專題6.5平行四邊形的判定（知識講解）【學習目標】1．理解平行四邊形的定義，從角、邊、對角線三個角度理解并識記平行四邊形的判定定理；2．能初步運用平行四邊形的判定進行推理和計算，特別是利用判定定理來證明一個四邊形為平行四邊形；3.能綜合運用平行四邊形的判定定理和平行四邊形的判定定理進行證明和計算．【要點梳理】平行四邊形的判定方法：從邊、角、對角線角度出發，有以下判定方法：1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.特別說明：這些判定方法是學習本章的基礎，必須牢固掌握，當幾種方法都能判定同一個平行四邊形時，應選擇較簡單的方法.這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據，也可作為“畫平行 四邊形”的依據.以上判定方法從邊、角、對角線上進行識記。【典型例題】類型一、平行四邊形的判定??平行四邊形的判定??添加條件構成平行四邊形 1．四邊形中，對角線，相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】分別利用平行四邊形的判定方法進行判斷即可得出結論．解：，四邊形是平行四邊形，故選項A不合題意；，四邊形是平行四邊形，故選項B不合題意；，四邊形是平行四邊形，故選項C不合題意；，四邊形不一定是平行四邊形，故選項D符合題意；故選：D．【點撥】本題考察了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】在四邊形中，對角線相交于點O．給出下列四組條件：①，；②，；③，；④，．其中一定這個四邊形是平行四邊形的條件有（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根據平行四邊形的5個判斷定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷．解：①根據平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可知①能判斷這個四邊形是平行四邊形；②根據平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知②能判斷這個四邊形是平行四邊形；③根據平行四邊形的判定定理：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可知③能判斷這個四邊形是平行四邊形；④根據平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知④不能判斷這個四邊形是平行四邊形（例可能是等腰梯形）；故給出下列四組條件中，①②③能判斷這個四邊形是平行四邊形．故選：A．【點撥】此題主要考查了平行四邊形的判定定理，解題關鍵是準確無誤的掌握平行四邊形的判定定理，難度一般．【變式2】如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．ABCD，ADCBC．AB＝CD，AD＝CB D．ABCD，AD＝CB【答案】D【分析】由平行四邊形的判定定理對邊對各個選項進行判斷即可．解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、∵ABCD，ADCB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項B不符合題意；C、∵AB＝CD，AD＝CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、由ABCD，AD＝CB，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項D符合題意；故選：D．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟記平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．2．在四邊形中，，分別添加下列條件：①；，其中能使四邊形成為平行四邊形的條件有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【分析】由平行四邊形的判定、平行線的判定與性質分別對各個條件進行判斷即可．解：①，，四邊形是平行四邊形；由，，不能判定四邊形是平行四邊形；③，，四邊形是平行四邊形；，，，，，四邊形是平行四邊形；⑤，，，，，四邊形是平行四邊形；其中能使四邊形成為平行四邊形的條件有，共個，故選：．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OC．如果再添加一個條件使得這個四邊形ABCD是平行四邊形，則下列條件中不能保證滿足要求的是(

)A．ADBC B．AD=BC C．ABCD D．OB=OD【答案】B【分析】根據平行四邊形的判定定理進行解答．解：如圖，A、∵ADBC，∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO，∵OA=OC，∴△DAO≌△BCO（AAS），∴OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，此選項不符合題意；B、添加條件AD＝BC不能使四邊形ABCD是平行四邊形，此選項符合題意；C、∵ABCD，∴∠CDO＝∠ABO，∠DCO＝∠BAO，∵OA=OC，∴△DOC≌△BOA（AAS），∴OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，此選項不符合題意；D、∵OB=OD，OA=OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，此選項不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．【變式2】如圖，平行四邊形ABCD中，E，F是對角線BD上的兩點，如果添加一個條件使四邊形AECF是平行四邊形，則添加的條件不能是（）A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D．∠1＝∠2【答案】A【分析】利用SAS證明△ABE≌△CDF可以判斷B選項；利用SAS證明△ABE≌△CDF可以判斷C選項；利用ASA證明△ABE≌△CDF可以判斷D選項．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE；∴AECF；∴四邊形AECF是平行四邊形，故B正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；又∵BF=DE，∴BF-EF=DE-EF，∴BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF，∠AEB=∠CFD；∴∠AEF=∠CFE；∴AECF；∴四邊形AECF是平行四邊形，故C正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；又∵∠1=∠2，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，∠AEB=∠CFD；∴∠AEF=∠CFE；∴AECF；∴四邊形AECF是平行四邊形，故D正確；添加AE=CF后，不能得出△ABE≌△CDF，進而得不出四邊形AECF是平行四邊形，故A錯誤；故選：A．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質相呼應，每種方法都對應著一種性質，在應用時應注意它們的區別與聯系．類型二、平行四邊形的判定??平行四邊形的個數??與已知三個點求點坐標3．已知（如圖），將它沿方向平移，平移的距離為．作出經平移后所得的圖形．寫出與構成的圖形中所有的平行四邊形（不必證明）．【答案】(1)圖見分析；(2)，，，，，．【分析】（1）根據圖形平移的性質畫出平移后的即可；（2）根據圖形平移的性質以及平行四邊形的判定定理即可得出結論．（1）解：如圖所示；（2）解：由圖可知，與構成的圖形中所有的平行四邊形有：，，，，，．【點撥】本題考查的是作圖－平移變換，平行四邊形的判定定理，熟知圖形平移不變性的性質以及平行四邊形的判定定理是解答此題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖所示，在中，兩條對角線相交于點，點、、、分別是、、、的中點，以圖中的任意四點(即點、、、、、、、、中的任意四點)為頂點畫兩種不同的平行四邊形．【答案】答案見分析【分析】第一種：可畫為平行四邊形EFGH，第二種：可畫為平行四邊形DEBG．解：如圖所示【點撥】此題考查了平行四邊形的判定和學生的動手操作能力，解題的關鍵是熟知平行四邊形的性質．4．如圖，是由邊長為的小正方形組成的網格，其中點、、均在網格的格點上．直接寫出格點的面積為______；(2)在網格中畫出使A、B、、四點構成平行四邊形的所有點；(3)直接寫出線段的長為______．【答案】(1)4 (2)見分析 (3)或【分析】（1）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可；（2）根據平行四邊形的定義畫出圖形即可；（3）利用勾股定理求解．解：（1）故答案為：；（2）如圖，點，，即為所求；（3），．故答案為：或．【點撥】本題考查作圖應用與設計作圖，平行四邊形的判定和性質等知識，解題關鍵是學會用割補法求三角形面積，學會用分類討論的思想思考問題．舉一反三：【變式】在平面直角坐標系中的位置如圖所示（坐標系內正方形網格的單位長度為1）：在網格內畫出關于y軸對稱的圖形；平面內有一點D，使得以點A，B，C，D構成平行四邊形，請直接寫出點D的坐標．【答案】(1)見分析； (2)，或．【分析】（1）先找到A、B、C點關于y軸的對稱點，順次連接即可；（2）將點A向右平移3個單位長度得到點，將點A向左平移3個單位長度得到點，將點B向下移動3個單位，再向右移動2個單位得到點．解：（1）如圖所示：（2）∵一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，∴將點A向右平移3個單位長度得到點，將點A向左平移3個單位長度得到點，將點B向下移動3個單位，再向右移動2個單位得到點．所以，點D的坐標為：，或．【點撥】本題考查畫軸對稱圖形，平行四邊形的判定，有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．類型三、平行四邊形的判定??平行四邊形的證明??全等三角形拼成平行四邊形5．如圖，四邊形中，垂直平分，垂足為點為四邊形外一點，且，．求證：四邊形是平行四邊形；如果平分，，，求的長．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）分別證明，得出結論；（2）利用勾股定理求出，再利用等積法求出，即可得出結論．解：（1）∵，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴過作，∴，∴，∵垂直平分，則,∵，∴，∴．【點撥】本題考查平行四邊形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等積法求高是解決問題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，在平行四邊形中，，平分，交于點E，交的延長線于點F，連接、．求證：四邊形ACDF是平行四邊形；請直接寫出圖中與面積相等的三角形（除外）．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）由平行四邊形的性質得出，由平行線的性質得出，再由角平分線得出，得出，證出，證明，得出，即與互相平分，即可得出結論；（2）根據平行四邊形的一條對角線將平行四邊形分成兩個全等的三角形，利用全等三角形的面積相等，即可得解．解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴∵平分，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴∴，，∴與互相平分，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵平行四邊形的一條對角線將平行四邊形分成兩個全等的三角形（），全等三角形的面積相等，∴圖中與面積相等的三角形有：．【點撥】本題考查平行四邊形的判定和性質．熟練掌握對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，是解題的關鍵．6．如圖，由六個全等的正三角形拼成的圖中，有多少個平行四邊形？為什么？【答案】6個，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形【分析】根據平行四邊形的判定定理求解即可．解：如圖所示，∵六個三角形是全等的正三角形，∴OA=EF，AF=OE，∵兩組對邊分別相等，∴四邊形AOEF為平行四邊形；同理可證，四邊形ABOF，四邊形ABCO，四邊形BCDO，四邊形CDEO，四邊形DEFO均為平行四邊形，∴共有6個平行四邊形，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．【點撥】本題考查平行四邊形的判定，理解并熟練運用平行四邊形的判定方法是解題關鍵．舉一反三：【變式】如圖，在的方格子中，的三個頂點都在格點上，（1）在圖1中畫出線段，使，其中是格點，（2）在圖2中畫出平行四邊形，其中是格點.【答案】（1）見分析；（2）見分析.【分析】（1）過點C作，且點D是格點即可.（2）作一個△BEC與△BAC全等即可得出圖形.（1）解：如圖，線段就是所求作的圖形．（2）解：如圖，就是所求作的圖形【點撥】本題考查作圖-應用與設計，平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考常考題型．類型四、平行四邊形的判定與性質??求坐標??求線段長??求角度7．（1）如圖，以線段、為鄰邊，用尺規作圖畫出平行四邊形（保留作圖痕跡），并說明它用了平行四邊形的哪個判定方法？（2）連接、，若，，，求平行四邊形的面積．【答案】（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（2）．【分析】（1）分別以A、C為圓心，以為半徑畫弧，兩弧相交于點D，則四邊形滿足條件；根據兩組對邊分別相等的四邊形為平行四邊形進行判斷；（2）根據平行四邊形的性質求得，，利用勾股定理求得，再根據面積公式即可求解．解：（1）如圖，平行四邊形為所作；由作法得，，所以四邊形為平行四邊形．結論：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖：設和交于點O，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的判定和性質以及勾股定理．舉一反三：【變式1】如圖，在□ABCD中，F是AD的中點，延長BC到點E，使，連結DE，CF．求證：；若AB=6，AD=8，∠B=60°，求的面積．【答案】(1)見分析 (2)的面積為【分析】（1）根據四邊形是平行四邊形，得，，根據F是AD的中點，，判定四邊形是平行四邊形，即可證明；（2）過點作于點，根據四邊形是平行四邊形，得，，又根據四邊形是平行四邊形，，；根據直角三角形中，所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，求出，的長度，根據三角形的面積公式，即可求出的面積．解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵F是AD的中點，∴，∵，∴，又∵FD∥CE，∴四邊形是平行四邊形，∴．（2）∵四邊形是平行四邊形∴，又∵四邊形是平行四邊形∴，∴∵過點作于點∴∵∴∴∴∴．【點撥】本題考查平行四邊形的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的性質和判定，勾股定理，直角三角形中，所對的直角邊等于斜邊的一半．【變式2】如圖，在四邊形中，，，，點是邊的中點，連接并延長與的延長線交于點，連接、．求證：四邊形是平行四邊形；若，求的長．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）證△BEC≌△FED（AAS），得BE=FE，即可得出結論；（2）由勾股定理得AB，再由平行四邊形的性質得DF=BC=3，則AF=AD+DF=4，然后由勾股定理即可求解．（1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，∴∠A+∠ABC=180°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，又∵E是邊CD的中點，∴CE=DE，在△BEC與△FED中，，∴△BEC≌△FED（AAS），∴BE=FE，∴四邊形BDFC是平行四邊形；（2）解：∵BD=BC=3，∠A=90°，∴由（1）可知，四邊形BDFC是平行四邊形，∴DF=BC=3，∴AF=AD+DF=4，∴．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．類型五、平行四邊形的判定與性質??證明??求線段長??求角度8．如圖，在平行四邊形中，點E，F對角線上，且，連接、、、、求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見分析【分析】連接交于點O，求出，根據兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形是平行四邊形．解：連接交于點O，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形．【點撥】本題考查平行四邊形的性質與判定，熟練掌握平行四邊形性質與判定定理是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】已知：如圖，在中，點D是邊的中點，，交于點，求證：（請用兩種方法進行證明）【答案】見分析【分析】方法一：過點作，交的延長線于點，證明，得出，利用平行四邊形的判定和性質解答即可；方法二：取中點，連接，易知是的中位線，得到，，利用平行四邊形的判定和性質解答即可；解：證明：方法不唯一，答案僅供參考：方法一：過點作，交的延長線于點，∴，∵點是邊的中點,∴∵∴（ASA），∴∵，，∴四邊形是平行四邊形∴∴

方法二：取中點，連接，∵點是邊的中點∴是的中位線，∴，，∵，∴四邊形是平行四邊形∴∴，∴，方法三：延長至，使，連接，（如圖1，方法略）．方法四：過點作，交于點，（如圖2，方法略）．【點撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形的中位線，熟練掌握平行四邊形的判定和性質定理是解題的關鍵．【變式2】如圖，四邊形為平行四邊形，為上的一點，連接并延長，使，連接并延長，使，連接．為的中點，連接．求證：四邊形為平行四邊形；若，，，求的度數．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）根據平行四邊的性質得出，，根據，，可得是的中位線，等量代換得出，可得，即可得證；（2）根據平行四邊形的性質得出，求得，根據，由等邊對等角即可求解．（1）解：證明：四邊形是平行四邊形，，，，，是的中位線，，，為的中點，，

，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，

．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質與判定，中位線的性質與判定，掌握平行四邊形的性質與判定是解題的關鍵．類型六、平行四邊形的判定與性質應用??證明??求線段長??求角度9．如圖，四邊形中，，，過點作，垂足為，且．連接，交于點．（1）探究與的數量關系，并證明；（2）探究線段，，的數量關系，并證明你的結論．【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由見分析；（2）AF=EF+CE，理由見分析．【分析】（1）設∠CAE=，先證∠EAB=∠EBA=45°，再證∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出結論；（2）延長DC交AE延長線于G，連接BG，先證△CEA≌△GEB，再證四邊形ABGD是平行四邊形，最后根據平行四邊形的性質解答即可．解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由：設∠CAE=，∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA=45°，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=45°+，∵AC=AD，∴∠DCA=∠ADC=45°+，∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°；（2）AF=EF+CE，理由：延長DC交AE延長線于G，連接BG，∵CD∥AB，∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，∴CE=EG，AE=BE，又∵∠CEA=∠GEB=90°，