第十一章 曲線積分與曲面積分習題課

一、主要內容二、典型例子1曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分計算計算聯系聯系（一）曲線積分與曲面積分2曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義nL

f

(x,

y)ds

=lim

f

(xi

,hi

)Dsilfi

0

i=1L

P(x,

y)dx+Q(x,

y)dyn=lim[P(xi

,hi

)Dxi

+Q(xi

,hi

)Dyi]lfi

0

i=1聯系L

Pdx

+

Qdy

=

L

(P

cosa

+

Q

cos

b

)ds計算L

f

(x,

y)dsb=

f

[j,y

]

j￠2

+y

￠2

dta三代一定

(a

<

b)

Pdx

+

QdyLb=

a

[P(j,y

)j￠+

Q(j,y

)y

￠]dt二代一定(與方向有關)3與路徑無關的四個等價命題條件在單連通開區域D

上P(x,y),Q(x,y)具有連續的一階偏導數,則以下四個命題成立.等價命題在D內L

Pdx

+Qdy與路徑無關C

Pdx

+

Qdy

=

0,閉曲線C

D在D內存在U

(x,y)使du

=Pdx

+Qdy在D內,?P

=?Q?y

?x4曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分定義n

f

(x,

y,z)ds=lim

f

(xi

,hi

,zi

)Dsilfi

0S

i=1nR(x,

y,z)dxdy=limR(xi,hi

,zi

)(DSi

)xylfi

0S

i=1聯系

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy

=

(P

cosa

+

Q

cos

b

+

Rcosg)dSS

S計算

f

(x,

y,z)dsS=

f

[x,

y,z(x,

y)]

1+zx

+zydxdy2

2Dxy一代,二換,三投(與側無關)R(x,

y,z)dxdS=–R[x,

y,z(x,

y)]dxdyDxy一代,二投,三定向(與側有關)5理論上的聯系1.定積分與不定積分的聯系baf

(

x)dx

=

F

(b)

-

F

(a)

(F

￠(

x)

=

f

(

x))牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯系((沿L的正向)LDPdx

+

Qdy-

)dxdy

=?x

?y?Q

?P格林公式63.三重積分與曲面積分的聯系W

S?x

?y

?z

(?P

+

?Q

+

?R)dv

=

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy高斯公式?y

?z

?z

?x

?x

?yS=

Pdx

+

Qdy

+

RdzG4.曲面積分與曲線積分的聯系斯托克斯公式

(?R

-

?Q

)dydz

+

(?P

-

?R)dzdx

+

(?Q

-

?P

)dxdy7?x

?y

?z梯度

gradu

=

?u

+

?u

+

?u

i

j

k旋度環流量+

+?x

?y

?z?P

?Q

?RdivA

=S通量

F

=

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy?x

?y)

j

+

(

-

)k?R

?Q

?P

?z

?x-

)i

+

(

-?y

?z?R

?Q

?ProtA

=

(G8G

=

Pdx

+

Qdy

+

Rdz散度（二）場論初步例1

計算

Lx2

+

y2

ds，其中，L

為圓周：x2

+

y2

=

ax.解：L的極坐標方程：r

=a

cosq

(-p

￡

q

￡

p

).2

2ds

=

[r(q)]2

+[r￠(q)]2

dq

=

adqLaxds原式=a2

cos2

q

a

dq-p

2p=

2220pcosqdq=

2a=

2a

2a

xoyqr

t9例1

計算

Lx2

+

y2

ds，其中，L

為圓周：x2

+

y2

=

ax.a

a2

2a2x

=另解：L的參數方程：+

cos

t，y

=sin

t，

(0

￡

t

￡

2p

).2ads

=

[x￠(t)]2

+[

y￠(t)]2

dt

=

d

ta

xoytaxds原式=L0102a22p=1+cos

ta

dt

=

2a

212

1

2提示：G

在柱面

x2

+

2

y2

=1上.

x

=

cos

t

G

:

y

=z

=sin

t，t

從0到2psin

t2p0cos2

t

sin

2

t

dt

1

原式==20cos2

t

(1-

cos2

t)

dt4

1

2

22

2p

2

2

4

2

2

162

1

p

-

3

1

p

=

2p=zox1

yx2

+y2

+z2

=1所得截痕，從z

軸正向看沿逆時針方向.11例

2

計算

G

x

yzdz，其中，G

是由平面

y

=

z

截球面解?P

=

2x，

?Q

=

2x?y

?x即，=

，積分與路徑無關.?y

?x?P

?Q104102(1+

y

)dyx dx

+故，原式==

23

.15xyo11A2

2

4122L(x

+

2xy)dx

+(x

+

y

)dy例

3

計算

I

=，其中，L

為由點O(0,0)到點A(1,1)的曲線y

=sin

p

x.13解?P

=

ex

cos

y

-

m，

?Q

=

ex

cos

y.?y

?xxyoA(a,0)M

-

=

-

L+OA

OA

AMOA

OAI

=x

xL例

4

計算

I

=(e

-my)dx

+(e

cos

y

-m)dy，其中，L為由點(a,

0)

到點(0,

0)的上半圓周

x2

+

y2

=

ax，y

?

0.DAMOA

?Q

-

?P?x

?y)dxdy=

(2m8Dpa

,dxdy

==

m

=

0

dx

+(exaOA

0-

m) 0

=

0AMOA

OA=

m

pa2

-

0

=

m

pa2

.8

8故，I

=

-

14yoz11x-

1解：利用兩類曲面積分之間的關系

的法向量為

={1,-1,1},n

1

1

,

cos

b

=

-

1

,

cos

g

= .3

3

3\

cosa

=例5

計算

I

=

[

f

(x,

y,

z)

+

x]dydz

+[2

f

(x,

y,

z)

+

y]dzdx+[f

(x,y,z)+z]dxdy，其中，f

(x,y,z)為連續函數，為平面x

-y

+z

=1在第一卦限部分的上側．3

3

3I

=

{

1

[

f

(x,

y,

z)

+

x]-

1

[2

f

(x,

y,

z)

+

y]

+

1

[

f

(x,

y,

z)

+

z]}dS=(x

-

y

+

z)dS

1

32

1

=xy3

D1 3dxdy

=

1

.15

z

=

y

-1

x

=

0解：y

-1

=z

2

+x

2，(1

￡

y

￡

3).(如下圖)，(1

￡

y

￡

3)繞y

軸旋轉面方程為xzo132*ySz

=

y

-1S

是由曲線x

=

0面，且它的法向量與y

軸正向的夾角恒大于p

.2例7

計算I

=

(8

y

+1)xdydz

+

2(1-

y2

)dzdx

-

4

yzdxdy，其中，，(1

￡

y

￡

3)繞y

軸旋轉一周所成的曲xyzo132*?x

?y

?z

=

(?P

+

?Q

+

?R)dxdydzS+S*

W=

(8

y

+

1

-

4

y

-

4

y)dxdydzW2SS+S*

S*I

=

(8

y

+1)xdydz

+

2(1-

y

)dzdx

-

4

yzdxdy=

-

W=

dv

=Dxzdxdz31+z

+

x2

216dy

=002pdq2(2

-

r

2

)rdr

=

2p,

=

2

(1

-

32

)dzdx

=

-32p,S*

S*故，I

=2p

-(-32p

)=34p.3rr3

r3例6

I

=

x

dydz

+

y

dzdx

+

z

dxdy，r

=x2

+

y2

+

z2，

是球面x2

+

y2

+

z2

=

R2

的外側.解:R3

I

=

1

xd

y

dz

+

y

dz

dx

+

z

dxdyWR3=

1

3dxdydz=

4pb2

c217x2

y2

z