2022-2023學年山東省煙臺市青華中學高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）如圖在等腰直角△ABC中，點O是斜邊BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若，則mn的最大值為（）A．B．1C．2D．3參考答案：B【考點】：向量在幾何中的應用；基本不等式在最值問題中的應用．【專題】：計算題．【分析】：利用三角形的直角建立坐標系，求出各個點的坐標，有條件求出M和N坐標，則由截距式直線方程求出MN的直線方程，根據點O（1，1）在直線上，求出m和n的關系式，利用基本不等式求出mn的最大值，注意成立時條件是否成立．解：以AC、AB為x、y軸建立直角坐標系，設等腰直角△ABC的腰長為2，則O點坐標為（1，1），B（0，2）、C（2，0），∵，∴，∴、，∴直線MN的方程為，∵直線MN過點O（1，1），∴=1，即m+n=2∵（m＞0，n＞0），∴，∴當且僅當m=n=1時取等號，且mn的最大值為1．故選B．【點評】：本題的考查了利用向量的坐標運算求最值問題，需要根據圖形的特征建立坐標系，轉化為幾何問題，根據條件求出兩數的和，再由基本不等式求出它們的積的最大值，注意驗證三個條件：一正二定三相等，考查了轉化思想．2.在區間[0，1]上任選兩個數x和y，則的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】幾何概型．【分析】該題涉及兩個變量，故是與面積有關的幾何概型，分別表示出滿足條件的面積和整個區域的面積，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由題意可得在區間[0，1]上任選兩個數x和y的區域為邊長為1的正方形，面積為1，在區間[0，1]上任選兩個數x和y，且的區域面積S=1﹣，∴在區間[0，1]上任取兩個實數x，y，則滿足的概率等于1﹣，故選D．3.已知點F為雙曲線的一個焦點，則點F到C的一條漸近的距離為A.2 B.4 C.2m D.4m參考答案：A，即，其中，又到其漸近線的距離:，故選A.4.已知如圖程序框圖，則輸出的是（

）A．9

B．11

C．13

D．15參考答案：C

考點：程序框圖．5.下圖是函數在區間上的圖象，為了得到這個函數的圖象，只要將的圖象上所有的點（

）A.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變B.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變C.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變D.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變參考答案：A由圖象知，，又，所以，所以函數為，當時，，解得，所以函數為所以要得到函數，則只要先向左平移單位，然后再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，選A.6.點P是曲線y=x2一1nx上任意一點，則點P到直線y=x－2的距離的最小值是

A．1

B．

C．2

D．2參考答案：B略7.定義在R上的函數，在上是增函數，且函數是偶函數，當，且時，有（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：因為函數是偶函數，所以，從而關于對稱。

又在上是增函數，所以在上是減函數，

因為，所以，故選擇A。8.設是等差數列的前項和，若，公差，，則（

）A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：A略9.在△ABC中，AB邊上的中線CO=2，若動點P滿足=（sin2θ）+（cos2θ）（θ∈R），則（+）?的最小值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0參考答案：C【考點】平面向量數量積的運算．【專題】計算題；平面向量及應用．【分析】由向量的線性運算法則和sin2θ+cos2θ=1，化簡得=cos2θ?，所以點P是線段OC上的點，由此可得（+）?=2?，則（+）?表示為以||=t為自變量的二次函數式，利用二次函數的性質加以計算，可得所求最小值．【解答】解：∵=（sin2θ）+（cos2θ）（θ∈R），且sin2θ+cos2θ=1，∴=（1﹣cos2θ）+（cos2θ）=+cos2θ?（﹣），即﹣=cos2θ?（﹣），可得=cos2θ?，又∵cos2θ∈[0，1]，∴P在線段OC上，由于AB邊上的中線CO=2，因此（+）?=2?，設||=t，t∈[0，2]，可得（+）?=﹣2t（2﹣t）=2t2﹣4t=2（t﹣1）2﹣2，∴當t=1時，（+）?的最小值等于﹣2．故選C．【點評】本題著重考查了向量的數量積公式及其運算性質、三角函數的圖象與性質、三角恒等變換公式和二次函數的性質等知識，屬于中檔題．10.一個棱錐的三視圖如右圖所示，則這個棱錐的體積為A．12

B．36

C．16

D．48參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,則__________.

參考答案：12.若函數f（x）=，則f（2）的值為

．參考答案：3【考點】分段函數的應用；函數的值．【專題】函數的性質及應用．【分析】利用分段函數化簡求解即可．【解答】解：函數f（x）=，則f（2）=f（2+2）=f（4）=f（6）=6﹣3=3．故答案為：3．【點評】本題考查分段函數的應用，函數值的求法，考查計算能力．13.將參數方程（為參數）化為普通方程，所得方程是__________。

參考答案：答案：414.一個總體分為A，B兩層，其個體數之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個體數是

參考答案：40略15.執行如圖所示的程序框圖，輸入l=2，m=3，n=5，則輸出的y的值參考答案：68試題分析：第一次循環：；第二次循環：；第三次循環：；結束循環，輸出考點：循環結構流程圖【名師點睛】算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環結構、偽代碼，其次要重視循環起點條件、循環次數、循環終止條件，更要通過循環規律，明確流程圖研究的數學問題，是求和還是求項.16.函數的單調遞增區間為

．參考答案：略17.設是有窮數列{}的前n項和，定義：

為數列{}的“Kisen”和．如果有99項的數列：…的“Kisen”和1000，則有100項的數列：1，…的“Kisen”和=

.參考答案：991解：記99項數列前n項和為，由已知…1000×99,設100項

數列的前n項和為,則…,,所以

.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知各項均為正數的兩個數列和滿足：，，（Ⅰ）設，，求證：（1）（2）數列是等差數列，并求出其公差；（Ⅱ）設，，且是等比數列，求和的值．參考答案：解：（Ⅰ）（1）∵，∴。

∴。

------（3分）（2）

。

∴數列是以1為公差的等差數列。

--ks5u-（2分）（Ⅱ）∵，∴。

∴。（﹡）設等比數列的公比為，由知，下面用反證法證明若則，∴當時，，與（﹡）矛盾。若則，∴當時，，與（﹡）矛盾。∴綜上所述，。∴，∴。

又∵，∴是公比是的等比數列。

若，則，于是。

又由即，得。

∴中至少有兩項相同，與矛盾。∴。

∴。

∴。

---（5分）19.在某娛樂節目的一期比賽中，有6位歌手（1至6號）登臺演出，由現場的百家大眾媒體投票選出最受歡迎的歌手，各家媒體獨立地在投票器上選出3位出彩候選人，其中媒體甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，另在2號至6號中隨機的選2名；媒體乙不欣賞2號歌手，他必不選2號；媒體丙對6位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至6號歌手中隨機的選出3名．（Ⅰ）求媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率；（Ⅱ）X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數之和，求X的分布列及數學期望．參考答案：（Ⅰ）設A表示事件：“媒體甲選中3號歌手”，事件B表示“媒體乙選中3號歌手”，事件C表示“媒體丙選中3號歌手”，媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值為0，1，2，3，

20.某高校學生社團為了解“大數據時代”下大學生就業情況的滿意度，對20名學生進行問卷計分調查(滿分100分)，得到如圖所示的莖葉圖：(1)計算男生打分的平均分，觀察莖葉圖，評價男女生打分的分散程度；(2)從打分在80分以上的同學隨機抽3人，求被抽到的女生人數的分布列和數學期望.參考答案：(1)男生打的平均分為：，由莖葉圖知，女生打分比較集中，男生打分比較分散；(2)因為打分在80分以上的有3女2男，∴的可能取值為1，2，3，，，，∴的分布列為：123.21.閱讀如圖所示的程序框圖．（1）寫出函數y=f（x）的解析式；（2）由（1）中的函數y=f（x）表示的曲線與直線y=1圍成的三角形的內切圓記為圓C，若向這個三角形內隨機投擲一粒黃豆，求這粒黃豆落入圓C的概率．參考答案：【考點】程序框圖．【專題】函數的性質及應用；概率與統計；算法和程序框圖．【分析】（1）由已知中的程序框圖，分析兩條分支上的語句，可得函數的解析式；（2）求出數y=f（x）表示的曲線與直線y=1圍成的三角形面積，及其內切圓的面積，代入由幾何概型概率計算公式，可得答案．【解答】解：（1）由已知中的程序框圖可得：函數y=f（x）=，（2）如圖所示：當y=1時，A點坐標為（﹣1，1），B點坐標為：（1，1），故OA=OB=，AB=2，則△OAB的面積S==1，△OAB的內切圓半徑r==，故圓C的面積為：=（3﹣2）π，故向這個三角形內隨機投擲一粒黃豆，求這粒黃豆落入圓C的概率P=（3﹣2）π．【點評】本題考查的知識點是分段函數，程序框圖和幾何概率，是算法，函數和概率的綜合應用，難度中檔．22.某氣象站統計了4月份甲、乙兩地的天氣溫度（單位℃），統計數據的莖葉圖如圖所示，（1）根據所給莖葉圖利用平均值和方差的知識分析甲，乙兩地氣溫的穩定性；（2）氣象主管部門要從甲、乙兩地各隨機抽取一天的天氣溫度，若甲、乙兩地的溫度之和大于或等于20℃，則被稱為“甲、乙兩地往來溫度適宜天氣”，求“甲、乙兩地往來溫度適宜天氣”的概率.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）分別計算平均值和方差比較大小得到答案.（2）列出所有可能性共有25種可能，滿足條件的共有14種，計算得到答案.【