第10章組合受力與變形桿件的強度計算

返回總目錄軸向拉壓MeMe扭轉○○○F平面彎曲一、基本變形回顧FF二、組合變形同時產生兩種或兩種以上基本變形。壓彎組合變形ABFAxFAyPFFxFy壓彎組合變形壓+彎水壩qPhg長江三峽工程偏心壓縮拉彎組合變形彎扭組合變形F雙向彎曲與扭轉組合變形

組合變形的形式有很多種，本章學習三種典型形式。

1.斜彎曲；

2.拉伸（壓縮）與彎曲組合；

3.彎曲與扭轉組合；

應注意通過這幾種典型組合變形的學習，學會一般組合變形的計算原理和方法。三、組合變形下的計算⑤用強度理論進行強度計算。基本解法：①外力分解或簡化：使每一組力只產生一個方向的一種基本變形；②分別計算各基本變形下的內力及應力；④對危險點進行應力分析；？

分析方法：疊加法

前提條件：小變形軸向拉壓FFFFN

Fs扭轉MeMeMeMTMTτmaxτmaxρτ平面彎曲中性層xyz主軸平面xys(Mz)中性軸FQyMz

zxys(My)中性軸平面彎曲中性層xyz主軸平面xzFQzMy

yxz10.1斜彎曲斜彎曲：兩個相互垂直平面內平面彎曲的組合ACBF1F2平面彎曲斜彎曲10.1斜彎曲斜彎曲：兩個相互垂直平面內平面彎曲的組合1.分解將外力沿橫截面的兩個形心主軸分解，得到兩個正交的平面彎曲。二、斜彎曲的研究方法

2.疊加分別研究兩個平面彎曲；然后疊加計算結果。10.1斜彎曲

例：分析圖示懸臂梁斜彎曲時的強度計算。φFyzyzFφlx三、斜彎曲的強度計算10.1斜彎曲10.1斜彎曲平面彎曲（繞z軸）+平面彎曲（繞y軸）=+FφAByzxyzFy=FcosφxyzFz=Fsinφx解：1.外力分析10.1斜彎曲2.應力分析+任一點K（y，z）處的正應力:注意：正應力的正負號判定。yzxMzKyzxMyK10.1斜彎曲+Mz圖FlcosφMy圖Flsinφ（1）確定危險截面:3.強度計算固定端截面zyFy=FcosφxyzFz=Fsinφxzyα中性軸

先確定中性軸的位置；

再作中性軸的平行線，與橫截面邊界相切，切點便是危險點。D1(y1,z1)D2D1、D2為危險點。a.若截面有棱角（如矩形、工字形等）（２）確定危險點，并計算出最大正應力。10.1斜彎曲中性軸方程（1）中性軸是一條過截面形心的直線；斜率設（y0，z0）是中性軸上的任一點。

中性軸位置的確定yzFφα中性軸（y0，z0

）中性軸：中性軸上各點處的正應力均為零。（2）當Iz≠Iy，α≠φ，中性軸與荷載線不垂直。而撓曲線與中性軸垂直，所以撓曲線與荷載線不在同一平面內，為斜彎曲。yzxzyFφα中性軸荷載作用面Fφ荷載作用面f撓曲線平面+=mm中性軸maxtsD1D2若截面有棱角，也可無需定出中性軸，由直接觀察得出，危險點必在棱角處。MymaxyzxD1D2yyWMmaxMzmaxyzxD1D2

最大正應力

由于兩個彎矩引起的最大拉應力發生在同一點，最大壓應力也發生在同一點，因此，疊加后，橫截面上的最大拉伸和壓縮正應力必然發生在矩形截面的角點處。Mz10.1斜彎曲zyα中性軸b.若截面無棱角，如何確定危險點?D1(y1,z1)D2D1、D2為危險點。?10.1斜彎曲（3）強度條件危險點D1、D2處于單向應力狀態。D1D2

若許用拉、壓應力不同，則拉、壓強度均應滿足。D1D210.1斜彎曲斜彎曲時的變形LZyxcPZPYzycPffyfzfb研究自由端的撓度10.1斜彎曲討論zycPffyfzfb式中：b---總撓度f與y軸的夾角；

f---總載荷P與y軸的夾角。1.分析斜彎曲時，如何確定危險點的位置？2.中性軸位置在何處？3.加載方向與中性軸之間的關系如何？思考題10.1斜彎曲

一般生產車間所用的吊車大梁，兩端由鋼軌支撐，可以簡化為簡支梁。圖中l=2m。大梁由32a熱軋普通工字鋼制成，許用應力＝160MPa

。起吊的重物的重量FP＝80kN，并且作用在梁的中點，作用線與y軸之間的夾角＝5。

試校核:吊車大梁的強度是否安全？例題110.1斜彎曲解：1.首先，將斜彎曲分解為兩個平面彎曲的疊加

將FP分解為x和y方向的兩個分力FPz和FPy，將斜彎曲分解為兩個平面彎曲，

dc10.1斜彎曲解：2.求兩個平面彎曲情形下的最大彎矩

根據前幾節的例題所得到的結果，簡支梁在中點受力的情形下，最大彎矩Mmax=FPl/4。將其中的FP分別替換為FPz和FPy，便得到兩個平面彎曲情形下的最大彎矩：

dc10.1斜彎曲解：3.計算兩個平面彎曲情形下的最大正應力

在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上邊緣的角點a、b

承受最大壓應力；下邊緣的角點c、d

承受最大拉應力。+－10.1斜彎曲解：3.計算兩個平面彎曲情形下的最大正應力

在Mmax(FPz)作用的截面上，截面上角點b、d

承受最大壓應力；角點a、c

承受最大拉應力。d－+c10.1斜彎曲

兩個平面彎曲疊加的結果是：角點c承受最大拉應力；角點b承受最大壓應力。因此b、c兩點都是危險點。這兩點的最大正應力數值相等，即

解：3.計算兩個平面彎曲情形下的最大正應力

bc10.1斜彎曲解：3.計算兩個平面彎曲情形下的最大正應力其中l=4m，FP=80kN，

=5。另外從型鋼表中可查到32a熱軋普通工字鋼的Wz=70.758cm3，Wy=692.2cm3。將這些數據代入上式得到.因此，梁在斜彎曲情形下的強度是不安全的。

10.1斜彎曲解：4.討論

如果令上述計算中的＝0，也就是載荷FP沿著y軸方向，這時產生平面彎曲，上述結果中的第一項變為0。于是梁內的最大正應力為

這一數值遠遠小于斜彎曲時的最大正應力。可見，載荷偏離對稱軸(y)一很小的角度，最大正應力就會有很大的增加(本例題中增加了88.4％)，這對于梁的強度是一種很大的威脅，實際工程中應當盡量避免這種現象的發生。這就是為什么吊車起吊重物時只能在吊車大梁垂直下方起吊，而不允許在大梁的側面斜方向起吊的原因。

10.1斜彎曲例1矩形截面的懸臂梁受荷載如圖示。試確定危險截面、危

險點所在位置；計算梁內最大正應力及AB段的中性軸位

置；若將截面改為直徑D=50mm的圓形，試確定危險點

的位置，并計算最大正應力。例1圖10.1斜彎曲解（一）外力分析

梁在P1作用下繞z軸彎曲（平面彎曲），在P2作用下繞y軸彎曲（平面彎曲），故此梁的彎形為兩個平面彎曲的組合——斜彎曲。受力簡圖如圖示。例1圖受力簡圖（二）內力分析

受力簡圖

分別繪出Mz(x)和My(x)圖如圖示。兩個平面內的最大彎矩都發生在固定端A截面上，A截面為危險截面。（三）應力分析和最大應力

繪出A截面的應力分布圖，從應力分布圖可看出a、b兩點為最大拉應力和最大壓應力點，即為危險點。應力分布圖（四）計算中性軸位置及最大正應力AB段中性軸與z軸的夾角為：（坐標原點可設在C截面處）

從上式可看出，中性軸位置在AB段內是隨x的變化而變化的。在A截面處（x=1m），中性軸位置為：解得：（見圖）應力分布圖A截面中性軸確定后可繪出總應力分布圖（見圖）。最大和最小正應力為：

如以合成后的總彎矩以矢量表示，中性軸與M的矢量不重合，說明荷載作用平面與中性軸不垂直，這是斜彎曲的特征之一。應力分布圖（五）改為圓截面時的計算合成后總變矩為：

矩形截面改為圓截面后，受力圖不變，內力圖也不變。此時對于圓截面來說，不存在斜彎曲問題，兩個平面彎曲合成后，還是一個平面彎曲的問題。危險截面A截面上彎矩的合成由矢量來表示（見圖）。總彎矩的矢量方向與中性軸重合，說明總彎矩是繞中性軸彎曲（荷載作用平面與中性軸垂直）離中性軸最遠的兩點（c,d）是正應力最大和最小的點。A截面應力分布圖

此時Mz引起的最大拉應力在圖中a點；My引起

的應力在圖中b點，顯然將不同點處的應力進行相加，作為該截面上的最大正應力是錯誤的。容易出現的一種計算錯誤：A截面應力分布圖ab已知：P1=1.7kN，P2=1.6kN，l=1m，[σ]=160MPa，試指出危險點的位置并設計圓截面桿的直徑。解：危險截面在固定端yzllP2zyP1Mz+My－10.1斜彎曲llP2zyP1MyyMzzyzllP2zyP1MyyMzzyzMzMyM∴DC危險點在C、D兩點yMzyDC例：矩形截面木梁跨長l=3.6m,截面尺寸h/b=3/2,分布荷載集度q=0.96KN/m,試設計該梁的截面尺寸。許用應力qhbqzy解:跨中為危險截面h/b=3/2b=0.0876m,h=0.131m可選b=90mm,h=135mm請注意計算單位！你知道危險點在何處嗎？斜彎曲梁的位移——疊加法zyF總撓度：大小為：設總撓度與y軸夾角為：一般情況下，即撓曲線平面與荷載作用面不相重合，為斜彎曲，而不是平面彎曲。中性軸拉伸（壓縮）與彎曲的組合第10章組合受力與變形桿件的強度計算+=§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合+=+=§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合例題

2

鉆床立柱為空心鑄鐵管，管的外徑為D＝140mm，內、外徑之比d／D＝0.75。鑄鐵的拉伸許用應力為35MPa，壓縮許用壓應力為90Mpa。鉆孔時鉆頭和工作臺面的受力如圖所示，其中FP＝15kN，力FP作用線與立柱軸線之間的距離(偏心距)e＝400mm。

試校核：立柱的強度是否安全？

§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合

用假想截面m-m將立柱截開，以截開的上半部分為研究對象。由平衡條件得到截面上的軸力和彎矩分別為

解：1.確定立柱橫截面上的內力分量

FN＝FP＝15kNMz＝FP×e＝6kN.m§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合

立柱在偏心力FP作用下產生拉伸與彎曲組合變形。因為立柱內所有橫截面上的軸力和彎矩都是相同的，所以，所有橫截面的危險程度是相同的。根據橫截面上軸力FN和彎矩Mz的實際方向可知，橫截面上左、右兩側的b點和a點分別承受最大拉應力和最大壓應力，其值分別為

解：2.確定危險截面并計算最大應力§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合

解：2.確定危險截面并計算最大應力

二者的數值都小于各自的許用應力值。這表明立柱的最大拉伸應力點和最大壓縮點的強度都是安全的。

§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合例題3

已知：開口鏈環由直徑d＝12mm的圓鋼彎制而成，其形狀如圖所示。鏈環的受力及其他尺寸均示于圖中。

求：

1．鏈環直段部分橫截面上的最大拉應力和最大壓應力；

2.中性軸與截面形心之間的距離。§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合解：

l．計算直段部分橫截面上的最大拉、壓應力

將鏈環從直段的某一橫截面處截開，根據平衡，截面上將作用有內力分量FNx和Mz。由平衡方程得到FNx＝800N，Mz＝

800×15×10－3N·m＝12N·m§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合

軸力FNx引起的正應力在截面上均勻分布，其值為FNx＝800N，Mz＝

800×15×10－3N·m

＝12N·m解：

l．計算直段部分橫截面上的最大拉、壓應力

§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合

彎矩Mz引起的正應力沿y方向線性分布。最大拉、壓應力分別發生在A、B兩點，其絕對值為FNx＝800N，Mz＝

800×15×10－3N·m

＝12N·m解：

l．計算直段部分橫截面上的最大拉、壓應力

§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合

將上述兩個內力分量引起的應力分布疊加，便得到由載荷引起的鏈環直段橫截面上的正應力分布。FNx＝800N，Mz＝

800×15×10－3N·m＝12N·m解：

l．計算直段部分橫截面上的最大拉、壓應力

§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合

從圖中可以看出，橫截面上的A、B二點處分別承受最大拉應力和最大壓應力，其值分別為解：

l．計算直段部分橫截面上的最大拉、壓應力

§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合

令FNx和Mz引起的正應力之和等于零，即

解：

2．計算中性軸與形心之間的距離

其中，y0為中性軸到形心的距離。于是，由上式解出§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合例

圖示起重機的最大吊重G=12kN，材料的許用應力[σ]=100MPa，試為AB桿選擇適當的工字梁。

一、計算簡圖及外力分析FAxFAyFCABGFyFxB2m1m1.5mGACD§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合FAyFAxCABGFxFyFAxCABFxCABGFAyFy二、變形分析彎曲軸向壓縮壓彎組合變形§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合FAxCABFxFAyCABFy24kN_FN12kN·m_M三、內力分析C點左側截面是危險截面???§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合xy四、應力狀態單向應力狀態

§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合確定危險截面確定危險點五、確定危險截面、危險點、建立強度條件24kN_FN12kN·m_MD1D2Ｄ１點Ｄ２點§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合六、選擇工字鋼型號１．按彎曲正應力強度條件選取截面。（暫不考慮軸力的影響）２．按壓彎組合變形校核。C截面下緣的壓應力最大。選取16號工字梁是合適的。

選取16號工字鋼，W=141cm3，A=26.1cm2。24kN_FN12kN·m_MC討論：為什么只要校核σcmax，不要校核σtmax？例：三角架如圖示，在AB桿端點受集中荷載P=8KN，若AB桿橫截面為工字鋼，試選擇其型號。許用應力1.5m2.5mPDCBA解:研究AB作AB內力圖12KN·mM圖22.17KN⊕C稍左截面彎矩、軸力均最大危險截面1.5m2.5mPDCBA12KN·mM圖⊕試算法選18號工字鋼代入上式強度足夠選16號工字鋼符合要求

例題1懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。其抗彎剛度Wz=237cm3,橫截面面積A=35.5cm2，總荷載F=34kN，橫梁材料的許用應力為[]=125MPa。校核橫梁AB的強度。FACD1.2m1.2mB30°AB桿為平面彎曲與軸向壓縮組合變形中間截面為危險截面。最大壓應力發生在該截面的上邊緣解：(1)分析AB的受力情況BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°FACD1.2m1.2m30°B(2)壓縮正應力(3)最大彎曲正應力(4)危險點的應力BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°FACD1.2m1.2m30°B

例題2小型壓力機的鑄鐵框架如圖所示。已知材料的許用拉應力[t]=30MPa，許用壓應力[c]=160MPa。試按立柱的強度確定壓力機的許可壓力F。yzz0z1350FF5050150150解：(1)確定形心位置A=1510-3m2Z0=7.5cmIy

=5310cm4計算截面對中性軸y

的慣性矩yzz0z1350FF5050150150FnnFNMy(2)分析立柱橫截面上的內力和應力在n—n

截面上有軸力FN及彎矩Mynn350FFyzz0軸力FN產生的拉伸正應力為FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150由彎矩My產生的最大彎曲正應力為5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）疊加在截面內側有最大拉應力[F]45.1kN5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy在截面外側有最大壓應力[F]171.3kN[F]45.1kN所以取5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy分析步驟：建立計算簡圖及外力分析;變形分析；內力分析；根據強度理論，確定危險截面和危險點，并進行強度計算。§10-2拉伸或壓縮與彎曲的組合§10-2偏心拉（壓）截面核心PzyxzyxzPMzMyzyMzx一、偏心拉（壓）yz(yP?zP)MyzyMzxMyyMZyPy§10-2偏心拉（壓）截面核心zyx強度條件：危險點中性軸§10-2偏心拉（壓）截面核心二、中性軸方程yz中性軸yz中性軸在y和z軸上的截距ay，az

：∴令：yzayaz中性軸截面核心三、截面核心：當yP和zP逐步減小時，中性軸將移出橫截面，截面上只存在拉應力。當外力作用點位于截面形心附近的一個區域內時，就可以保證中性軸不穿過橫截面，橫截面上無壓應力（或拉應力），此區域稱為截面核心。§10-2偏心拉（壓）截面核心PPPPσσσσ§10-2偏心拉（壓）截面核心[例]：矩形截面立柱，欲使柱內不出現拉應力，求P力的作用區域。PeyzhbeePM=Pe§10-2偏心拉（壓）截面核心

可以證明，當P力作用在由此四點圍成的菱形內時，橫截面上無拉應力。該菱形區域稱為截面核心由對稱性可知，在z軸上的作用區域為h/3eM=Pe≤0≤0同理可知，在y軸上的作用區域為b/3zyhbh/3

例題3正方形截面立柱的中間處開一個槽，使截面面積為原來截面面積的一半。求開槽后立柱的的最大壓應力是原來不開槽的幾倍。FFaaaa11FFa/2未開槽前立柱為軸向壓縮解：Faa開槽后1-1是危險截面危險截面為偏心壓縮將力F

向1-1形心簡化未開槽前立柱的最大壓應力開槽后立柱的最大壓應力

例題4矩形截面柱如圖所示，F1的作用線與桿軸線重合，F2作用在y

軸上。已知:F1=F2=80kN，b=24cm,h=30cm。如要使柱的m—m

截面只出現壓應力，求F2的偏心距e。yzebhF1F2mm解：(1)外力分析將力F2向截面形心簡化后，梁上的外力有軸向壓力力偶矩yzebhF1mmF2mz(2)m--m

橫截面上的內力有軸力彎矩

軸力產生壓應力彎矩產生的最大正應力(3)依題的要求,整個截面只有壓應力得yzebhF1mmF2mz例：圖示鋼板受集中力P=128KN作用，當板在一側切去深4cm的缺口時，求缺口截面的最大正應力？若在板兩側各切去深4cm的缺口時，缺口截面的最大正應力為多少?(不考慮應力集中)4cmPP10360解:1、一側開口時是偏心拉伸，即軸向拉伸與彎曲的組合40MPa15MPa4cmPP2、兩側開口時是軸向拉伸36010本題中：兩側開口好于一側開口，為什么？

例：一個拉伸試件載荷為P=80kN,截面為1080mm2,

的矩形，加工好以后發現試件上緣有裂縫,為防止裂紋在應力集中下擴展，在試件上部挖去一個r=10mm

的半圓孔，試校核其強度。如果強度不夠，可采取什么措施補救？[]=140MPa解：無裂紋時:挖去小孔后強度不夠！對稱挖孔強度安全！

§10-3

彎曲與扭轉的組合

將作用在齒輪上的力向軸的截面形心簡化便得到與之等效的力和力偶，這表明軸將承受橫向載荷和扭轉載荷。

為簡單起見，可以用軸線受力圖代替原來的受力圖。

§10-3

彎曲與扭轉的組合

圓桿BO，左端固定，右端與剛性桿AB固結在一起。剛性桿的A端作用有平行于y坐標軸的力FP。若已知FP＝5kN，a＝300mm，b=500mm，

材料為Q235鋼，許用應力＝140Mpa。例題6

試求：分別用第三強度理論和第四強度理論設計圓桿BO的直徑d。

§10-3

彎曲與扭轉的組合解：1．將外力向軸線簡化

FPFPFPFPMe

將外力FP向BD桿的B端簡化，得到一個向上的力和一個繞x軸轉動的力偶:FP＝5kN，Me＝FP×a＝1500N·m

§10-3

彎曲與扭轉的組合FPMe

§10-3

彎曲與扭轉的組合

HJKITKIJH（2）危險點

§10-3

彎曲與扭轉的組合（3）取危險點的單元體

HJKITKIJH（4）求主應力（5）強度校核——第三強度理論對于圓截面桿，彎扭組合變形（5）強度校核——第四強度理論對于圓截面桿，彎扭組合變形對于圓截面桿，彎扭組合變形注意：解：3．應用強度理論設計BO桿的直徑

彎矩Mz＝FP×b＝5kN×103×500mm×10－3

＝2500N·m，扭矩Mx＝Me＝FP×a＝5kN×103×300mm×10－3＝1500N·m應用第三強度理論，則有

§10-3

彎曲與扭轉的組合解：3．應用強度理論設計BO桿的直徑

彎矩Mz＝FP×b＝5kN×103×500mm×10－3

＝2500N·m，扭矩Mx＝Me＝FP×a＝5kN×103×300mm×10－3＝1500N·m應用第四強度理論，則有

§10-3

彎曲與扭轉的組合例題：圖示空心圓桿，內徑d=24mm，外徑D=30mm，P1=600N，

[]=100MPa，R1=0.2m，R2=0.3。試:

用第三強度理論校核此桿的強度。解：

（1）外力分析（2）內力分析危險截面：B（3）強度校核安全BxACyzFrMOAE一、計算簡圖及外力分析

FZMOEMOAFrF250250DACBEdＦcZＦcyＦBZＦBy10.3彎曲與扭轉組合變形二、變形分析xy面彎曲xz面彎曲扭轉彎扭組合變形MOEMOABCEAFrMOAEFZMOEＦcZＦcyBＦBZＦByxACyzFrＦByＦCyBCEyxAFzＦBzＦCzBCEzxA10.3彎曲與扭轉組合變形yz三、內力分析MyMzMM作用面中性軸ＭT1kN·m＋MOEMOABCEAE截面是危險截面???1.14

kN·mMz3.13kN·m