求數列通項公式第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三通項公式：如果數列｛an｝的前n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示,即注意：1.通項公式通常不是唯一的，一般取其最簡單的形式；

2.通項公式以數列的項數n為唯一變量；

3.并非每個數列都存在通項公式.第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例1、寫出下面數列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數。

已知數列的前幾項，觀察數列特征，通常先將各項分解成幾部分（如符號、分子、分母、底數、指數等），然后觀察各部分與項數的關系，寫出通項。一、觀察法第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三1、寫出下列數列的一個通項公式:(1)

9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意觀察各項與它的序號的關系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)

這是特殊到一般的思想，也是數學上重要的思想方法，但欠嚴謹！分析:注意與熟悉數列9,99,999,9999,···聯系練習：第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、

公式法：

(1)等差數列通項公式：(2)等比數列通項公式：例如：(1)

(2)第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三三、

定義法：運用第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例2.｛an｝的前項和Sn=2n2－1，求通項an解：當n≥2時，an=Sn－Sn－1

=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遺漏n=1的情形哦！當n=1時,a1=1不滿足上式

因此an=1

(n=1)4n

－2(n≥2,)第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三變式.已知{an}中，a1+2a2+3a3+???+nan=3n+1,求通項an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范圍∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）

nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1時,a1=9（n≥2）兩式相減得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例3.第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例4.第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例5.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通項an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2

－a1=1a3

－a2=2a4

－a3=3???an－an－1=n

－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+???+(a2

－a1)+

a1

=(n－

1)+(n

－2)+???+2+1+1四、累加法(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數列)n個等式相加得a1=1an+1－

an=n(n∈N*)（1）注意討論首項;(2)適用于an+1=an+f(n)型遞推公式第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三求法：累加法練習：第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)例6.已知{an}是首項為1的正項數列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,

求{an}的通項公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法與累加法有些相似，但它是n個等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三練習1：五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三練習2五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三六、構造法題型1.已知數列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數）時，求該數列的通項公式.例7.已知，根據條件,確定數列的通項公式.

方法①：猜想證明：由及,

計算出,,,,

歸納猜想：;

然后用數學歸納法證明猜想正確(略).第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三六、構造法題型1.已知數列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數）時，求該數列的通項公式.例7.已知，根據條件,確定數列的通項公式.方法②迭代法：。第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三六、構造法題型1.已知數列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數）時，求該數列的通項公式.例7.已知，根據條件,確定數列的通項公式.方法③構造法：根據構造一個新數列設，則，∴，∴，即，∴為等比數列，首項為，公比為3.∴，∴.第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三六、構造法題型1.已知數列{an}的首項,以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數）時，求該數列的通項公式.方法總結：利用待定系數法令

an+=p(an-1+),

得到從而構造出等比數列{},輔助求出{an}的通項公式第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三六、構造法例8.已知數列中，34，第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三六、構造法例8.已知數列中，34，第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三六、構造法第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三【變式遷移】已知數列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求證數列為等差數列；（2）求數列｛an｝的通項公式.

解：（1）方法1：（構造法）因為a1＝5且an＝2an－1＋2n－1，所以當n≥2時，an－1＝2（an－1－1）＋2n，所以

，所以

，第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三所以是以為首項，以1為公差的等差數列.（2）由（1）知,所以an＝（n＋1）2n＋1.已知數列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2