微積分發展簡史演示文稿當前第1頁\共有31頁\編于星期日\1點優選微積分發展簡史當前第2頁\共有31頁\編于星期日\1點牛頓艾薩克·牛頓（IsaacNewton）是英國偉大的數學家、物理學家、天文學家和自然哲學家，其研究領域包括了物理學、數學、天文學、神學、自然哲學和煉金術。

牛頓的主要貢獻有發明了微積分，發現了萬有引力定律和經典力學，設計并實際制造了第一架反射式望遠鏡等等，被譽為人類歷史上最偉大，最有影響力的科學家。為了紀念牛頓在經典力學方面的杰出成就，“牛頓”后來成為衡量力的大小的物理單位。當前第3頁\共有31頁\編于星期日\1點萊布尼茨萊布尼茨（Gottfried

WilhelmLeibniz），德國哲學家、數學家。涉及的領域及法學、力學、光學、語言學等40多個范疇，被譽為十七世紀的亞里士多德。和牛頓并稱為微積分的創立者。當前第4頁\共有31頁\編于星期日\1點微積分學是微分學(DifferentialCalculs)和積分學(IntegralCalculs)統稱,英文簡稱Calculs,意為計算。這是因為早期微積分主要用于天文、力學、幾何中的計算問題。后來人們也將微積分學稱為分析學或無窮小分析。當前第5頁\共有31頁\編于星期日\1點

在微積分產生之前，數學發展處于初等數學時期。人類只能研究常量，而對于變量則束手無策。在幾何上只能討論三角形和圓，而對于一般曲線則無能為力。到了17世紀中葉，由于科學技術發展的需要，人們開始關注變量與一般曲線的研究。當前第6頁\共有31頁\編于星期日\1點在力學上，人們關心如何根據路程函數去確定質點的瞬時速度，或者根據瞬時速度去求質點走過的路程。在幾何上，人們希望找到求一般曲線的切線的方法，并計算一般曲線所圍圖形的面積。當前第7頁\共有31頁\編于星期日\1點令人驚訝的是，不同領域的問題卻歸結為相同模式的數學問題：求因變量在某一時刻對自變量的變化率；求因變量在一定時間過程中所積累的變化。前者導致了微分的概念；后者導致了積分的概念。更令人驚訝的是，這二者之間竟然有著密切的聯系：它們是互逆的兩種運算，這個性質是由微積分學基本定理所體現的。從而微分學和積分學形成了一門統一的學科：微積分學。當前第8頁\共有31頁\編于星期日\1點微積分的萌芽123微積分的發展微積分的建立4微積分的嚴格化目錄5牛頓和萊布尼茨之爭當前第9頁\共有31頁\編于星期日\1點1.微積分的萌芽極限思想歐多克索斯的窮竭法（古希臘時期）一個量如果減去大于其一半的量，再從余下的量中減去大于該余量一半的量，這樣一直下去，總可使某一余下的量小于已知的任何量。

莊子的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”（戰國時期）當前第10頁\共有31頁\編于星期日\1點

阿基米德對拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體體積的研究。積分思想

開普勒用無窮小微元來確定曲邊形的面積和體積。當前第11頁\共有31頁\編于星期日\1點

第一類是求瞬時速度的問題。第二類是求曲線切線的問題。十七世紀中葉，由于自然科學的急速發展，其他學科給數學提出如下四種亟待解決的問題：第三類是求函數最大值和最小值的問題。

第四類是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、兩個非質點間的

引力問題。2.微積分的發展當前第12頁\共有31頁\編于星期日\1點

曲線的切線問題（第二類問題）微分思想

費爾馬在這兩個問題上做出了主要貢獻，他先對自變量取增量，再讓增量趨于零，這就是微分學的本質所在。函數的極大極小值問題（第三類問題）當前第13頁\共有31頁\編于星期日\1點

費爾馬也在積分學方面做了許多工作，如求面積、體積、重心等問題（第四類問題），但可惜的是，他沒有發現微分學和積分學這兩類問題之間的基本聯系。

巴羅（牛頓的老師）在《光學和幾何學講義》一書中，已經把求曲線的切線與求曲線下區域的面積問題聯系了起來，也就是說他把微分學和積分學的兩個基本問題聯系起來，但可惜的是他沒有從一般概念意義下進一步深入研究他們。當前第14頁\共有31頁\編于星期日\1點除了費爾馬和巴羅，十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家也為解決上述問題作了大量的研究工作，這些先驅性的工作，沿著不同的方向向微積分的大門逼近，但所有這些努力還不足以標志微積分作為一門獨立科學的誕生。當前第15頁\共有31頁\編于星期日\1點3.微積分的建立

終于十七世紀后半葉，牛頓和萊布尼茲，在不同的國家，幾乎在同時總結前人研究成果的基礎上，各自獨立的創建了劃時代的微積分。當前第16頁\共有31頁\編于星期日\1點

牛頓將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統一為兩類普遍的算法——正、反流數術亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關系，從而將這兩類運算統一成整體。這是他超越前人的功績，正是在這樣的意義下，我們說牛頓發明了微積分。

牛頓在1665年11月發明“正流數術”(微分法)，次年5月又建立了“反流數術”(積分法)．1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結性論文，但他沒有拿去發表。當前第17頁\共有31頁\編于星期日\1點

萊布尼茨在1684年發表了第一篇微分學論文《一種求極大值與極小值以及求切線的新方法》，在這文章中他給出了微分記號dx和一些微分運算法則，并討論了微分學的一些應用。

萊布尼茨深刻認識到∫同d的互逆關系，他斷言：作為求和過程的積分是微分的逆．這一思想的產生是萊布尼茨創立微積分的標志．1686年，萊布尼茨又發表了他的第一篇積分學論文，在這篇論文他給出了積分符號∫，初步論述了積分與微分的互逆關系。當前第18頁\共有31頁\編于星期日\1點牛頓和萊布尼茨發現了微積分基本定理，并建立起一套有效的微分和積分算法；他們把微積分作為一種適用于一般函數的普遍方法；把微積分從幾何形式中解脫出來，采用了代數方法和記號，從而擴展了它的應用范圍；把面積、體積及以前作為和來處理的問題歸結到反微分(積分)．這樣，十七世紀其他學科提出的四個主要問題——速度、切線、極值、求和，便全部歸結為微分和積分。當前第19頁\共有31頁\編于星期日\1點微積分誕生以后，數學迎來了一次空前的繁榮時期。18世紀被稱為數學史上的英雄世紀。數學家們把微積分應用于天文學、力學、光學、熱學等各個領域，獲得了豐碩的成果；在數學本身，他們把微積分作為工具，又發展出微分方程、微分幾何、無窮級數等理論分支，大大擴展了數學研究的范圍。當前第20頁\共有31頁\編于星期日\1點4.微積分的嚴格化微積分建立以后，出現了兩個極不協調的情景：一方面是微積分廣泛應用于各個領域，取得了輝煌的成就；另一方面是人們對于微積分基本概念的合理性提出了強烈的質疑。19世紀以前，無窮小量概念始終缺少一個嚴格的數學定義，因此導致了相當嚴重的混亂。

特別地，1734年英國哲學家、紅衣主教貝克萊對微積分基礎的可靠性提出的強烈質疑，引發了第二次數學危機。微積分的嚴格化勢在必行。當前第21頁\共有31頁\編于星期日\1點

法國數學家達朗貝爾用極限方法取代無窮小量方法；法國數學家柯西在達朗貝爾通俗的極限基礎上，從變量和函數角度出發給出極限的動態定義，從而把微積分的基礎嚴格地奠定在極限概念之上。德國數學家魏爾斯特拉斯則用靜態的ε-δ語言來刻畫柯西動態的極限概念，使極限的定義達到了最清晰最嚴密的程度，直到如今人們仍然在使用他的定義。極限理論的建立當前第22頁\共有31頁\編于星期日\1點

由于嚴格的極限理論的建立，無窮小量可用極限的語言清楚地加以描述，至此才解決了有關的邏輯困難。而且由于ε?δ語言的建立，微積分的發展如虎添翼。當前第23頁\共有31頁\編于星期日\1點實數理論魏爾斯特拉斯的無限十進小數表示法

戴德金分割

康托爾的柯西列方法

第一次數學危機之無理數的解決方案實數的完備性

確界存在定理---單調有界定理----區間套定理------有限覆蓋定理----聚點定理-----柯西收斂準則

當前第24頁\共有31頁\編于星期日\1點從以上介紹，可以知道微積分發展的歷史軌跡是積分學—微分學—微積分學—極限理論—實數理論但從數學分析課程來看，它的理論體系應該是：實數理論—極限理論—微分學—積分學—微積分學當前第25頁\共有31頁\編于星期日\1點5.牛頓與萊布尼茨之爭

萊布尼茨發表第一篇微積分論文的時間是1684年，比牛頓早三年(牛頓的《自然哲學之數學原理》出版于1687年)，但牛頓早在六十年代就發明了微積分，而萊布尼茨曾于1673年訪問過倫敦，并和牛頓及一些知道牛頓工作的人通過信．于是就發生了萊布尼茨是否獨立取得微積分成果的問題．當前第26頁\共有31頁\編于星期日\1點

1684年萊布尼茲發表了他的微積分的論文。3年后，牛頓在1687年出版的《原理》書的初版中對萊布尼茲的貢獻表示認同，但是卻說：“和我的幾乎沒什么不同，只不過表達的用字和符號不一樣。”當前第27頁\共有31頁\編于星期日\1點

牛頓的流數理論到萊布尼茲發表論文二十年后，即1704年作為他的著作《光學》的附錄中正式發表，附錄的序言中，牛頓提到他1676年給萊布尼茲的信，并補充說︰“若干年前我曾出借過一份包含這些定理(微積分)的原稿，之後就見到一些從那篇當中抄出來的東西，所以我現在公開發表這份原稿。”這話的意思就暗指他的手稿曾經被萊布尼茲看到過，而萊布尼茲的論文就是從他的手稿中抄來的。當前第28頁\共有31頁\編于星期日\1點1711年3月4日，倫敦皇家學會的秘書斯洛（HansSloane）收到萊布尼茲寄來的一封信，信中抱怨其成員開爾（JohnKeill）指責萊布尼茲把牛頓的微積分改變了少量的符號，偽裝為自己的原創發表，并且聲明這不是事實，要求學會給以公正的裁決。當前第29頁\共有31頁\編于星期日\1點

據說這一狀告正好告到了牛頓手上。后來，由于牛頓的導演和親自出馬、匿名運作，形成勢不兩立的兩派。以英國為一派包括英國著名數學家泰勒和麥克勞林都認為萊布尼