信號與線性系統主講教師：吳赟電話：67792332（辦）Email:wuyun_hit@1知識點:

信號的分類；信號的簡單處理；系統的分類。重點與難點:

能量信號和功率信號的判定；

LTI系統的判定。上講回顧2第二章連續時間系統的時域分析本章介紹連續時間信號的時域分解和LTI連續時間系統響應的時域求解。詳細闡述沖激信號及其特性；系統的零輸入響應、零狀態響應及沖激響應。重點介紹卷積積分以及利用其計算系統的零狀態響應。3

時域分析方法:不涉及任何變換，直接求解系統的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎。

本課程中我們主要討論輸入、輸出描述法。2.1引言4系統分析過程

經典法:前面電路分析課里已經討論過，但與(t)有關的問題有待進一步解決--h(t)；

卷積積分法:

任意激勵下的零狀態響應可通過沖激響應來求。(新方法)

5本章知識點線性系統完全響應的求解；沖激響應h(t)的求解；卷積的圖解說明；卷積的性質；零狀態響應=f(t)

h(t)。

重點難點卷積積分求沖激響應h(t)

6一．物理系統的模型許多實際系統可以用線性系統來模擬。若系統的參數不隨時間而改變，則該系統可以用線性常系數微分方程來描述。7二．微分方程的列寫根據實際系統的物理特性列寫系統的微分方程。對于電路系統，主要是根據元件特性約束和網絡拓撲約束列寫系統的微分方程。

元件特性約束：表征元件特性的關系式。例如二端元件電阻，電容，電感各自的電壓與電流的關系，以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關系等等。網絡拓撲約束：由網絡結構決定的電壓電流約束關系,KCL,KVL.

8三．n階線性時不變系統的描述若系統為時不變的，則a，b均為常數，此方程為常系數的n階線性常微分方程。階次：方程的階次由獨立的動態元件的個數決定。

一個線性系統，其激勵信號與響應信號之間的關系，可以用下列形式的微分方程式來描述

9例2.1-1如圖2.1-1所示的RLC串聯電路，e(t)為激勵信號，響應為i(t)，試寫出其微分方程。

10上式是一個微、積分方程，對方程兩邊求導，并代入系數，整理為這是二階系統的數學模型——二階線性微分方程。解:這是有兩個獨立動態元件的二階系統，利用KVL定理列回路方程，可得11四．求解系統微分方程經典法雙零法零輸入：可利用經典法求零狀態：利用卷積積分法求解變換域法12解的形式:全響應=齊次解rh(t)+特解rp(t)1.齊次解rh(t):特征方程(特征根)a.特征根無重根時:b.特征根有重根時,以為k重根,其他皆為單根為例:經典法13特解是滿足微分方程并和激勵信號形式有關的解。表1列出了幾種激勵及其所對應特解的形式。備注A（常數）BA（待定常數）

不等于特征根

等于特征單根

重特征根

所有特征根均不等于零

重等于零的特征根激勵特解或等于B有所有特征根均不等于2.14齊次解往往稱為系統的自然響應或者固有響應,函數形式僅取決于系統本身的參數(特征值),但是系數ci與激勵有關;而特解稱為受迫響應或者強迫響應,完全由激勵信號決定.*齊次解以及特解中的待定系數的確定:①特解系數可將特解回代方程得到②齊次解系數由初始值決定15例2.1-2：描述某系統的輸入輸出方程為已知求系統的響應求系統響應將代入上式得c=2故解：求系統的特征根則系統的響應為16例2.1-3描述某系統的微分方程為r

''(t)+5r'(t)+6r(t)=e(t)求當e(t)=2e-t，t≥0；r(0)=2，r'(0)=-1時的全解；解:特征方程為λ2+5λ+6=0,其特征根λ1=–2，λ2=–3。所以,齊次解為:r

h(t)=c1e–2t+c2e–3t由表1可知，當f(t)=2e–t時，其特解可設為rp(t)=Be–t將其代入微分方程得Be–t+5(–Be–t)+6Be–t=2e–t

解得B=1于是特解為rp(t)=e–t全解為：r(t)=rh(t)+rp(t)=c1e–2t+c2e–3t+e–t其中待定常數c1,c2由初始條件確定。r(0)=c1+c2+1=2，r'(0)=–2c1–3c2–1=–1解得c1=3，c2=–2最后得全解r(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0172.2

算子方程一、算子定義微分算子：

積分算子：

注：利用算子可以將電路中的電感和電容伏安特性記為：

18二、算子運算法則1.算子多項式可進行代數運算；如：

(p+1)(p+2)=p2+3p+22.微分和積分運算次序不能任意顛倒；3.算子方程兩邊p的公因子不能隨意消去。19三、算子方程舉例一般系統：算子方程：20簡記為：或：其中：H(p)稱為轉移算子或算子形式系統函數。D(p)就是齊次方程的特征多項式。因此，零輸入響應就是齊次方程D(p)r(t)=0的解。21例2.2-1求例2.1-1激勵為e(t)，響應為i(t)的系統傳輸算子H(p)。

解

例2.2-1的算子方程為

(p2+5p+6)i(t)=pe(t)則由可得222.3系統的零輸入響應若系統在t=0時未施加輸入信號，但由于t<0時系統的工作，可以使其中的儲能元件蓄有能量，而這能量不可能突然消失，它將逐漸釋放出來，直至最后消耗殆盡。零輸入響應正是由這種初始的能量分布狀態，即初始條件所決定的。求零輸入響應對應于解齊次方程：

D(p)r(t)=0231.一階系統其中注：0-表示激勵接入之前的瞬時；0+表示激勵接入之后的瞬時。24系統的狀態：起始狀態：決定了激勵接入之前的瞬時0-系統的狀態。初始狀態：決定了激勵接入之后的瞬時0+系統的狀態。初始條件：決定了完全響應。25對于零輸入響應，對于零狀態響應，0-未接入激勵，故因此，系統狀態的關系為：26

2.二階齊次微分方程的一般算子形式為

(p-λ1)(p-λ2)r(t)=0

根據下式確定常數c1和c2

rzi(0-)=c1+c2

rzi'(0-)=λ1c1+λ2c2

27若（p-λ)2=0，特征根相同，則是二階重根，此時二階齊次微分方程解的形式為

rzi(t)=c1eλt+c2teλt

t≥0283.n階系統求解零輸入響應由如下兩步構成

1)

確定系統的自然頻率令D(p)=0，將p看成一個代數量，解得其n個特征根。2)確定零輸入響應的形式解：如果沒有重根，則可以確定其形式解為：29若有一個k重根，其余非重根。則：30一般的初始條件為已知零時刻的響應及其各階導數

,帶入形式解中就可以確定待定系數。3)根據初始條件，確定待定系數定解條件：(2.3-1)31式(2.3-1)可用矩陣形式表示為(2.3-2)32

常數c1、...、cn可用克萊姆法則解得，或用逆矩陣表示為33例2.3-1已知系統的傳輸算子H(p)=

2p/(p+3)(p+4)

，

初始條件rzi(0-)=1，

,試求系統的零輸入響應。

解

特征根λ1=-3,λ2=-4則零輸入響應形式為

rzi(t)=c1e-3t+c2e-4t

t≥0

將r(0-)=1，r'(0-)=2代入，可得rzi(t)=6e-3t-5e-4t

t≥0

解出

c1=6

c2=-5

1=c1+c2

2=-3c1-4c234例2.3-2

圖2-1(P24)所示RLC串聯電路中，設L=1H，C=1F，R=2?。若激勵電壓源為0，且電路初始條件為：(1)i(0-)=0，i'(0-)=1A/s(2)i(0-)=0，uC(0-)=10V。這里電壓降的方向設與電流i的正方向一致。分別求上述兩種初始條件下電路的零輸入響應電流。解：建模

求解解釋35思考與練習：求下列系統的零輸入響應解：36作業一：求下列連續時間LTI系統的零輸入響應。(1)(2)37作業2：1.P77,2.12.p78,2.42.5382.4 奇異函數奇異信號（函數）：函數本身有不連續點(跳變點)或其導數與積分有不連續點的一類函數統稱為奇異信號或奇異函數。要求：掌握單位斜變信號、單位階躍信號、單位沖激信號、沖激偶信號等奇異信號。39一、單位斜變信號（斜坡信號、斜升信號）1．

單位斜變信號：2．有延遲的單位斜變信號40二．單位階躍信號1.

定義2.

有延遲的單位階躍信號413.

可代替電路中的開關，故又稱為開關函數42

(a)(b)(c)4.ε(t)給函數的表示帶來方便435．用單位階躍信號描述其它信號其它函數用門函數處理(乘以門函數)，就只剩下門內的部分。

符號函數：(Signum)門函數：也稱窗函數44三．單位沖激信號（難點、重點）1.

單位沖激信號的定義2.

單位沖激信號的性質45定義1規則信號取極限矩形脈沖信號：面積1保持不變；脈寬↓；

脈沖高度↑；

窄脈沖集中于t=0處?！锩娣e為1★寬度為0三個特點：46若面積為k，則強度為k。47定義2：狄拉克(Dirac)函數函數值只在t=0時不為零；

積分面積為1；

t=0

時，，為無界函數。

48沖激函數的性質1．抽樣性2．奇偶性3．尺度變換49抽樣性(篩選性)對于移位情況：如果f(t)在t=0處連續，且處處有界，則有

502.

奇偶性513.對(t