eq\a\vs4\al(排列與組合)1．2.1排列其次課時(shí)排列的綜合應(yīng)用數(shù)字排列問題[典例]用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合以下條件的無重復(fù)的數(shù)字？(1)六位i奇數(shù)；(2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4310的四位偶數(shù)．[解](1)第一步，排個(gè)位，有Aeq\o\al(1,3)種排法；其次步，排十萬位，有Aeq\o\al(1,4)種排法；第三步，排其他位，有Aeq\o\al(4,4)種排法．故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288個(gè)六位奇數(shù)．(2)法一：(直接法)十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類．第一類，當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，有Aeq\o\al(5,5)個(gè)；其次類，當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)個(gè)．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504(個(gè))．法二：(排解法)0在十萬位和5在個(gè)位的排列都不對應(yīng)符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有0在十萬位和5在個(gè)位的狀況．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504(個(gè))．(3)分三種狀況，詳細(xì)如下：①當(dāng)千位上排1,3時(shí)，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)個(gè)．②當(dāng)千位上排2時(shí)，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)個(gè)．③當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40××，42××的各有Aeq\o\al(1,3)個(gè)；形如41××的有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)個(gè)；形如43××的只有4310和4302這兩個(gè)數(shù)．故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)＋2＝110(個(gè))．[一題多變]1．[變設(shè)問]本例中條件不變，能組成多少個(gè)被5整除的五位數(shù)？解：個(gè)位上的數(shù)字必需是0或5.假設(shè)個(gè)位上是0，那么有Aeq\o\al(4,5)個(gè)；假設(shè)個(gè)位上是5，假設(shè)不含0，那么有Aeq\o\al(4,4)個(gè)；假設(shè)含0，但0不作首位，那么0的位置有Aeq\o\al(1,3)種排法，其余各位有Aeq\o\al(3,4)種排法，故共有Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝216個(gè)能被5整除的五位數(shù)．2．[變設(shè)問]本例條件不變，假設(shè)全部的六位數(shù)按從小到大的挨次組成一個(gè)數(shù)列{an}，那么240135是第幾項(xiàng)？解：由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有Aeq\o\al(5,5)個(gè)數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0,1,3中的一個(gè)有3Aeq\o\al(4,4)個(gè)數(shù)，所以240135的項(xiàng)數(shù)是Aeq\o\al(5,5)＋3Aeq\o\al(4,4)＋1＝193，即240135是數(shù)列的第193項(xiàng)．3．[變條件，變設(shè)問]用0,1,3,5,7五個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且5不在十位位置上的五位數(shù)．解：此題可分兩類：第一類：0在十位位置上，這時(shí)，5不在十位位置上，所以五位數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(4,4)＝24；其次類：0不在十位位置上，這時(shí)，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，有Aeq\o\al(1,3)＝3種方法．又由于0不能排在萬位位置上，所以萬位位置上只能排5或1,3,7被選作十位上的數(shù)字后余下的兩個(gè)數(shù)字之一，有Aeq\o\al(1,3)＝3(種)．十位、萬位上的數(shù)字選定后，其余三個(gè)數(shù)字全排列即可，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，其次類中所求五位數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝54.由分類加法計(jì)數(shù)原理，符合條件的五位數(shù)共有24＋54＝78(個(gè))．?dāng)?shù)字排列問題的解題原那么、常用方法及考前須知(1)解題原那么：排列問題的本質(zhì)是“元素〞占“位子〞問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先〞原那么，即優(yōu)先排特別元素或優(yōu)先滿意特別位子，假設(shè)一個(gè)位子支配的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類爭論.(2)常用方法：直接法、間接法．(3)考前須知：解決數(shù)字問題時(shí)，應(yīng)留意題干中的限制條件，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類和分步，尤其留意特別元素“0〞的處理．排隊(duì)問題[典例]有5名男生，4名女生排成一排．(1)假設(shè)從中選出3人排成一排，那么有多少種排法？(2)假設(shè)男生甲不站排頭，女生乙不站排尾，那么有多少種不同的排法？(3)要求女生必需站在一起，有多少種不同的排法？(4)假設(shè)4名女生互不相鄰，有多少種不同的排法？[解](1)只要從9名同學(xué)中任選三名排列即可，所以共有Aeq\o\al(3,9)＝9×8×7＝504種不同排法．(2)將排法分成兩類：一類是甲站在排尾，其余的可全排，有Aeq\o\al(8,8)種排法；另一類是甲既不站排尾又不站排頭，有Aeq\o\al(1,7)種排法，乙不站排尾而站余下的7個(gè)位置中的一個(gè)，有Aeq\o\al(1,7)種排法，其余人全排列，于是這一類有Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(7,7)種排法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(8,8)＋Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(7,7)＝287280種不同排法．(3)女生必需站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法．全體女生視為一個(gè)元素與其他男生全排列有Aeq\o\al(6,6)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(6,6)＝17280種不同排法．(4)分兩步．第一步：男生的全排列有Aeq\o\al(5,5)種排法；其次步：男生排好后，男生之間有4個(gè)空，加上男生排列的兩端共6個(gè)空，女生在這6個(gè)空中排列，有Aeq\o\al(4,6)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(4,6)＝43200種不同排法．排隊(duì)問題的解題策略排隊(duì)問題除涉及特別元素、特別位置外，還往往涉及相鄰、不相鄰、定序等問題．(1)對于相鄰問題，可采納“捆綁法〞解決．即將相鄰的元素視為一個(gè)整體進(jìn)行排列．(2)對于不相鄰問題，可采納“插空法〞解決．即先排其余的元素，再將不相鄰的元素插入空中．(3)對于定序問題，可采納“除階乘法〞解決．即用不限制的排列數(shù)除以挨次肯定元素的全排列數(shù)．[活學(xué)活用]排一張有5個(gè)唱歌節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單．(1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？(2)唱歌節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？解：(1)先排唱歌節(jié)目有Aeq\o\al(5,5)種，唱歌節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有Aeq\o\al(4,6)種方法，所以任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(4,6)＝43200種方法．(2)先排舞蹈節(jié)目有Aeq\o\al(4,4)種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)唱歌節(jié)目放入．所以唱歌節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(5,5)＝2880種方法.層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，假如A，B必需相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法有()A．60種 B．48種C．36種 D．24種解析：選D把A，B視為一人，且B排在A的右邊，那么此題相當(dāng)于4人的全排列，故有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法．2．某班級從A，B，C，D，E，F(xiàn)六名同學(xué)中選四人參與4×100m接力競賽，其中第一棒只能在A，B中選一人，第四棒只能在A，C中選一人，那么不同的選派方法共有()A．24種 B．36種C．48種 D．72種解析：選B假設(shè)第一棒選A，那么有Aeq\o\al(2,4)種選派方法；假設(shè)第一棒選B，那么有2Aeq\o\al(2,4)種選派方法．由分類計(jì)數(shù)原理知，共有3Aeq\o\al(2,4)＝36種選派方法．3．?dāng)?shù)列{an}共有6項(xiàng)，其中4項(xiàng)為1，其余兩項(xiàng)各不相同，那么滿意上述條件的數(shù)列{an}共有()A．30個(gè) B．31個(gè)C．60個(gè) D．61個(gè)解析：選A在數(shù)列的6項(xiàng)中，只要考慮兩個(gè)非1的項(xiàng)的位置，即可得不同數(shù)列共有Aeq\o\al(2,6)＝30個(gè)．4．我國第一艘航母“〞在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲-15飛機(jī)預(yù)備著艦．假如甲、乙兩機(jī)必需相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A．12種 B．18種C．24種 D．48種解析：選C把甲、乙看作1個(gè)元素和另一飛機(jī)全排列，調(diào)整甲、乙，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)種方法，再把丙、丁插入到剛剛“兩個(gè)〞元素排列產(chǎn)生的3個(gè)空位中，有Aeq\o\al(2,3)種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得總的方法種數(shù)為Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝24.5．6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24解析：選D剩余的3個(gè)座位共有4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24.6．從班委會(huì)的5名成員中選出3名分別擔(dān)當(dāng)班級學(xué)習(xí)、文娛與體育，其中甲、乙二人不能擔(dān)當(dāng)文娛，那么不同的選法共有________種．(用數(shù)字作答)解析：文娛有3種選法，那么支配學(xué)習(xí)、體育有Aeq\o\al(2,4)＝12種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×12＝36種選法．答案：367．用1,2,3,4,5,6,7組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，假設(shè)1,3,5,7的挨次肯定，那么有________個(gè)七位數(shù)符合條件．解析：滿意條件的七位數(shù)有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝210(個(gè))．答案：2108．用0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的五位數(shù)有______種．解析：0夾在1,3之間有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種排法，0不夾在1,3之間又不在首位有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種排法．所以一共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝28種排法．答案：289．一場晚會(huì)有5個(gè)演唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單．(1)3個(gè)舞蹈節(jié)目不排在開頭和結(jié)尾，有多少種排法？(2)前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目，有多少種排法？解：(1)先從5個(gè)演唱節(jié)目中選兩個(gè)排在首尾兩個(gè)位置有Aeq\o\al(2,5)種排法，再將剩余的3個(gè)演唱節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目排在中間6個(gè)位置上有Aeq\o\al(6,6)種排法，故共有不同排法Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400種．(2)先不考慮排列要求，有Aeq\o\al(8,8)種排列，其中前四個(gè)節(jié)目沒有舞蹈節(jié)目的狀況，可先從5個(gè)演唱節(jié)目中選4個(gè)節(jié)目排在前四個(gè)位置，然后將剩余四個(gè)節(jié)目排列在后四個(gè)位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)種排法，所以前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目的排法有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝37440種．10．4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排．(1)3個(gè)女同學(xué)必需排在一起，有多少種不同的排法？(2)任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？解：(1)3個(gè)女同學(xué)是特別元素，共有Aeq\o\al(3,3)種排法；由于3個(gè)女同學(xué)必需排在一起，那么可視排好的女同學(xué)為一個(gè)整體，再與4個(gè)男同學(xué)排隊(duì)，應(yīng)有Aeq\o\al(5,5)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝720種不同的排法．(2)先將男同學(xué)排好，共有Aeq\o\al(4,4)種排法，再在這4個(gè)男同學(xué)的中間及兩頭的5個(gè)空當(dāng)中插入3個(gè)女同學(xué)，那么有Aeq\o\al(3,5)種方法．故符合條件的排法共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有Aeq\o\al(4,4)種排法；由于甲、乙要相鄰，故先把甲、乙排好，有Aeq\o\al(2,2)種排法；最終把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的中間及兩頭的5個(gè)空當(dāng)中，那么有Aeq\o\al(2,5)種排法．所以共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,5)＝960種不同的排法．層級二應(yīng)試力量達(dá)標(biāo)1.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24 B．48C．60 D．72解析：選D第一步，先排個(gè)位，有Aeq\o\al(1,3)種選擇；其次步，排前4位，有Aeq\o\al(4,4)種選擇．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72(個(gè))．2．世界華商大會(huì)的某分會(huì)場有A，B，C三個(gè)展臺(tái)，將甲、乙、丙、丁共四名“雙語〞志愿者安排到這三個(gè)展臺(tái)，每個(gè)展臺(tái)至少一人，其中甲、乙兩人被安排到同一展臺(tái)的安排方法有()A．12種 B．10種C．8種 D．6種解析：選D將甲、乙看作一個(gè)“元素〞與另外兩個(gè)組成三個(gè)“元素〞，安排到三個(gè)展臺(tái)，共有Aeq\o\al(3,3)＝6種不同的安排方法．3．航天員在進(jìn)行一項(xiàng)太空試驗(yàn)時(shí)，先后要實(shí)施6個(gè)程序，其中程序B和C都與程序D不相鄰，那么試驗(yàn)挨次的編排方法共有()A．216種 B．288種C．180種 D．144種解析：選B當(dāng)B，C相鄰，且與D不相鄰時(shí)，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝144種方法；當(dāng)B，C不相鄰，且都與D不相鄰時(shí)，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144種方法，故共有288種編排方法．4．六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有()A．192種 B．216種C．240種 D．288種解析：選B當(dāng)最左端排甲時(shí)，不同的排法共有Aeq\o\al(5,5)種；當(dāng)最左端排乙時(shí)，甲只能排在中間四個(gè)位置之一，那么不同的排法共有4Aeq\o\al(4,4)種．故不同的排法共有Aeq\o\al(5,5)＋4Aeq\o\al(4,4)＝120＋4×24＝216種．5．8名同學(xué)和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為________．解析：(插空法)8名同學(xué)的排列方法有Aeq\o\al(8,8)種，隔開了9個(gè)空位，在9個(gè)空位中排列2位老師，方法數(shù)為Aeq\o\al(2,9)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的排法總數(shù)為Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)＝2903040.答案：29030406．在某藝術(shù)館中展出5件藝術(shù)作品，其中不同的書法作品2件，不同的繪畫作品2件，標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)1件，在展臺(tái)上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必需相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，那么展出這5件作品的不同方案有________種．解析：把2件書法作品當(dāng)作一個(gè)元素，與其他3件藝術(shù)品進(jìn)行全排列，有2Aeq\o\al(4,4)＝48種方案．其中，2件繪畫作品相鄰，有2×2Aeq\o\al(3,3)＝24種方案，那么該藝術(shù)館展出這5件作品的不同方案有48－24＝24種．答案：247．某次文藝晚會(huì)上共演出8個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)唱歌、3個(gè)舞蹈、3個(gè)曲藝節(jié)目，求分別滿意以下條件的節(jié)目編排方法有多少種？(1)一個(gè)唱歌節(jié)目開頭，另一個(gè)放在最終壓臺(tái)；(2)2個(gè)唱歌節(jié)目互不相鄰；(3)2個(gè)唱歌節(jié)目相鄰且3