2022-2023學年云南省紅河哈尼族彝族自治州高一下學期3月月考數

學試題

一、單選題

1.已知集合'=8={X|04X42},則”8=（）

A{x|-1<x<2}B{x|-l<x<2}

c{x|0<x<l}D{x|0<x<2}

【答案】B

【分析】結合題意利用并集的定義計算即可.

【詳解】由題意可得："U8={X|-1<XW2}

故選：B.

2.已知awR,則>6”是“小>36”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由充分條件、必要條件的定義判斷即可得解.

【詳解】由題意，若。>6,則/>36,故充分性成立；

若標>36,則“>6或”-6,推不出。>6,故必要性不成立：

所以“。>6，，是“1>36”的充分不必要條件.

故選：A.

In|x|

y=-------

3.函數.丁+2的圖像大致為（）

【分析】由函數為偶函數可排除AC,再由當時，排除D,即可得解.

設黑，貝IJ函數/（'）的定義域為部叫，關于原點對稱,

【詳解】

/（x）=1n=f（x）

又（r『+2,所以函數/（X）為偶函數，排除AC;

當XW（0,1）時，1巾|（0,八2）0

，所以排除D.

故選：B.

y=sin3x-y

4.為了得到函數、=sin3x的圖象，只要把函數的圖象（）

717U

A.向左平移了個單位長度B.向右平移了個單位長度

兀71

C.向左平移,個單位長度D,向右平移5個單位長度

【答案】A

【分析】根據三角函數的平移變換規則計算可得.

y=sin(3x-；|=sin31x71

【詳解】因為21

j^=sin(3x--兀

的圖象向左平移五個單位長度，就可以得到函數了=$布3才的圖象.

所以只需把函數

故選：A

5.設奇函數/（X）滿足“1）二°,且對任意占，&*（°，+00）,且*都有

（演-》2）［/（玉）一/（%）］＜°,則不等式X-/（x）＜°的解集為（）

A(-l,0)u(l,+oo)B.(7,60,+8)

C.Hl)D.(-2,-l)U(O,l)

【答案】B

【分析】根據題意可得：函數八刈在（《，°）和（°，“°）上單調遞減，結合『0）二°即可求解不等式.

【詳解】由題意知：對任意“I,々e（O,+8）,且x產3,

都有a-%）［/（須）一/a）］<o,則函數/（X）在（0,+8）上單調遞減；

又因為函數“X）為奇函數，所以函數/（X）在（F，°）上單調遞減，

因為則有/（-1）=°,由x，/（x）<°可得：

當“0時，不等式可化為=解得：x>l；

當x<0時，不等式可化為/（x）>0=/（T）,解得：x<T；

綜上：原不等式的解集為（-/LDuag）,

故選：B.

a=log20.3,6=log10.4,c=0.4°,

6.設,則a,b,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.c<a<bQh<c<aD.a<c<h

【答案】D

【分析】根據指數函數和對數函數的性質求出a，6，。的范圍即可求解.

［詳解］；108203<1。821=0,.?.4<0,

vlog,0.4=-log0.4=log—>log2=1

2222

2''，:.b>\，

?：0<0.4°3<0.4°=1,.-.O<C<1,

：.a<c<b

故選：D.

7.在邊長為1的正中，BD=2DC,BE=EC,則亞.萬=（）

123

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據平面向量基本定理、共線定理與數量積綜合應用即可求得衣?質的值.

【詳解】如圖,

A

因為麗=2反，BE=EC,則。為邊8c上靠近C的三等分點，E為邊8c的中點,

.，111,■?一,■?'?■■-2,■■一?"2,，，?■一1，?，r

AE=-AB+-ACAD=AB+BD=AB+—BC=AB+—(AC-AB)=士AB+士AC

所以22,3333

不就=畫.|狗.cosg=lxlx；=g

又在正“8C中,

則而而=q萬+；碼+：對1方+）.％+：就2］+2+；］

故選：D.

8.設函數/（X）的定義域為R,/（X+D為奇函數，/Q+2）為偶函數，當xe［L2］時,

f（x}=ax2+b若/（。）+/（3）=6,則/（）=（）

_9_375

A.4B.2C.4D,2

【答案】D

【分析】通過/（X+D是奇函數和/（x+2）是偶函數條件，可以確定出函數解析式/GA-2/+2,

進而利用定義或周期性結論，即可得到答案.

【詳解】［方法一|：

因為/（x+1）是奇函數，所以/（r+l）=-/（x+l）①；

因為/（x+2）是偶函數，所以/G+2）=/（-x+2）②

令x=l,由①得："°）=?（2）=-（4。+6）,由②得：“3）=/（1）"+6,

因為/（0）+/（3）=6,所以-（4a+b）+Q+b=6no=-2

令x=0,由①得：/(1)=-/0)=/(1)=0=6=2,所以/(x)=-2/+2

思路一：從定義入手.

所以/⑸―⑸=5.

［方法二I：

因為/（X+1）是奇函數，所以/（-x+l）=-/（x+l）①；

因為/（X+2）是偶函數，所以/（x+2）=/（-x+2）②.

令x=l,由①得：/（°）=一八2）=一（4?）,由②得：f@=fO）=a+b,

因為/（°）+/G）=6,所以-（4a+6）+a+6=6na=-2,

令x=0,由①得：/（l）=-"l）n/（l）=°nb=2,所以小）=一2/+2.

思路二：從周期性入手

由兩個對稱性可知，函數/（X）的周期7=4.

所以唱"Il卜寸露.

故選：D.

【點睛】在解決函數性質類問題的時候，我們通常可以借助一些二級結論，求出其周期性進而達到

簡便計算的效果.

二、多選題

9.設。，AceR,a<b,則下列不等式一定成立的是（）

A.a+c<b+cB.e0>e~b

11

—>—

C.ac2Vbe2D.ab

【答案】AB

【解析】由不等式的性質，歹=，的單調性及特殊值法，即可判斷選項的正誤.

【詳解】A：由不等式性質：不等式兩邊同時加上或減去同一個數，不等式符號不變，即

a+c<b+c,正確；

B：因為y=e”在定義域內為增函數，由題意知故有e-">""，正確；

C：當。=0時，ac2=bc2,故錯誤；

D：當“＜°＜b時，ab,故錯誤；

故選：AB.

10.下列結論正確的是（）

5兀

A.一不是第三象限角

71

B.若圓心角為5的扇形的弧長為冗，則該扇形的面積為兀

__3

C.若角a的終邊上有一點（加=0）,則c°sa5

D.若角。為銳角，則角2a為鈍角

【答案】AB

【分析】由象限角的概念，扇形面積公式，及三角函數的概念判斷選項正誤.

5兀57t

【詳解】選項A中，一至的終邊在第三象限，一不是第三象限角，A正確；

--r=71S='x￥x22=7l

選項B中，設半徑為八則2,所以〃=2,扇形面積22,B正確；

選項C中，P到原點的距離為,（一34+G吟=5網,當機＞0時，cos”一3，當機＜0時,

3

cosa=一

5,C錯誤；

選項D中，。=30°是銳角，但2a=60。不是鈍角，D錯誤.

故選：AB.

II.已知平面向量“=（-2/），坂=（4,2）,c=（2"）,則下列說法正確的是（）

A.若之/二，貝iJ，=TB.若5-LC,貝曠=-4

3-

C.若f=l,則向量"在"上的投影向量為D.若，＞-4,則向量3與"的夾角為銳角

【答案】AB

【分析】根據向量線性運算即數量積公式可得AB正確；根據投影向量定義可得向量。在。上的投

3-

影向量為一《二即C錯誤；由，＞-4可得'?"＞（）,但此時向量B與Z?的夾角可以為零角并非銳角，

可得D錯誤.

-2_2

【詳解】若：/無，根據平面向量共線性質可得1"t,即f=-l,所以A正確；

若石，熱,可得注2=0,即4x2+2f=0,解得f=-4,所以B正確；

a*c--4+1-3-

rC=22C—c

ri2+i5

若f=l,c=（2』）C

由投影向量定義可知向量“在c上的投影向量為ll,即C錯

誤;

cos^,c^=ifX>0

若f>-4,則嬴=4x2+2f>0,所以l^ln:

但當f=l時,cos-c)=l，G，c",即此時向量5與展的夾角為零角，所以D錯誤.

故選：AB

/(%)=[/空2%|+2,0<x<2

12.已知函數1X2-8X+15,X>2,若方程/(》)=%有四個不同的根再,々，當戶4,且

x,<x2<x3<x4j則下列結論正確的是()

A._]〈左<2B.+x2>2>/2

Cx)x2(x3+X4)=8D玉+2%2>3

【答案】BCD

【分析】根據函數解析式作出/(X)與歹=%的圖像，

對于選項A：根據圖像結合已知可以直接判斷；

1

石=—

對于選項B：根據圖像得出結合已知得出山、々的范圍，即可代入列式得出々，在將選項中的

未知數轉化為一個，即可根據基本不等式得出答案；

對于選項C：根據二次函數性質得出石+匕，即可結合選項B中得出的國*2,進行判斷；

g(x)=2x+—(1<x3<2)

對于選項D：將選項中轉化，令x,根據單調性定義或對鉤函數的性質得出

其在0'2)上的單調性，即可根據單調性得出最值進行判斷.

-log2^+2,0<x<1

|logx|+2,0<x<2/(x)=<logx+2,l<x<2

【詳解JO22

-8x+15,x>2則—8x+15,x>2

在同一坐標系內作出/(冷與y二”的圖像，如下圖所述:

對于選項A：根據圖像可得，若方程‘（"）='有四個不同的根，只需2〈發<3,故A錯誤;

對于選項B：根據圖像可得

--

由題意可得:/（%）=/&）,gp-log2x1+2=log2x2+2）則?

+x2=—+x2>2—?x2=25/2

則X2VX2,

2

—=X2（\<X2<2）r~

當且僅當々,即乙=。2時，等號成立，故B正確；

對于選項C;根據圖像可得點&M）與（*"）關于直線X=4對稱，則X3+巧=8,

根據選項B中證明*々=1,則為％6+丫4）=8,故c正確；

X1+2,X2=F2/(1<X?<2)

對于選項D：“2,

g(x)=2x+—(1<x2<2)

令工，

任取"'、"C(L2),且，〃<〃，

g⑺-g(〃)=5一〃)*-)

貝I]加〃，

l<m<n<29則加一〃<0,mn>1,則g(膽)-g(〃)<。，即g("7)<g(〃),

即函數g(X)在(L2)上單調遞增，

g(X2)=J+2x2>g(l)=3

則匕，即司+〃2>3,故口正確；

故選：BCD.

三、填空題

13.設向量￡,5的夾角的余弦值為W,且M=l"一3,則儂+?=.

【答案】11

cos”l

【分析】設公與否的夾角為巴依題意可得c°s-3,再根據數量積的定義求出最后根據數

量積的運算律計算可得.

1八1

【詳解】解：設￡與石的夾角為'，因為￡與B的夾角的余弦值為3,即-3,

MH所以屋叼種COSO=1X3X；=1

所以+1）5=22%+片=21否+|邛=2x1+32=11

故答案為：11.

14.已知函數/（*）=1°8"6-3）+2（。＞。且。工1）的圖象經過定點A,若基函數V=g（x）的圖象

也經過點A,則g*）=.

【答案】s

【分析】根據題意，求出定點A坐標，進而求出基函數'=86）的解析式，即可求出答案.

【詳解】因為函數/（x）=bg"G-3）+2（。＞。且axi）的圖象經過定點A,

可知定點"（42）,

設名⑺…，代入'（42）,可得。=5,

所以g（x）=J=4,

所以g（3）=C

故答案為：6

15.在平行四邊形ZBCC中，M,N分別為“8,/。上的點，且旃=2礪,麗=而，連接力C,與

MN交于點P,若萬=彳就，則2的值為.

2

【答案戶

【分析】根據給定條件，利用向量的加法，結合共線向量定理的推論求解作答.

【詳解］在〃/8C￡）中，/民力。不共線，因為4M=2MB,AN=ND,

DC

J

AMB

_____3_______

AP=AAC=A(AB+AD)=A(-AM+2AN)=一AM+2AAN

則有22,

“+22=12=2

又P,",N三點共線，于是得2，解得7,

2

所以見的值為7

2

故答案為：

1

sinxH-----

16.關于函數［(x)=sinx有如下四個命題：

(iy(x)的圖象關于y軸對稱.

②/、(x)的圖象關于原點對稱.

萬

③/'(X)的圖象關于直線x=5對稱.

@f(x)的最小值為2.

其中所有真命題的序號是.

【答案】②③

【分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用

對稱性的定義可判斷命題③的正誤；取一萬<x<°可判斷命題④的正誤.綜合可得出結論.

【詳解】對于命題①，“J22,I6)22,貝ij(6)16人

所以，函數/G)的圖象不關于軸對稱，命題①錯誤；

對于命題②，函數/G)的定義域為定義域關于原點對稱，

/(-x)=sin(-x)+—~~-=-smx---=-fsinx+—

sm(-x)sinxIsmxJ

所以，函數/(X)的圖象關于原點對稱，命題②正確；

對于命題③,

所以，函數/(X)的圖象關于直線、=5對稱，命題③正確;

f(x)=sinx+—!—<0<2

對于命題④，當_]<x<0時，sinx<0,貝ijsinx,

命題④錯誤.

故答案為：②③.

【點睛】本題考查正弦型函數的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計算能力，屬于

中等題.

四、解答題

17.化簡求值:

⑴

⑵log、＞/萬+1g25+lg4+7*2

【答案】（1）-5

11

⑵2

【分析】(1)根據指數基的運算法則直接求解即可;

(2)根據對數運算法則直接求解即可.

-1?111

=83-23x23+l=--2+l=--

【詳解】(1)原式22.

1311

=-log.33+lgl00+2=-+2+2=—

(2)原式2囪22.

18.已知平面向量，=(4-3)，5=(5,0),

(1)求。與B的夾角的余弦值；

(2)若向量Z+癌與￡一在互相垂直，求實數后的值.

4

【答案】(1)5.(2)±1

cos^,^=i^ipr4

【詳解】試題分析：(1)由數量積公式忖打，得夾角余弦值為《；(2)

(a+kb)(a-kb)=a2-k2b2=0^所以一

試題解析：

(1)?.?向量1=(4，-3)，5=(5，°),

一a-b204

COS。,。r=—^7=--=-

,同忖5x55

4

向量￡與否的夾角的余弦值為

(2)，.?向量￡+瘍與￡-笈互相垂直，

+ki)y(a-kh^=a2-k2b2=0

又公=川=25,:.25-25k2=0...%=±1

點睛：本題考查數量積的應用。數量積公式同網C°S'=*X2+M%,學生要熟練掌握數量積公

式的應用，能夠轉化到求夾角公式。兩向量垂直，則數量積為零。本題為基礎題型，考查公式的直

接應用。

19.已知函數/(x)=Ainxc°sx-c°s2x+"

(1)求函數/G)的對稱軸方程；

xJo5/

xeu,—/./\

(2)當L12」時，函數的最大值與最小值和為2,求

x=—+kn(kGZ)

【答案】⑴3'

a=-5

⑵4

/(x)=sin(2x-^j-1

--FCl

【分析】(1)利用二倍角和輔助家公式可化簡得到2，采用整體對應的方

式可求得對稱軸方程;

(2)由正弦型函數值域求法可求得/(*)的最大值和最小值，由此可構造方程求得。的值.

.C1c1.(c71I1

sin2x—cos2x---ci=sin2x------Fci

【詳解】(1)22262

人2x一方=]+析(%￡Z)

，解得：

71

X=一+hr(左￡Z)

'/(')的對稱軸方程為:3

c兀7T27r

xe0,—2x——e

L12」時,6'T

(2)當6

x.Z\.兀11

/./（X）=sin----+a=—+a

J\/max222

/.f（x）4-f（x）=2a--=2

J\/maxJ\Zmin,解得：I.

71

X---

20.已知函數八x)=/sin(ox+*)(/>0,⑷>0,@|<乃)，在同一周期內，當12時，”幻取得最

7%

大值4：當12時，/(X)取得最小值-4.

(1)求函數J")的解析式；

兀71\

XG——I

(2)若L2'6)時，函數批x)=7/(x)+l—有兩個零點，求實數f的取值范圍.

【答案】⑴，")"出(2、勺；(2)'4-27,1-14何及+146,29)

【分析】(1)根據正弦型函數的性質得出"=4,7="，由周期公式得出。=2,由函數的最大值得

冗冗21F

—、①=—I-2ATT,1wZ||^

出62,結合例<",整理得出該函數的解析式；

(2)將函數岫)的零點轉化為方程442嗚卜一在區間K工有兩個實根，由

2》+金一生，二

L261得出3L33人結合函數？=夕!1》在區間

1-1

7的范圍，整理得出實數，的取值范圍.

r_74冗_冗

【詳解】(1)由題意知Z=4,2~~l2~n~l9得周期7=%

d

n+9±

x=一4sin2x一事（psi-

得0

當12時，〃x）取得最大值4,即I12

工+0=工+2k兀、kwZm=—+2%肛keZ

得6*2，得“3,

71

（P=-

又...當發=0時，3,

八幾

/（x）=4sin2x+—

即'

_---,-4sin2.xH—=----

（2）由已知“（X）=7/（X）+1T=0在區間L26J上有兩個實根，即方程I3J7在區間

-生二]

-2'6）上有兩個實根.

.-xs,2x+ye~~T，~r}''-s'n^2x+y^e[-1，1]4sin（2x+?）e[-4,4]

271Tl(7171(乃24)

由于函數夕=$山、在區間I3'2」上單調遞減，在區間13'，」上單調遞增，在區間3j±

單調遞減，

2x+—=--4sin(-4]=-2>/52x+—=--4sinf--1=-4

又當33時，I3)，當32時，I2；

Cn兀A.九AC萬2乃A.2兀'R

2x4—=-4sin—=42x+—=——4sin——=2j3

即實數，的取值范圍是："（"7」T4向U（1+14百,29）

【點睛】易錯點睛：本題主要考查了由正弦函數的性質求函數的解析式以及由函數零點個數求參數

的范圍，考查運算求解能力，注意零點問題，區間端點開閉問題，是易錯題，屬于中檔題.

21.為了做好新冠疫情防控工作，某學校要求全校各班級每天利用課間操時間對各班教室進行藥熏

消毒.現有一種備選藥物，根據測定，教室內每立方米空氣中的藥含量（單位：mg）隨時間

x（單位：力）的變化情況如圖所示，在藥物釋放的過程中夕與x成正比，藥物釋放完畢后，夕與

…,/（1』），5（1,—）

x的函數關系為夕="（。，6為常數），其圖象經過516,根據圖中提供的信息，解決

下面的問題.

(1)求從藥物釋放開始，y與x的函數關系式；

(2)據測定，當空氣中每立方米的藥物含量降低到°25mg以下時，才能保證對人身無害，若該校課

間操時間為4。分鐘，據此判斷，學校能否選用這種藥物用于教室消毒？請說明理由.

5x,0<x<—

y=\.」'

(―)v5^>-

【答案】⑴325；

(2)可以，理由見解析.

【分析】(1)將圖象上給定點的坐標代入對應的函數解析式計算作答.

(2)利用(1)的結論結合題意，列出不等式求解作答.

0<x<_]=_I_、

【詳解】(1)依題意，當一'-5時，設夕=丘，因函數了=依的圖象經過點即5,解得

4=5,

]111-1-\--1

x=—Lb=——=a5=a5a=(—)4=(2-4)4=—

又當5時，1=/,解得5,而圖象過點8,則16,因此1632,

5x,0<x<—

y=\..\

IX——

(--)5,x>—

所以y與X的函數關系式是[325.

1x-1}