數學建模隨機模型1第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三確定性因素和隨機性因素隨機因素可以忽略隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現隨機因素影響必須考慮概率模型統計回歸模型馬氏鏈模型隨機模型確定性模型隨機性模型2第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三概率模型--用隨機變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立隨機模型。統計模型--由于客觀事物內部規律的復雜性及人們認識程度的限制，無法分析實際對象內在的因果關系，建立合乎機理規律的模型，通常要搜集大量的數據，基于對數據的統計分析建立隨機模型。3第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三問題：

報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設報紙每份的購進價為b，零售價為a，退回價為c，假設a>b>c。即報童售出一份報紙賺a-b，退回一份賠b-c。報童每天購進報紙太多，賣不完會賠錢；購進太少，不夠賣會少掙錢。試為報童籌劃一下每天購進報紙的數量，以獲得最大收入。§1報童的訣竅4第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三問題報童售報：a(零售價)

>b(購進價)

>c(退回價)售出一份賺a-b；退回一份賠b-c每天購進多少份可使收入最大？分析購進太多賣不完退回賠錢購進太少不夠銷售賺錢少應根據需求確定購進量每天需求量是隨機的優化問題的目標函數應是長期的日平均收入每天收入是隨機的存在一個合適的購進量等于每天收入的期望5第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三建模設每天購進n份，日平均收入為G(n)調查需求量的隨機規律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準備求n使G(n)最大已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c6第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三求解將r視為連續變量7第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三結果解釋nP1P2取n使

a-b~售出一份賺的錢

b-c~退回一份賠的錢0rp8第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三背景一個人的出生和死亡是隨機事件一個國家或地區平均生育率平均死亡率確定性模型一個家族或村落出生概率死亡概率隨機性模型對象X(t)~時刻t

的人口,隨機變量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的變化規律；得到X(t)的期望和方差§2隨機人口模型9第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三若X(t)=n,對t到t+t的出生和死亡概率作以下假設1)出生一人的概率與t成正比，記bnt;出生二人及二人以上的概率為o(t).2)死亡一人的概率與t成正比，記dnt;死亡二人及二人以上的概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件。

bn與n成正比，記bn=n,~出生概率；dn與n成正比，記dn=n，~死亡概率。進一步假設模型假設10第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三建模為得到Pn(t)=P(X(t)=n),的變化規律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n的分解X(t)=n-1,t內出生一人X(t)=n+1,t內死亡一人X(t)=n,t內沒有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+t)Pn-1(t)bn-1t

Pn+1(t)dn+1t

Pn(t)(1-bnt-dnt)

o(t)11第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三~一組遞推微分方程——求解的困難和不必要(t=0時已知人口為n0)轉而考察X(t)的期望和方差bn=n，dn=n微分方程建模12第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三X(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=k13第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三求解比較：確定性指數增長模型X(t)的方差E(t)-(t)-=rD(t)E(t)+(t)Et0n0,D(t)X(t)大致在E(t)2(t)范圍內（(t)~均方差）r~增長概率r~平均增長率14第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三1.問題建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間的模型;預測在不同價格和廣告費用下的牙膏銷售量.收集了30個銷售周期本公司牙膏銷售量、價格、廣告費用，及同期其他廠家同類牙膏的平均售價.9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬支)價格差（元）廣告費用(百萬元)其他廠家價格(元)本公司價格(元)銷售周期§3牙膏的銷售量模型15第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三明確問題一牙膏的銷售量確定關系：牙膏銷售量——價格、廣告投入內部規律復雜數據統計分析常用模型回歸模型數學原理軟件30個銷售周期數據：銷售量、價格、廣告費用、同類產品均價銷售周期公司價(元)它廠價(元)廣告(百萬元)價差(元)銷售量(百萬支)13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.51………………293.803.855.800.057.93303.704.256.800.559.2616第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2.基本模型x2yx1yy~公司牙膏銷售量x1~其它廠家與本公司價格差x2~公司廣告費用解釋變量(回歸變量,自變量)被解釋變量（因變量）

多元回歸模型17第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三Matlab統計分析rcoplot(r,rint)殘差及其置信區間作圖MATLAB7.0版本s增加一個統計量:剩余方差s2[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X,alpha)statisticstoolbox解釋變量：矩陣顯著性水平：0.05

系數估計值

置信區間

殘差向量y-xb

置信區間

被解釋變量：列檢驗統計量：R2,F,p隨機誤差：正態分布均值為零回歸系數x=3.模型求解由數據y,x1,x2估計x=[ones(size(x1)),x1,x2,x2.^2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)程序18第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三4.結果分析參數參數估計值置信區間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04900123,故x22項顯著但可將x2保留在模型中即：y的90.54%可由模型確定、F遠超過F檢驗的臨界值、p遠小于=0.05顯著性：整體顯著x2

：2置信區間包含零點,但右端點距零點很近

——x2對因變量y的影響不太顯著；3

顯著19第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三控制價格差x1=0.2元，投入廣告費x2=6.5百萬元銷售量預測區間為[7.8230，8.7636]（置信度95%）上限用作庫存管理的目標值下限用來把握公司的現金流若估計x3=3.9，設定x4=3.7(百萬支)銷售量預測價差x1=它廠價x3-公司價x4估計x3，調整x4控制x1預測y則可以95%的把握知道銷售額在7.83203.729（百萬元）以上20第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三5.模型改進x1和x2對y的影響獨立

參數參數估計值置信區間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p<0.0001s2=0.04260123參數參數估計值置信區間29.1133[13.701344.5252]11.1342[1.977820.2906]-7.6080[-12.6932-2.5228]0.6712[0.25381.0887]-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.7771p<0.0001s2=0.049030124x1和x2對y的影響有交互作用比較：置信區間,R221第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三比較:兩模型銷售量預測控制價格差x1=0.2元，投入廣告費x2=6.5百萬元(百萬支)區間[7.8230，8.7636]區間[7.8953，8.7592](百萬支)預測區間長度更短

略有增加

22第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三x2=6.5x1=0.2x1x1x2x26.比較:兩模型與x1,x2的關系23第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三討論：交互作用影響價格差x1=0.1價格差x1=0.3廣告投入y

（x2大于6百萬元）價格差較小時增加的速率更大x2價格優勢y

價格差較小廣告作用大x1x224第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三多元二項式回歸命令：rstool（x，y，’model’,alpha）nm矩陣顯著性水平（缺省時為0.05）n維列向量25第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三完全二次多項式模型MATLAB中有命令rstool直接求解從輸出Export可得鼠標移動十字線(或下方窗口輸入)可改變x1,x2,左邊窗口顯示預測值及預測區間Rstool(x,y,’model’,alpha,’xname’,’yname’)26第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三牙膏的銷售量建立統計回歸模型的基本步驟根據已知數據從常識和經驗分析,輔之以作圖,

決定回歸變量及函數形式(先取盡量簡單的形式).用軟件(如MATLAB統計工具箱)求解.對結果作統計分析:R2,F,p,s2是對模型整體評價,

回歸系數置信區間是否含零點檢驗其影響的顯著性.

模型改進,如增添二次項、交互項等.對因變量進行預測.27第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三薪金——資歷、崗位、學歷建立模型：分析人事策略的合理性，作為新聘用人員薪金的參考資歷~從事專業工作的年數；管理~1=管理人員，0=非管理人員；教育~1=中學，2=大學，3=更高程度46名軟件開發人員的檔案資料

編號薪金資歷管理教育01138761110211608103……………4519207170246193462001§4軟件開發人員的薪金模型28第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三模型假設假設：y~薪金，x1~資歷（年）

x2=1~管理人員，0~非管理人員1~中學2~大學3~更高？假設：資歷每加一年薪金的增長是常數；管理、教育、資歷之間無交互作用教育=模型：線性回歸回歸系數隨機誤差中學：x3=1,x4=0；大學：x3=0,x4=1；更高：x3=0,x4=029第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三模型求解

x1~資歷(年)

x2=

1~管理，0~非管理中學：x3=1,x4=0;大學：x3=0,x4=1;更高：x3=0,x4=0Matlab程序:xinjindata.mxinjin.m

xinjindata.m：序號、工資y、資歷x1、管理x2、學歷、x3、x4、xx

xinjin.m：M=dlmread('xinjindata.m');x1=M(:,3);x2=M(:,4);x3=M(:,6);x4=M(:,7);y=M(:,2);x=[ones(size(x1))x1x2x3x4][b,bi,r,ri,s]=regress(y,x)30第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三R2,F,p模型整體上可用資歷增加1年薪金增長546管理人員薪金多6883中學程度薪金比更高的少2994大學程度薪金比更高的多148

a4置信區間包含零點解釋不可靠!結果參數估計值置信區間a011032[1025811807]a1546[484608]a26883[62487517]a3-2994[-3826-2162]a4148[-636931]R2=0.957F=226p=0.00031第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三結果分析殘差分析法殘差

與資歷x1的關系殘差大概分成3個水平6種管理—教育組合混在一起，未正確反映32第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三

與管理x2—教育x3、x4的關系殘差全為正，或全為負，管理—教育組合處理不當應在模型中增加管理x2與教育x3,x4的交互項組合123456管理010101教育112233管理與教育的組合殘差分析33第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三模型改進增加管理x2與教育x3,x4的交互項R2,F有改進回歸系數置信區間不含零點模型可用參數估計值置信區間a011204[1104411363]a1497[486508]a27048[68417255]a3-1727[-1939-1514]a4-348[-545–152]a5-3071[-3372-2769]a61836[15712101]R2=0.999F=554p=0.000Matlab:xinjin3.m34第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三消除了不正常現象異常數據(33號)去掉殘差分析e~x1

e~組合35第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三去掉異常數據后的結果模型改進R2：0.9570.9990.9998F：226

55436701置信區間長度更短參數估計值置信區間a011200[1113911261]a1498[494503]a27041[69627120]a3-1737[-1818-1656]a4-356[-431–281]a5-3056[-3171–2942]a61997[18942100]R2=0.9998F=36701p=0.000036第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三殘差分析殘差圖正常模型的結果可以應用

~x1

~組合37第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三模型應用制訂基礎薪金資歷為0：x1=

0管理—教育組合：6種大學程度管理人員比更高程度管理人員的薪金高大學程度非管理人員比更高程度非管理人員的薪金略低組合管理教育系數基礎薪金101非管理+中學a0+a39463211管理+中學a0+a2+a3+a513448302非管理+大學a0+a410844412管理+大學a0+a2+a4+a619882503非管理+更高a011200613管理+更高a0+a218241教育1中學：x3=1,x4=02大學：x3=0,x4=13更高：x3=0,x4=038第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三評注對定性因素：如管理、教育可以引入0-1變量處理0-1變量的個數應比定性因素的水平少1殘差分析：可以發現模型的缺陷引入交互作用項常常能夠改善模型剔除：異常數據有助于得到更好的結果39第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三隨機過程是研究隨機動態系統演變過程規律性的學科廣泛地應用于通信、控制、生物、地質、經濟、管理、能源、氣象等許多領域馬氏鏈(MarkovChain)模型：時間、狀態均為離散的隨機轉移過程系統在每個時期所處的狀態是隨機的從一時期到下時期的狀態按一定概率轉移下時期狀態只取決于本時期狀態和轉移概率已知現在，將來與過去無關（無后效性）隨機過程實例選講－－馬氏鏈模型40第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三人的健康狀態隨著時間的推移會隨機地發生轉變保險公司要對投保人未來的健康狀態作出估計,以制訂保險金和理賠金的數額人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態設對特定年齡段的人今年健康、明年保持健康狀態的概率為0.8今年患病、明年轉為健康狀態的概率為0.7若某人投保時健康,問10年后他仍處于健康狀態的概率問題1§5健康與疾病模型41第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三在一個離散時間集合T={0,1,2,…}和一個有限或可列無窮的狀態空間S={1,2,…}上，一個隨機過程在任一時刻從一個狀態以一定的概率向其他狀態轉移（或保持原狀態不變）。記Xn為時刻n時時刻過程所處的狀態，n＝1,2,…，假定：在時刻0,過程所處的狀態X0是S上的一個隨機變量；在任一時刻n，給定X0，…

，

Xn-1，

Xn時，Xn＋1的條件分布只與Xn有關，而與X0，…

，

Xn-1無關。滿足上述條件的隨機過程為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈。馬氏鏈42第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三狀態與狀態轉移模型給定a(0)預測

a(n),n=1,2…0.80.20.30.7健康患病狀態：轉移：轉移方程狀態概率轉移概率今年健康、明年保持健康狀態的概率為0.8今年患病、明年轉為健康狀態的概率為0.7p11=0.8,p12=0.2p21=0.7,p22=0.31~健康2~疾病43第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三狀態符號分析已知狀態概率轉移概率轉移方程可見：

Xn+1只取決于Xn和pij,與Xn-1,…無關狀態轉移具有無后效性44第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三n=input('n=')A=zeros(2,n+1);A(1,1)=input('a01=');A(2,1)=1-A(1,1);fori=1:nA(1,i+1)=0.8*A(1,i)+0.7*A(2,i);A(2,i+1)=0.2*A(1,i)+0.3*A(2,i);endA數值分析p11=0.8,p12=0.2p21=0.7,p22=0.31~健康2~疾病45第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三n時：狀態概率趨于穩定值穩定值與初始狀態無關設投保時n0123……∞健康a1(n)10.80.780.778……7/9a2(n)00.20.220.222……2/9疾病a1(n)00.70.770.777……7/9a2(n)10.30.230.223……2/9結果狀態概率轉移概率46第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三狀態健康和疾病：Xn=1~健康,Xn=2~疾病第3種狀態：死亡Xn=3已知：p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1p31=0,p32=0,p33=1若某人投保時健康,問n年后各狀態的概率問題247第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三狀態與狀態轉移模型0.10.0210.80.180.250.65狀態：轉移：轉移方程狀態概率轉移概率健康患病死亡48第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三n=input('n=')A=zeros(3,n+1);A(1,1)=input('a01=');A(2,1)=input('a02=');A(3,1)=1-A(1,1)-A(2,1);fori=1:nA(1,i+1)=0.8*A(1,i)+0.65*A(2,i)+0*A(3,i);A(2,i+1)=0.18*A(1,i)+0.25*A(2,i)+0*A(3,i);A(3,i+1)=0.02*A(1,i)+0.1*A(2,i)+1*A(3,i);endA49第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三設投保時處于健康狀態，預測a(n),n=1,2…分析初始狀態最終都要轉到狀態3一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1n>k,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1從狀態3不會轉移到其它狀態。n0123……50……∞a1(n)10.80.7570.7285……0.1293……0a2(n)00.180.1890.1835……0.0326……0a3(n)00.020.0540.0880……0.8381……150第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三理論狀態基本方程馬氏鏈的基本方程狀態概率轉移概率51第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三

1、正則鏈馬氏鏈的兩個重要類型任一狀態出發經有限次轉移以正概率到達另外任一狀態w~穩態概率例1：特征向量定義對于馬氏鏈，若存在一正整數N，使其轉移矩陣的N次冪MN>0（每一分量均大于0），則稱此馬爾鏈為一正則（regular）鏈。52第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三存在吸收狀態一旦到達就不會離開的狀態且從任一非吸收狀態出發經有限次轉移能以正概率到達吸收狀態

2、吸收鏈有非零元素yi~從第i個非吸收狀態出發，被某個吸收狀態吸收前的平均轉移次數轉移矩陣：n-r個非吸收狀態有r個吸收狀態53第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三鋼琴銷售售量很小商店的庫存量不大以免積壓資金一家商店根據經驗估計：平均每周的鋼琴需求為1架存貯策略每周末檢查庫存量僅當庫存量為零時，才訂購3架供下周銷售否則，不訂購。問題：估計在這種策略下失去銷售機會的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。背景與問題§6鋼琴銷售的存貯策略模型54第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三分析與假設需求：顧客的到達相互獨立需求量近似服從波松分布，其參數由需求均值為每周1架確定計算不同的需求概率失去銷售機會：需求超過庫存動態過程概率存貯策略：周末庫存量為零時訂購3架,周初到貨；否則，不訂購.周末的庫存量：0,1,2,3周初的庫存量：1,2,3共三種狀態用馬氏鏈描述不同需求導致的周初庫存狀態的變化以每周初的庫存量作為狀態變量狀態轉移具有無后效性在穩態情況下——時間充分長以后計算該存貯策略失去銷售機會的概率、每周的平均銷售量動態過程中每周銷售量不同，失去銷售機會（需求超過庫存）的概率不同.55第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三狀態轉移規律模型Dn~第n周需求量：泊松分布

狀態變量：Sn~第n周初庫存量均值為1需求量需求量進貨量狀態轉移矩陣56第五十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三則計算Dn~第n周需求量，均值為1的泊松分布

Dn0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019Sn~第n周初庫存量(狀態變量)狀態轉移規律

57第五十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三狀態概率馬氏鏈的基本方程已知初始狀態：可預測第n周初庫存量Sn=i的概率n,狀態概率

已知正則鏈正則鏈穩態概率分布w滿足wP=w模型建立

58第五十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三估計在這種策略下失去銷售機會的可能性第n周失去銷售機會的概率模型求解n充分大時

穩態概率分布需求庫存從長期看，失去銷售機會的可能性大約10%D

0123>3P

0.3680.3680.1840.0610.01959第五十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三估計這種策略下每周的平均銷售量第n周平均售量n充分大時需求不超過存量,需求被售需求超過存量,存量被售需求存量從長期看，每周的平均銷售