第三章圓錐曲線方程本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，解得，故故選：A2．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則平分C．若，則 D．若，延長(zhǎng)AO交直線于點(diǎn)D，則D，B，N三點(diǎn)共線【答案】D【解析】如圖，若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)椋裕本€的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；時(shí)，因?yàn)椋裕郑圆黄椒郑x項(xiàng)B不正確；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)椋裕本€的方程為，所以，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)椋裕本€的方程為，所以，直線的方程為，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)D，所以則，所以D，B，N三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D正確；故選：D.3．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離為1，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則的面積為（

）A． B．4 C．2 D．【答案】D【解析】雙曲線的漸近線方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離為1，所以．由題意，則

（1）由余弦定理可得（2）將（1）代入（2）可得．因?yàn)椋裕裕实拿娣e為．故：D4．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)，圓，過(guò)圓心的直線l與拋物線和圓分別交于點(diǎn)P，Q，M，N，則的最小值為（

）A．23 B．26 C．36 D．62【答案】B【解析解法一：設(shè)拋物線的方程，則，得，所以拋物線方程為，焦點(diǎn)，圓，圓心，半徑，可得圓心恰好是拋物線的焦點(diǎn)，即直線l過(guò)焦點(diǎn)F.設(shè)直線l的方程為：，設(shè)P、Q坐標(biāo)分別為和，由聯(lián)立，得，∴，，∴，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).解法二：，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：B.5．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為P，且與雙曲線C的左支交于點(diǎn)Q，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋琌是的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)．因?yàn)椋渣c(diǎn)到漸近線的距離，又，所以．連接，易知，則由雙曲線的定義可知．在中，由余弦定理，得，整理，得，所以雙曲線的離心率為，故選：B．6．已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋呻p曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：B7．已知點(diǎn)在拋物線上，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，我們可以通過(guò)找對(duì)稱點(diǎn)的方法求解兩條線段之和的最小值，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．【答案】D【解析】由題意，知拋物線的焦點(diǎn)，直線是拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作圖如下，利用對(duì)稱性質(zhì)知：，則即點(diǎn)在位置時(shí)，的值最小，等于，利用兩點(diǎn)之間距離知，則的最小值為故選：D.8．曲線上存在兩點(diǎn)A，B到直線到距離等于到的距離，則（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【解析】由曲線，可得，即，為圓心為，半徑為7的半圓，又直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，依題意可知A，B為半圓C與拋物線的交點(diǎn)，由，得，設(shè)，則，，∴.故選：D.多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與到直線的距離相等，記M的軌跡為曲線C．若過(guò)點(diǎn)F的直線與曲線C交于，兩點(diǎn)，則（

）A．B．的面積的最小值是2C．當(dāng)時(shí)，D．以線段OF為直徑的圓與圓相離【答案】BCD【解析】依據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線的距離相等，由拋物線定義知點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)P的軌跡C的方程為對(duì)于A，取AB⊥x軸，則故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然直線AB的斜率不為0,設(shè)直線AB的方程為,聯(lián)立整理可得所以所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積的最小值是2，所以B正確；C中，時(shí),則所以③,而①，②，①②③聯(lián)立可得由拋物線的性質(zhì)可得所以C正確；D中,以O(shè)F為直徑的圓的方程為,圓心半徑圓的圓心半徑所以圓心距可得兩個(gè)圓相離，所以D正確；故選：BCD.10．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長(zhǎng)線過(guò)左焦點(diǎn)．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當(dāng)n過(guò)時(shí)，光由所經(jīng)過(guò)的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則【答案】CD【解析】對(duì)于A：若，則.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：二者聯(lián)立解得：.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：光由所經(jīng)過(guò)的路程為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：雙曲線的方程為.設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為A、B.如圖示：當(dāng)與同向共線時(shí)，的方向?yàn)椋藭r(shí)k=0，最小.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.故C正確.對(duì)于D：設(shè)直線PT的方程為.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正確故選：CD11．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條漸近線過(guò)點(diǎn)，則（

）A．雙曲線與雙曲線有相同的漸近線B．雙曲線的離心率為C．若到漸近線的距離為2，則雙曲線的方程為D．若直線與漸近線圍成的三角形面積為，則焦距為【答案】ACD【解析】由雙曲線，可得其漸近線方程為，因?yàn)橐粭l漸近線過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，對(duì)于A，雙曲線的漸近線方程為，即，所以A正確，對(duì)于B，由于，所以離心率為，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)橛医裹c(diǎn)為到漸近線的距離為2，所以，解得，因?yàn)椋越獾茫噪p曲線方程為，所以C正確，對(duì)于D，對(duì)于漸近線，當(dāng)時(shí)，，所以由雙曲線的對(duì)稱性可得直線與漸近線圍成的三角形面積，得，由，，解得，所以焦距為，所以D正確，故選：ACD12．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)圓滿結(jié)束.根據(jù)規(guī)劃，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥巢）成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場(chǎng)館.國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若橢圓：和橢圓：的離心率相同，且.則下列正確的是（

）A．B．C．如果兩個(gè)橢圓，分別是同一個(gè)矩形（此矩形的兩組對(duì)邊分別與兩坐標(biāo)軸平行）的內(nèi)切橢圓（即矩形的四條邊與橢圓均有且僅有一個(gè)交點(diǎn)）和外接橢圓，則D．由外層橢圓的左頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓分別作兩條切線（與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線叫橢圓的切線）與交于兩點(diǎn)，的右頂點(diǎn)為，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】BCD【解析】A：由且，則，即，故錯(cuò)誤；B：由，得，則，所以，故正確；C：滿足橢圓方程，又，則，所以，，故正確；D：由對(duì)稱性知：、關(guān)于軸對(duì)稱，，，，，，，則，，故正確.故選：BCD.三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為_____.【答案】【解析】設(shè)與直線平行且與拋物線相切的直線為，則的最小值即為這兩平行線間的距離，聯(lián)立消去，得，，即得直線和相切，故的最小值即為這兩平行線間的距離，最小距離為，故答案為：14．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，斜率為的直線過(guò)左焦點(diǎn)且交于兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是，若橢圓的離心率為，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍是_________【答案】【解析】如圖示，由橢圓定義可得,則的周長(zhǎng)為4a,設(shè)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是，故，由題意得，得，由于，故，所以由可得，故答案為：15．如圖，已知點(diǎn)過(guò)的兩條直線分別與橢圓交于，且，則直線的方程為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，因?yàn)椋瑒t，即，則可得，因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以，整理得，因?yàn)橐苍跈E圓上，所以，即，代入可得，同理可得也滿足，所以直線的方程為.故答案為：.16．已知為橢圓上的一點(diǎn)，若，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為________．【答案】##【解析】由題,設(shè)圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.則橢圓的焦點(diǎn)為.又,.故,當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào).此時(shí)最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）如圖，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，是等腰直角三角形，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)且，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由于點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，且是等腰直角三角形，所以，,又，聯(lián)立解得．橢圓的方程為；點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，直線的方程為令，得同理可得．則=,=,又因?yàn)椋裕从?,則有，是橢圓上一點(diǎn)，得即則．18．（12分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且雙曲線C過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)M的直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn)，是否存在直線AB，使得成立，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，直線AB的方程為：或.【解析】(1)依題意，，解得：，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)假定存在直線AB，使得成立，顯然不垂直于y軸，否則，設(shè)直線：，由消去x并整理得：，因直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，于是得，則有，即或，因此，，解得，所以存在直線AB，使得成立，此時(shí)，直線AB的方程為：或.19．（12分）已知雙曲線的離心率為2，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)7【解析】(1)由已知，，所以，且過(guò)點(diǎn)，所以，解得，，所以雙曲線C的方程為.(2)設(shè)，由得，所以，，即，，所以.20．（12分）設(shè)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為6，且點(diǎn)到x軸的距離為．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由點(diǎn)到軸的距離為得：，將代入得：，由拋物線的定義得，，由已知，，所以，所以拋物線的方程為；（2）由得，由題意知與拋物線交于兩點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，得，所以，，，所以，所以，則所以為的角平分線，由角平分線的性質(zhì)定理，得．21（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與在的同一側(cè)，且的最小值為.(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)、為上的另外兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)在第四象限，且，互相垂直、平分，求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【解析】(1)作出的準(zhǔn)線，方程為，作于，所以，即的最小值為，因?yàn)榕c在的同一側(cè)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，所以，解得，所以的方程為；(2)因?yàn)椋ハ啻怪薄⑵椒郑运倪呅问橇庑危暂S，設(shè)點(diǎn)，所以，由拋物線對(duì)稱性知，，由，得，解得，所以菱形的邊，高，其面積為.22．（12分）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的任意一點(diǎn)和橢圓的左?右焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為.雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，離心率為.設(shè)為雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為，和，.(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線?的斜率分別為?，求證：為定值；(3)是否存在常數(shù)，使得