2021年北京第十二中學高二數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對任意實數a，b定義運算“"：ab=，若函數f(x)的圖象與x軸恰有三個交點，則k的取值范圍是(

)A．[-2,1)

B．[0,1]

C．（0,1]

D.（-2,1）參考答案：A2.已知函數f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，則集合M∩N面積為（）A． B． C．π D．參考答案：C【考點】定積分．【分析】先分析M，N所表示的平面區域，并在平面直角坐標系中用圖形表示出來，最后結合平面幾何的知識解決問【解答】解：因為f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，f（y）=（y﹣2）2﹣1，則f（x）+f（y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣2，f（x）﹣f（y）=（x﹣2）2﹣（y﹣2）2．∴M={（x，y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2≤2}，N={（x，y）||y﹣2|≤|x﹣2|}．故集合M∩N所表示的平面區域為兩個扇形，其面積為圓面積的一半，即為π．故選：C．3.某學校高二年級共有編號為1班，2班，3班，a，10班等10個班，每個班均有50個學生，現在需要用系統抽樣的方法從每個班中抽取1人，得到一個容量為10的樣本．首先，在給全體學生編號時，規定從1班到10班，各個學生的編號從小到大，即按1班從001到050，2班從051到100，3班從101到150，p，以此類推，一直到10班的50個學生編號為451到500．若用簡單隨機抽樣的方法從1班抽到的編號為6號，則在6班中應抽取學生的編號為（）A．12 B．56 C．256 D．306參考答案：C【考點】簡單隨機抽樣．【分析】根據已知計算出組距，可得答案【解答】解：因為是從500名學生中抽出10名學生，組距是50，∵從1班抽到的編號為6號，∴在6班中應抽取學生的編號為6+5×50=256，故選C．【點評】本題考查系統抽樣的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意熟練掌握系統抽樣的概念4.某物體做直線運動，其運動規律是s＝t2＋(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時速度為()參考答案：B5.若，

，則

（

）A

B

C

D參考答案：B略6.設a，b，c∈（0，+∞），則三個數a+，b+，c+的值（）A．都大于2 B．都小于2C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2參考答案：D【考點】進行簡單的合情推理．【分析】利用反證法，即可得出結論．【解答】解：假設3個數a+＜2，b+＜2，c+＜2，則a++b++c+＜6，利用基本不等式可得a++b++c+=b++c++a+≥2+2+2=6，這與假設所得結論矛盾，故假設不成立，所以，3個數a+，b+，c+中至少有一個不小于2．故選：D．7.若x∈R，則“x＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件參考答案：A【分析】根據充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：由x＞1，一定能得到

得到＜1，但當＜1時，不能推出x＞1（如x=﹣1時），故x＞1是＜1的充分不必要條件，故選：A．8.設，，若對于任意，總存在，使得成立，則a的取值范圍是（）A.[4,+∞) B.C. D.參考答案：C【分析】求出在的值域與在的值域，利用在的值域是在的值域的子集列不等式組，從而可求出的取值范圍．【詳解】，當時，，當時，，由，．故又因為，且，．故．因為對于任意，總存在，使得成立，所以在的值域是在的值域的子集，所以須滿足，，的取值范圍是，故選C．【點睛】本題主要考查全稱量詞與存在量詞的應用，以及函數值域的求解方法，屬于中檔題．求函數值域的常見方法有①配方法：若函數為一元二次函數，常采用配方法求函數求值域，；②換元法：常用代數或三角代換法；③不等式法：借助于基本不等式求函數的值域；④單調性法：首先確定函數的定義域，然后準確地找出其單調區間，最后再根據其單調性求函數的值域，⑤圖象法：畫出函數圖象，根據圖象的最高和最低點求最值.9.如圖是選修1－2第二章“推理與證明”的知識結構圖(部分)，如果要加入知識點“分析法”，則應該放在圖A．“①”處

B．“②”處

C．“③”處

D．“④”處

參考答案：C分析法是直接證明的一種方法故“分析法”，則應該放在“直接證明”的下位．故選C．

10.“<0”是“”的A.充分條件

B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列

參考答案：500012.若函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間[0,+∞)上是單調增函數.如果實數t滿足時，那么t的取值范圍是__________．參考答案：試題分析：因為函數是定義在上的偶函數，所以由13.已知，用數學歸納法證明時，等于參考答案：略14.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集為_______.參考答案：15.給出下列命題：

①，使得；

②曲線表示雙曲線；

③的遞減區間為

④對，使得

.

其中真命題為

（填上序號）參考答案：①③16.已知，若，則的值是

；參考答案：17.

在R上為減函數，則

ks5*/u參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.（1）討論函數F(x)=f(x)-g(x)的單調性；（2）是否存在實數a，使得f(x)≥g(x)+2(x>0)恒成立，若不存在，請說明理由；若存在，求出a的取值范圍;（3）若方程f(x)=g(x)在區間上有兩個不相等的實數根，求a的取值范圍.參考答案：（1）（i）當a>0時，由ax2-1>0得,

由ax2-1<0得.故當a>0時，F(x)的遞增區間為，遞減區間為.（ii）當恒成立故當上單調遞減.

………4分（2）即使時恒成立.（i）當a≤0時，由（1）知當∴時不可能恒成立.，

（ii）當a>0時，由（1）可知即可,故存在這樣的a的值，使得a的取值范圍是

………8分（3）等價于方程在區間上有兩個不等解，∵

在區間上為增函數，在上為減函數，∴，

，

a的取值范圍是

………12分19.（本題12分）已知m∈R，直線l：和圓C：。（1）求直線l斜率的取值范圍；（2）直線l能否將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓弧？為什么？參考答案：解：（Ⅰ）直線的方程可化為，直線的斜率，

………………2分因為，所以，當且僅當時等號成立．所以，斜率的取值范圍是．

…………5分（Ⅱ）不能．

…………………6分由（Ⅰ）知的方程為，其中．圓的圓心為，半徑．圓心到直線的距離．………………9分由，得，即．從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于．所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段弧．

……………12分略20.設函數f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x（x∈R），其中a∈R（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）當a=3時，求函數f（x）的極大值和極小值．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的極值．【專題】綜合題；函數思想；綜合法；導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求得函數的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；（Ⅱ）求得函數的導數，由導數大于0，可得增區間，導數小于0，可得減區間，進而得到函數的極值．【解答】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=﹣x3+2x2﹣x，得f（2）=﹣2，f′（x）=﹣3x2+4x﹣1，f'（2）=﹣5，所以，曲線y=﹣x3+2x2﹣x在點（2，﹣2）處的切線方程是y+2=﹣5（x﹣2），整理得5x+y﹣8=0；（Ⅱ）f（x）=﹣x3+2ax2﹣a2x，f′（x）=﹣3x2+4ax﹣a2=﹣（3x﹣a）（x﹣a），令f′（x）=0，解得或x=a，由于a=3，即有x=1或x=3．當x＞3或x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當1＜x＜3時，f′（x）＞0，f（x）遞增．因此，函數f（x）在x=1處取得極小值f（1）=﹣4，函數f（x）在x=3處取得極大值f（3）=0．【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區間、極值，考查運算能力，屬于基礎題．21.已知函數.（1）求函數f(x)在[－1,1]上的最大值；（2）證明：當時,.參考答案：(1)；(2)詳見解析.【分析】（1）首先求出函數的導數，解不等式，，結合題中所給的區間，研究函數的單調性，從而求得函數在給定區間上的最大值；（2）不等式即為，化簡得，因為得，令，求導研究函數的單調性，從而證得結果.【詳解】（1），令，解得，令，解得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，，所以函數在上的最大值為；（2）由可得，即，因為，所以，令，得，當時，可得，從而有，所以在上是增函數，所以，從而有恒成立，即原命題得證，故：當時,.【點睛】該題考查的是有關利用導數研究函數的問題，涉及到的知識點有利用導數求函數在給定區間上的最值，利用導數證明恒成立問題，屬于中檔題目.22.已知拋物線方程為y2=4x，直線L過定點P（﹣2，1），斜率為k，k為何值時，直線L與拋物線y2=4x只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】設出直線方程代入拋物線方程整理可得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0（*）（1）直線與拋物線只有一個公共點?（*）只有一個根（2）直線與拋物線有2個公共點?（*）有兩個根（3）直線與拋物線沒有一個公共點?（*）沒有根【解答】解：由題意可設直線方程為