第3講函數的奇偶性與周期性1．函數的奇偶性(1)奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有______________，那么函數f(x)就叫做偶函數關于_______對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數關于______對稱f(－x)＝f(x)原點y軸(2)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件．2．函數的周期性(1)周期函數：對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有______________，那么就稱函數f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個_________________，那么這個_____________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正數最小正數(2)函數y＝f(x)關于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.特殊：函數y＝f(x)關于點(a，0)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函數y＝f(x)關于(0，0)對稱?f(x)＋f(－x)＝0(即為奇函數)．(3)y＝f(x＋a)是偶函數?函數y＝f(x)關于直線x＝a對稱；y＝f(x＋a)是奇函數?函數y＝f(x)關于點(a，0)對稱.【解析】

f(x)＝x2－1和f(x)＝x2＋cosx為偶函數．【答案】

22．(教材改編)若奇函數f(x)在區間[a，b]上是減函數，則它在[－b，－a]上是________函數；若偶函數f(x)在區間[a，b]上是增函數，則它在[－b，－a]上是________函數．【解析】

根據奇偶函數圖象的對稱性可得．【答案】

減減

3．(教材改編)已知f(x)為奇函數，當x>0時，f(x)＝－1，則f(－2)＝________．4．(教材改編)已知函數f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，當x∈(0，1]時，f(x)＝log4(x2＋3)，則f(2017)＝________．【解析】

因為f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以3為周期的周期函數，所以f(2017)＝f(672×3＋1)＝f(1)＝log4(12＋3)＝1.【答案】

1【答案】

28．設函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝x2＋4x－3，則函數f(x)的解析式為f(x)＝________．【解析】

設x＜0，則－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函數的定義可知f(0)＝0，所以(3)函數的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，當x＞0時，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，當x<0時，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)，即函數是奇函數．【反思歸納】

考點二函數的周期性【例2】

設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0，2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數；(2)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)．【解析】

(1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數．(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.又f(x)是周期為4的周期函數，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＝f(2020)＝f(0)＝0.【反思歸納】考點三函數性質的綜合應用角度1奇偶性的應用【例3】

(2019·三明模擬)函數y＝f(x)是R上的奇函數，當x＜0時，f(x)＝2x，則當x＞0時，f(x)＝(

)A．－2xB．2－xC．－2－xD．2x【解析】

x＞0時，－x＜0，∵x＜0時，f(x)＝2x，∴當x＞0時，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函數，∴當x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故選C.【答案】

C角度2單調性與奇偶性結合【例4】

(1)已知奇函數f(x)在R上是增函數，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為(

)A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a(2)函數f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減，且為奇函數．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(

)A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]【解析】

(1)∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，∴g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，g(x)為偶函數．又∵f(x)在R上遞增，∴g(x)在[0，＋∞)上遞增．∴g(－log25.1)＝g(log25.1)．而20.8＜2＜log25.1＜3，∴g(20.8)＜g(log25.1)＜g(3)，∴b＜a＜c.(2)∵奇函數f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減，且f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故選D.【答案】

(1)C

(2)D②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函數．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2017)，則a，b，c的大小關系正確的是(

)A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a【解析】

由①得f(x)在[4，8]上單調遞增；由②得f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是周期為8的周期函數，所以c＝f(2017)＝f