第7講

正弦定理和余弦定理考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)掌握正弦定

理、余弦定理，并能解決一些

簡(jiǎn)單的三角形

度量問題.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題2011年新課標(biāo)第15題考查余弦定理和面積公式；2012年新課標(biāo)第17題以解三角形為背景，考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式；2013年新課標(biāo)Ⅰ第10題以解三角形為背景，考查倍角公式及余弦定理；2014年新課標(biāo)Ⅰ第16題以解三角形為背景，考查正弦定理；2015年新課標(biāo)Ⅰ第17題以解三角形為背景，考查正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面積公式；2016年新課標(biāo)Ⅰ第4題考查余弦定理的應(yīng)用；2017年新課標(biāo)Ⅰ第11題、新課標(biāo)Ⅱ第16題、新課標(biāo)Ⅲ第15題考查正弦定理三角函數(shù)與解三角形

交匯命題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意：強(qiáng)化正、余弦定理的記憶，突出一些推論和變形公式的應(yīng)用.本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)充分利用向量方法推導(dǎo)正

弦定理和余弦定理.重視三角形中的邊角互化，以及解三角形與平面向量和三角函

數(shù)的綜合應(yīng)用，能夠解答一些綜合問題1.正弦定理與余弦定理正弦定理余弦定理定理

a

b

c

sin

A＝sin

B＝

sin

C

＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑a2＝

b2＋c2－2bccos

A

；b2＝a2＋c2－2accos

B；c2＝a2＋b2－2abcos

C(續(xù)表)正弦定理余弦定理變形a∶b∶c＝sin

A∶sin

B∶sin

C；a＝2Rsin

A，b＝2Rsin

B，c＝2Rsin

C；sin

A＝

a

，sin

B＝

b

，sin

C＝

c2R

2R

2Rb2＋c2－a2cos

A＝

2bc

；a2＋c2－b2cos

B＝

2ac

；a2＋b2－c2cos

C＝

2ab應(yīng)用①已知兩角及任一邊，求其他邊或角；②已知兩邊及一邊對(duì)角，求其他邊或角①已知兩邊及夾角，求其他邊或角；②已知三邊，求三個(gè)角A

為銳角A

為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsin

Absin

A<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解r(r

是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：△ABC2.S

＝1absin

C＝1bcsin

A＝1acsin

B2

2

2

＝

4R

2abc＝1(a＋b＋c)·31.(2016

年北京)在△ABC

中，∠A＝2π，a＝b3c，則c＝

.1解析：由正弦定理知，sin

A＝asin

C

c＝3.所以sin

C＝2πsin

313

＝2.2π

π則

C＝π.所以

B＝π－ －

＝6

3

6

6bπ.所以b＝c，即＝1.c2.(2015

年安徽)在△ABC

中，AB＝

6，∠A＝75°，∠B＝45°，則

AC＝

2

.解析：由正弦定理可知：sin[180°－(75°＋45°)]AB

ACsin

45°＝

?

6

＝

ACsin

60° sin

45°?AC＝2.33.(2015

年北京)在△ABC

中，a＝3，b＝

6，∠A＝2π，則∠B＝

.π4解析：由正弦定理，得asin

A＝bsin

B

32，即3

＝sin

B6

.所以sin

B2＝

2.所以∠B＝π4.A.1C.3B.2D.44.(2016年天津)在△ABC

中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝AC＝1(AC＝解析：由余弦定理，得13＝9＋AC2＋3AC－4，舍去).故選A.120°，則

AC＝(

A

)考點(diǎn)1

正弦定理例1：(1)(2017年新課標(biāo)Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin

B＋sin

A(sin

C－cosC)＝0，a＝2，c＝2，則

C＝(

)A.

π

B.12

6π

πC.4πD.3解析：由題意sin(A＋C)＋sin

A(sinC－cosC)＝0，得

sin

Acos

C＋cos

Asin

C＋sin

Asin

C－sin

Acos

C＝0，即sin

C

π3π(sin

A＋cos

A)＝

2sin

C·sinA＋4＝0，所以A＝

4

.由正弦定理＝a

csin

A

sin

C，得2sin

43π sin

C＝

2

，即sin

C61

π＝2.得C＝

.故選B.答案：B(2)(2017年新課標(biāo)Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若

2bcos

B＝acos

C＋ccos

A，則

B＝

.解析：方法一，由2bcos

B＝acos

C＋ccos

A，得2sin

Bcos

B1＝sin

Acos

C＋cos

Asin

C＝sin(A＋C)＝sin

B，得cos

B＝2，∴B＝π.3方法二，由

2bcos

B＝acos

C＋ccos

A，得

2bcos

B＝a×＋c×a2＋b2－c2

b2＋c2－a22ab

2bc2b2

1

π＝

2b

＝b，得cos

B＝2.∴B＝3.π答案：3(3)(2017年新課標(biāo)Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知

C＝60°，b＝

6，c＝3，則

A＝

.或B＝135°(舍),則A＝75°.答案：75°解析：由sin

C＝c

bsin

B

32sin

B*

3

＝

6

?sin

B＝22，所以B＝45°(4)(2016

年新課標(biāo)Ⅱ)△ABC

的內(nèi)角A，B，C

的對(duì)邊分別為a，b，c，若

cos

A＝4，cos

C＝

5

，a＝1，則

b＝

.5

13解析：因?yàn)?/p>

cos

A＝4，cos

C

5

A，C

為三角形內(nèi)角，5

＝13，且所以sin

A＝3，sin

C＝12，sin

B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝5

1365sin

Acos

C＋cos

Asin

C＝63.又因?yàn)閟in

Aa

bsin

B＝

，所以basin

B＝

sin

A＝21.1321答案：13【規(guī)律方法】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.考點(diǎn)2

余弦定理例2：(1)(2016

年新課標(biāo)Ⅰ)△ABC

的內(nèi)角A，B，C

的對(duì)邊2分別為

a，b，c.已知

a＝

5，c＝2，cos

A＝3，則

b＝(

)A.

2

B.

3

C.2

D.3答案：D3解析：由余弦定理，得5＝b2＋4－2×b×2×2.解得b＝13b＝－3，舍去.故選D.(2)(2014

年新課標(biāo)Ⅱ)鈍角三角形ABC

的面積是2，1

AB＝1，BC＝

2，則

AC＝(

)A.5

B.

5C.2D.11解析：∵S＝1AB·BCsin

B＝×1×2

212sin

B＝2，∴sinB＝22.π

3π

3π2

2

2∴B＝4或4

.當(dāng)B＝

4

時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC

＝AB

＋BC

－2AB·BCcos

B＝1＋2＋2＝5.∴AC＝

5，此時(shí)△ABC

為鈍角三角形，符合題意；當(dāng)B＝π時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC24－2AB·BCcos

B＝1＋2－2＝1.∴AC＝1，此時(shí)AB2＋AC2＝BC2，△ABC

為直角三角形，不符合題意.故AC＝

5.答案：B(3)(2014

年北京)在△ABC

中，a＝1，b＝2，cos

C1＝4，則c＝

，sin

A＝

.解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos

C＝1＋4－1＝4，2×2×284＋4－1

7則

c＝2.因?yàn)?/p>

cos

A＝ ＝

，所以

sin

A＝

1－cos2A＝8721－

＝15

1564

8＝

.答案：2

15

8【規(guī)律方法】在解三角形時(shí)，余弦定理可解決兩類問題：①已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角，求其他邊或角；②已知三邊，求三個(gè)角.【互動(dòng)探究】3

，且AB1.(2015年福建)若銳角三角形ABC的面積為10＝5，AC＝8，則

BC＝

7

.2解析：由已知，得△ABC

的面積為1AB·ACsin

A＝20sin

A＝

π

3

π10

3，所以sin

A＝

2

.因?yàn)锳∈0，2，所以A＝3.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos

A＝49，解得BC＝7.考點(diǎn)3正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用例3：(2017

年新課標(biāo)Ⅰ)△ABC

的內(nèi)角A，B，C

的對(duì)邊分a2別為a，b，c，已知△ABC

的面積為3sin

A.求sin

Bsin

C；若6cos

Bcos

C＝1，a＝3，求△ABC

的周長(zhǎng).1a2解：(1)∵△ABC

的面積為2bcsin

A＝3sin

A，1

sin2A∴2sin

Bsin

Csin

A＝3sin

A.3∴sin

Bsin

C＝2.1(2)∵cos

Bcos

C＝6，∴cos(B＋C)＝cos

Bcos

C－sin

Bsin

C＝1－

＝－

.2

16

3

22π

π

1a2∴B＋C＝

3

，A＝3，由2bcsin

A＝3sin

A，得bc＝8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝9.解得b＋c＝

33.∴△ABC

的周長(zhǎng)為3＋33.【規(guī)律方法】有關(guān)三角函數(shù)知識(shí)與解三角形的綜合題是高

考題中的一種重要題型，解這類題，首先要保證邊和角的統(tǒng)一，用正弦定理或余弦定理通過邊角互化達(dá)到統(tǒng)一.一般步驟為：①先利用正弦定理或余弦定理，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含有角的關(guān)系；②再利用三角函數(shù)的和差角公式、二倍角公式及二合一公式將三角函數(shù)化簡(jiǎn)及求值.【互動(dòng)探究】2.(2016

年湖北模擬)在△ABC

中，內(nèi)角A，B，C

所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若bsin

A－3acosB＝0，且b2＝ac，則a＋cb的值為(

)A.22B.

2C.2D.4答案：C解析：在△ABC

中，由bsin

A－3acos

B＝0，利用正弦定3理，得sin

Bsin

A－3sin

Acos

B＝0，∴tan

B＝

3，故B＝π.由余弦定理，得

b2＝a2＋c2－2ac·cos

B＝a2＋c2－ac，即

b2＝(a＋bc)2－3ac.又b2＝ac，∴4b2＝(a＋c)2.求得a＋c＝2.故選C.思想與方法⊙轉(zhuǎn)化與化歸思想在解三角形中的應(yīng)用例題：(1)在△ABC

中，acos

A＝bcos

B，則這個(gè)三角形的形狀為

.解析：方法一，由正弦定理，得sin

Acos

A＝sin

Bcos

B，即sin

2A＝sin

2B.所以2A＝2B

或2A＝π－2B，所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形.2即A＝B

或A＋B＝π.方法二，acosA＝bcos

B，a×b2＋c2－a2

a2＋c2－b22bc

2ac＝b×

，a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，整理化簡(jiǎn)，得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形.答案：等腰三角形或直角三角形(2)在△ABC

中，acosB＝bcos

A，則這個(gè)三角形的形狀為

.解析：方法一，由正弦定理，得sin

Acos

B＝sin

Bcos

A，即sin(A－B)＝0.所以A＝B.所以這個(gè)三角形為等腰三角形.整理化簡(jiǎn)，得a2－b2＝0.所以這個(gè)三角形為等腰三角形.答案：等腰三角形方法二，a×a2＋c2－b2

b2＋c2－a22ac

2bc＝b×

，【規(guī)律方法】已知條件acos

A＝bcos

B，acos

B＝bcos

A

中既有邊，又有角，解決