2022-2023學年吉林省長春市高二下學期期中數學試題一、單選題1．設全集為R，集合，，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由題意首先求得，然后進行交集運算即可求得最終結果.詳解：由題意可得：，結合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2．兩個變量與的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，它們的相關系數如下表，其中擬合效果最好的模型是（

）模型模型1模型2模型3模型4相關系數A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4【答案】B【分析】根據相關系數的定義，判斷的大小，即可判斷選項.【詳解】根據相關系數的定義可知，越大，約接近于1，則擬合效果越好.由數據可知，模型2的相關系數最大，所以擬合效果最好.故選：B3．已知2，，成等比數列，則a的值為（

）A．2 B．4 C．2或4 D．無法確定【答案】A【分析】根據等比數列的性質進行求解即可.【詳解】依題意，，故，解得a＝2．故選：A4．某質點的位移函數是（），則當時，它的速度對的瞬時變化率（即加速度）是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據題意可先求出，再求出即可.【詳解】由題可得，即，，.故選：A.5．拋擲一枚質地不均勻的硬幣（兩面圖案分別為“花”“字”）一次，記“花”面朝上的概率為，令隨機變量，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得服從兩點分布，然后根據方差的概念即得.【詳解】由題知，服從兩點分布，且，所以.故選：D.6．某試驗分5個程序，其中程序B、C實施時必須相鄰，則試驗的實施方法有（

）A．24種 B．48種 C．96種 D．120種【答案】B【分析】利用捆綁法：先將B、C作為一個整體，再與剩余程序排列即可.【詳解】先將B、C作為一個整體，共有種；再與剩余程序排列，共有種；所以共有種.故選：B.7．若過雙曲線的一個焦點作雙曲線的一條漸近線，垂線交軸于點（為雙曲線的半焦距），則此雙曲線的離心率是A． B． C．2 D．【答案】A【解析】不妨取雙曲線的左焦點，由題得方程，化簡即得解.【詳解】不妨取雙曲線的左焦點，則過點且與直線垂直的直線方程為，根據題意，得點在直線上，，.故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質和離心率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8．若函數存在增區間，則實數的取值范圍為A． B．C． D．【答案】C【分析】先假設函數不存在增區間，則單調遞減，利用的導數恒小于零列不等式，將不等式分離常數后，利用配方法求得常數的取值范圍，再取這個取值范圍的補集，求得題目所求實數的取值范圍.【詳解】若函數不存在增區間，則函數單調遞減，此時在區間恒成立，可得，則，可得，故函數存在增區間時實數的取值范圍為．故選C.【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查不等式恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.二、多選題9．若且，則實數m的值可以為（

）A． B． C．0 D．1【答案】AD【分析】令可得，解得即可.【詳解】因為，令可得，所以，所以或，解得或.故選：AD10．下列不等式中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用作差法判斷選項ABC的正誤，利用基本不等式的使用條件判斷D錯誤即可.【詳解】∵，故，A正確；，，的符號不定，所以與的大小不定，B錯誤；，故，C正確；，當時，成立，但當時，，則不成立，故錯誤．故選：BD．11．設隨機變量X服從正態分布，且X落在區間內的概率和落在區間內的概率相等．若，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據正態分布對稱性以及區間概率關系可得，再根據正態分布對稱性求對應區間概率，最后對照選項作選擇.【詳解】因為正態分布關于對稱，且X落在區間內的概率和落在區間內的概率相等，則，故A正確；可得正態分布關于對稱，則，又因為，則，，故C、D正確；但無法確定的大小，故B錯誤；故選：ACD.12．下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】構造函數，利用導數分析其單調性，然后由、、、得出每個選項的正誤.【詳解】令，則，令得易得在上單調遞增，在上單調遞減所以①，即，即，故A正確②，即，所以可得，故B錯誤③，即，即所以，所以，故C正確④，即，即，即所以，故D錯誤故選：AC【點睛】本題考查的是構造函數，利用函數的單調性比較大小，解題的關鍵是函數的構造和自變量的選擇，屬于較難題.三、填空題13．集合的非空真子集的個數是______．【答案】【分析】首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根據含有個元素的集合有個非空真子集計算可得.【詳解】由，即，解得，所以，即集合含有個元素，故集合的非空真子集有個.故答案為：14．若“”是“”的必要不充分條件，則實數a能取的最大整數為_______________．【答案】【分析】先由集合與充分必要的關系得到是的真子集，從而利用數軸法得到，由此得解.【詳解】因為“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，因為等價于，所以是的真子集，所以，所以實數a能取的最大整數為.故答案為：.15．盒中有個紅球，個黑球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是_________．【答案】/【分析】根據，由全概率公式計算可得結果.【詳解】記事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；則；，；，，.故答案為：.16．過拋物線的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若，則此拋物線方程為__________．【答案】【分析】作準線于，準線于，設，由拋物線定義得，結合求得，進而求出，即可求得拋物線方程.【詳解】如圖，作準線于，準線于，設，由拋物線定義得，，故，在直角三角形中，因為，，所以，從而得，設準線與x軸交于，則，所以，因此拋物線方程為.故答案為：.四、解答題17．設數列是公差為的等差數列，已知，(1)求數列的通項公式；(2)若，且的前n項和為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等差數列的通項公式求出公差，進而求解；（2）結合（1）的結論得到，利用裂項相消法即可求解.【詳解】（1）因為數列是公差為的等差數列，且，所以，則或.又，，∴.（2）由（1）可得，，∴18．設函數．(1)求的單調區間；(2)當時，求的取值范圍．【答案】(1)單調遞增區間為，單調遞減區間為.(2)【分析】（1）求出函數的導函數，再解關于導函數的不等式，即可求出函數的單調區間；（2）由（1）可得函數在上的單調性，即可求出函數的最小值，再求出區間端點的函數值，即可求出函數的值域.【詳解】（1）因為定義域為，所以，因為，所以，所以當時，當時，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）由（1）可得在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以.19．某網站統計了某網紅螺螄粉在2022年9月至2023年2月（月份代碼為1~6）的銷售量y（單位：萬份），得到以下數據：月份代碼x123456銷售量y6710111214(1)由表中所給數據求出關于的經驗回歸方程；(2)為調查顧客對該網紅螺螄粉的喜歡情況，隨機抽查了200名顧客，得到如下列聯表，請填寫下面的列聯表，并判斷依據的獨立性檢驗，能否認為“顧客是否喜歡該網紅螺螄粉與性別有關”．喜歡不喜歡合計男100女60合計110（參考公式：經驗回歸方程：，其中，），其中．臨界值表：0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)(2)列聯表見解析；能認為“顧客是否喜歡該網紅螺螄粉與性別有關”【分析】（1）根據回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.（2）根據已知條件填寫列聯表，計算的值，由此作出判斷.【詳解】（1）依題意可得，，，，所以，所以，所以.（2）依題意可得列聯表如下：喜歡不喜歡合計男7030100女4060100合計11090200所以，依據的獨立性檢驗，能認為“顧客是否喜歡該網紅螺螄粉與性別有關”．20．已知函數，當時，函數有極值1.（1）求函數的解析式；（2）若關于x的方程有一個實數根，求實數m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據，可得可得結果.（2）根據等價轉換的思想，可得，利用導數研究函數的單調性，并比較的極值與的大小關系，可得結果.【詳解】（1）由，有，又有，解得：，，故函數的解析式為（2）由（1）有可知：故函數的增區間為，，減區間為，所以的極小值為，極大值為由關于x的方程有一個實數根，等價于方程有一個實數根，即等價于函數的圖像只有一個交點實數m的取值范圍為【點睛】本題考查根據極值求函數的解析式，還考查了方程的根與函數圖像交點的等價轉換，屬基礎題.21．某射擊俱樂部將要舉行移動靶射擊比賽．比賽規則是每位選手可以選擇在區射擊3次或選擇在區射擊2次，在區每射中一次得3分，射不中得0分；在區每射中一次得2分，射不中得0分．已知參賽選手甲在區和區每次射中移動靶的概率分別是和．(1)若選手甲在區射擊，求選手甲至少得3分的概率．(2)我們把在、兩區射擊得分的數學期望較高者作為選擇射擊區的標準，如果選手甲最終選擇了在區射擊，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出對立事件的概率，在得出選手甲至少得3分的概率；（2）分別求出在，區的得分的數學期望，從而得出不等式，解出的范圍．【詳解】（1）選手甲在區射擊不得分的概率為，選手甲在區射擊至少得3分的概率為．（2）設選手甲在區射擊的得分為，在乙區射擊的得分為，則的可能取值為0，3，6，9，的可能取值為0，2，4，則，，，，，，，，，，又，．22．已知函數，，且．(1)當m＝1時，求函數在x＝1處的切線方程；(2)若恒成立，在上存在最小值，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由導數的幾何意義求解即可；（2）利用導函數分析函數的單調性，最值，解決恒成立求參數的值，即可求解.【詳解】（1）當m＝1時，，定義域為：，，所以切點坐標為：，而，所以切線的斜率為：，故切線的方程為：，即.（2）因為，所以，，，因為，所以，所以.所以，，令，則或，