩定（全局穩定）。即：

大范圍漸近穩定的必要條件：在整個狀態空間中只有一個平衡狀態。(1)線性系統：如果它是漸近穩定的，必是也是大范圍漸近穩定性(線性系統穩定性與初始條件的大小無關)。(2)非線性系統：非線性系統的穩定性一般與初始條件的大小密切相關，通常只能在小范圍內穩定。(3)當δ與無關時，則稱大范圍一致漸近穩定。第一百三十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三5．不穩定性不論δ取得得多么小，只要在內有一條軌跡跨出，則稱此平衡狀態是不穩定的。線性系統的平衡狀態不穩定，表征系統不穩定。非線性系統的平衡狀態不穩定，只說明存在局部發散的軌跡，至于是否趨于無窮遠，要看域外是否存在其它平衡狀態，若存在極限環，則系統仍是李亞普諾夫意義下的穩定。第一百三十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三第一百三十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三xex0x1x2xe李雅普諾夫意義下穩定xex0x1x2xe漸近穩定xex0x1x2xe全局漸近穩定xex0x1x2xe不穩定第一百三十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三注意：按李雅普諾夫意義下的穩定性定義，當系統作不衰減的振蕩運動時，將在平面描繪出一條封閉曲線，只要不超過，則認為是穩定的，例如線性系統的無阻尼自由振蕩和非線性系統的穩定極限環，這同經典控制理論中的穩定性定義是有差異的。經典控制理論的穩定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩定。二、李雅普諾夫穩定性定理

1892年，A.M.Lyapunov提出了兩種方法（稱為第一法和第二法），用于確定由微分方程描述的動力學系統的穩定性。李雅普諾夫第一法包括了利用微分方程顯式解進行系統分析的所有步驟，也稱為間接法。第一百三十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三李雅普諾夫第二法不需求出微分方程的解，也就是說，采用Lyapunov第二法，可以在不求出狀態方程解的條件下確定系統的穩定性。第二法也稱為直接法。(一)李雅普諾夫第一法（間接法）李氏第一法是利用狀態方程解的特性來判斷系統穩定性的方法，又稱間接法。它適用于線性定常、線性時變系統及非線性函數可線性化的情況。1．線性定常系統穩定性的特征值判據

系統漸近穩定的充要條件是：系統矩陣A的全部特征值位于復平面左半部。即

第一百三十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例1試判斷系統的穩定性。解

系統的狀態是穩定的，其輸出必然是穩定的。第一百三十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例2已知系統試判斷系統的穩定性。解

第一百三十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三2．非線性系統的穩定性分析假定非線性系統在平衡狀態附近可展開成臺勞級數，可線性化的情況。此時，可用線性化系統的特征值判據判斷非線性系統的平衡狀態處的穩定性。設非線性系統狀態方程：在平衡狀態附近存在各階偏導數，于是：

左式為向量函數的雅可比矩陣第一百四十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三令則線性化系統方程為：結論：1)若，則非線性系統在處是漸近穩定的，與無關。2)若，則非線性系統在處不穩定。3)若，穩定性與有關。必須用其他方法來判定系統的穩定性。當時，則非線性系統在處是李氏意義下的穩定(臨界穩定狀態)。第一百四十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例設系統狀態方程為

試分析系統在平衡處的穩定性。解

求系統的平衡狀態，在處將方程線性化，由于第一百四十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三得線性化后的方程為原非線性系統在處是不穩定的。同理，在處線性化，得其特征值為，實部為零。因此不能由線性化方程得出原系統在處的穩定性。這種情況要應用李雅普諾夫第二種方法進行判定。(二)李雅普諾夫第二法（直接法）第一百四十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三1．標量函數定號性設是向量的標量函數，S是

空間包含原點的封閉有限區域。正定性

標量函數在S域中對所有非零狀態總有且，稱在S域內是正定的。負定性標量函數在S域中對所有非零有且，稱在S域內是負定的。如果是負定的，則一定是正定的。負(正)半定性標量函數在S域中，當時，有，且，則稱在S域內負(正)半定。設為負半定，則為正半定。不定性標量函數在S域內可正可負，則稱不定。第一百四十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例確定下列標量函數的正定性，已知：

(1)解

(2)解(3)解第一百四十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(4)解(5)解2．二次型函數及其定號性二次型函數是一類重要的標量函數，記第一百四十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三其中：P為對稱矩陣，。顯然滿足，檢驗的定號性是由賽爾維斯特準則判定。(1)當P的各順序主子行列式均大于零時，即

P為正定矩陣，則正定。

第一百四十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(2)當P的各順序主子行列式負、正相間時，即P為負定矩陣，則負定。(3)若主子行列式含有等于零的情況，則為正半定或負半定。(4)不屬以上所有情況的不定。

第一百四十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例解第一百四十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三李氏第二法是基于若系統的內部能量隨時間推移而衰減，則系統最終將達到靜止狀態這個思想而建立起來的穩定判據。若系統有一個漸近穩定的平衡狀態，當系統向這個平衡狀態附近運動時，系統儲存的能量隨時間的推移則應逐漸衰減，直到平衡狀態處衰減到最小值。反之，若系統是不穩定的平衡狀態，則系統將不斷從外界吸收能量，其存儲的能量將越來越大。要找到實際系統的能量函數表達式是相當復雜的，為了克服這個困難，李雅普諾夫提出可以虛構一個能量函數，后來便將其稱之為李雅普諾夫函數。第一百五十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三李雅普諾夫函數一般與和t有關，我們用來表示，如果在李雅普諾夫函數中不顯含t，則用表示。在李雅普諾夫第二法中，李氏函數和其對時間的全導數的符號特征，提供了判斷平衡狀態處的穩定性、漸近穩定性或不穩定性的準則。這種方法不必求解給定系統的狀態方程，故稱為直接法。3．穩定性定理設系統狀態方程：其平衡狀態滿足，假定狀態空間原點作為平衡狀態，并設在原點領域存在對x的連續的一階偏導數。第一百五十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三定理1

若(1)正定；(2)負定；則原點是漸近穩定的。負定，說明能量隨時間連續單調衰減。如果隨著有，則在原點處的平衡狀態是大范圍內的漸近穩定。第一百五十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三穩定性定理的幾點說明(本節其他定理也同此)

(1)穩定性定理給出的只是漸近穩定性的充分條件，而不是充要條件。即如果能找到滿足定理條件的V(x，t)，則系統一定是一致漸近穩定的。但如果找不到這樣的V(x，t)，也并不意味著系統是不穩定的，因為很可能還沒有找到合適的V(x，t)。(2)對于漸近穩定的平衡狀態，具有所需特性的李雅普諾夫函數總是存在的。(3)李雅普諾夫函數的選取并非唯一，由于選取不同的李雅普諾夫函數，會使分析的過程有所不同，但只要能說明系統的穩定性。第一百五十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三對穩定性的判斷，并不因選取的李雅普諾夫函數不同而有所影響。(5)此定理對于線性系統、非線性系統、定常系統及時變系統都適用，因此它是判定系統穩定性的一個最基本的定理。對于復雜的系統，要想找到一個合適李雅普諾夫函數可能是十分困難的，至今尚無構造李雅普諾夫函數的通用方法，這是應用李雅普諾夫穩定性理論的主要障礙。如果選取不當，會導致不定的結果，這時便作不出確定的判斷，需要重新選取。第一百五十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例已知系統方程為試分析平衡狀態的穩定性。解令，解出平衡狀態選取為正定顯然是負定的，因此平衡狀態點(原點)是漸近穩定的。又由于，則在原點處的平衡狀態是在大范圍內的漸近穩定。第一百五十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三定理2若(1)正定；(2)負半定；(3)在非零狀態不恒為零；則原點是漸近穩定的。如果隨著有，則在原點處的平衡狀態是大范圍內的漸近穩定。第一百五十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例已知系統方程為，試分析平衡狀態的穩定性。解令，得知原點是唯一的平衡狀態。選，則當時，；當時，，

故不定，不能對穩定性作出判斷。選，則得故負半定。根據定理2，原點是漸近穩定的，并且是大范圍一致漸近穩定。若選，則為負定。因此在原點處的平衡狀態是在大范圍內的漸近穩定的。第一百五十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例已知系統方程為試分析平衡狀態的穩定性。解令，得知原點是唯一的平衡狀態。設，則。將原方程代入上式得當任意，時，；當任意，時，。其他x均有，所以是半負定的。又由于，則在原點處的平衡狀態是在大范圍內的漸近穩定。第一百五十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三定理3若(1)正定；

(2)負半定；(3)在非零狀態恒為零；則原點是李雅普諾夫意義下穩定的。沿狀態軌跡能維持，表示系統能維持等能量水平運行，使系統維持在非零狀態而不運行至原點。在這種情況下，系統保持在一個穩定的等幅振蕩狀態上，是李雅普諾夫意義下的穩定。第一百五十九頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例已知系統方程為，試分析平衡狀態的穩定性。

解由，可知原點是唯一平衡狀態。選考慮狀態方程則得對所有狀態故系統是李雅普諾夫意義下穩定的。第一百六十頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三定理4若(1)正定；

(2)正定；則原點是不穩定的。正定表示能量函數隨時間增大，故狀態軌跡在原點鄰域發散。參考定理2可推論：正定，當正半定，且在非零狀態不恒為零時，則原點不穩定。

例已知系統方程為，試分析平衡狀態的穩定性。解由，可知原點是唯一平衡狀態。選，則故正半定根據定理4的推論，系統不穩定。

第一百六十一頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三從以上的分析可知，李氏第二法的步驟為：1)構造一個；2)求，并將狀態方程代入；3)判斷的定號性；和的符號相反，則漸近穩定；和的符號相同，則不穩定。4)判斷非零情況下，是否恒為零。若，成立，則李氏意義下穩定；若僅，成立，則漸近穩定。

第一百六十二頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三(三)線性定常系統的李雅普諾夫穩定性分析設系統狀態方程為A為非奇異矩陣，是系統唯一平衡狀態。設選取正定二次型函數為李氏函數P是正定實對稱矩陣將代入，在已知P是正定的條件下，由漸近穩定性定理可知，只要Q是正定的(即負定)，則系統是大范圍一致漸近穩定。第一百六十三頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三定理5系統大范圍漸近穩定的充要條件為：給定一正定實對稱矩陣Q，存在唯一的正定實對稱矩陣P使成立，則為系統的一個李氏函數。

說明：1.可以先給定一個正定的P陣，然后驗證Q陣是否正定去分析穩定性。但若P陣選取不當，往往會導致Q陣不定，使得判別過程多次重復進行。2.通常在判定的符號特性時，首先指定一個正定的矩陣Q，然后用塞爾維斯特準則檢查滿足等式的P是否也是正定的。第一百六十四頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三若選取，由再確定P的各元素尤為方便。3.由定理2可以推知，若系統狀態軌跡在非零狀態不存在恒為零時，Q陣可取做正半定矩陣，即允許單位矩陣中主對角線上部分元素為零，而解得的P仍應正定。最簡單的是

第一百六十五頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三例設系統的狀態方程為

試確定該系統的穩定性。解平衡狀態是原點。設系統的李氏函數為選定設矩陣P為2×2的正定實對稱矩陣由有第一百六十六頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三

用塞爾維斯特準則檢驗矩陣P是正定的。系統的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。且李氏函數為：第一百六十七頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三本章內容到此結束請同學們課下好好復習領會！第一百六十八頁，共一百九十一頁，編輯于2023年，星期三