近期全國各地高考模擬試題綜合題匯編

1(山東煙臺)

20.(本小題滿分12分)

已知在平面直角坐標系xoy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-73,0),

的坐標是(1」).

右頂點為。(2,0),設點A

(1)求該橢圓的標準方程；

(2)若尸是橢圓上的動點，求線段附中點M的軌跡方程；

(3)過原點。的直線交橢圓于點8、C,求△48C面積的最大值.

22.(本小題滿分14分)

已知R上的函數/(x)=1ax3

y=/(x)的圖象上有一點處的切線斜率為一a.

b

(1)證明：。<一<1；

a

⑵若/(X)在區間(s,t)上為增函數，證明：iNf>$>-2且f-s<3；

(3)對任意滿足以上條件的a,b,c,若不等式/'(x)+a<0對任意xNZ恒成立，求

k的取值范圍.

22

20.解(1)設橢圓方程為0+5=15>/；>0)

由題意得a=2,c=V3,.,.b2=\.........................................................2分

尤2

???橢圓方程為一+V=13分

4

(2)設y)由中點坐標公式

xx+1

2卜?=21

1'■[c1............................4分

卜=2)-5

2

又?.?4+y；=l

4-1

（2%1）2

.?.~-+（2y-^）=1即為中點M的軌跡方程................6分

（3）若直線BC斜率不存在，此時BC所在直線垂直x軸,

易得SAABC=1

若直線BC斜率存在，設直線BC所在方程為y=kxf

并設B（%2?丫2），C（無3，丫3）

=kx4

,\y=4聯立得/

41+1

2-2

.-.IAB1=正+3\x7-X,1=J1+Y.

Ik--1

見4到直線y=履的距離d二-y^zr

ViTF

于是S^BC=；?ASI/

9分

2g4k2Jl+YJl+4左2

2

c2_4k-4^+l_,4k

3&ABC.2i—1Ai27,

4kA+14k+1

①當k=0時,S2=l.

②當k>0時，S2cl...............................................................10分

44

③k<0時,$2=1+-----------------<l+—r=2

4F)+(T)2a

當且僅當4（一女）=_工即k=_工時，取“二”....................11分

k2

綜上所述4ABC面積的最大值為V212分

22.(1)證明：fr(x)=ax2+/?x+c,

由「(X)在X=1時取得極值及4<b<C,

即〃+。+c=0,c=-(a+/?),6f<h<c,

則Q<b<-(a+/?),--<—<1,......................2分

2a

;切線斜率為一〃，則關于x的方程f\x)=-a有根,

/+4"=優44+/7)20解得24—4或2?0,

aa

b

又一上1<2A<1故04g<l..................5分

2aa

(2)解：方程/(x)=a/+6x—(a+b)=0

b~+4a(a+/?)>0

Xf⑴=0敏，(x)=0有兩根1和一2_i....................7分

a

b

當且僅當---\<x<1時，/(x)〉0

a

故/1(x)在[-2-1J上為增函數

a

卜卜

.\l>z>5>---l>-2S0<r-5<-+2<3................10分

aa

(3)解：若f'(x)+a=ax?+bx-b

=o(x2+-x--)<0........................11分

aa

對。、人恒成立，

設f=上e[0,1),則g。)=(尤—l)f+x2>0對fG[0,1)恒成立，

a

即8(1)20送(0)>0恒成立.........................................12分

解得或北亨,

-1+V5

k>14分

2

2(江蘇省南京市)

*10.6件產品中有4件合格品，2件次品.為找出2件次品，每次任取一個檢驗，檢驗后

不再放回，恰好經過4次檢驗找出2件次品的概率為(C)

3141

A.-B.-C.—D.-

53155

*11.設四棱錐P-ABC。的底面不是平行四邊形，用平面a去截此四棱錐,

使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面e(D)

A.不存在B.只有1個C.恰有4個D.有無數多個

*12.設函數y4㈤滿足f(x+1)寸(x)+l,則方程/(x)=x的根的個數是(D)B

A.無窮個B.沒有或者有限個C.有限個D.沒有或者無窮個

*8.設集合4=3k)gy3-x)》-2},B={xl言21},若4nB=0,則實數”的取值范圍是

*9.已知函數/(x)=lx—ll+lxl+lx+ll,若/(力―2)=/(a),則實數

a=.

*10.函數%)=x"+(l—x)",xG(0,1),幾WN*.記y=/U)的最小值為則“1+02+…+

〃6=____?

63

8.(一8,-1]U[3,+0°)U{0}.9.1,-1,2,-2.10.石.

10.定義域均為R的奇函數/U)與偶函數g(x)滿足_/(x)+g(x)=10'.

(1)求函數凡*)與g(x)的解析式;

(11)求函數加)的反函數;

(III)證明：g(Xi)+g(X2)22g(紅芳);

*(IV)試用於1),於2)，g(Xl)，g(X2)表示於1~X2)與g(Xl+x2)

22

11.設橢圓C：，+，=1的左焦點為尸，左準線為/,一條直線過點尸與橢圓C交于A,B

兩點，若直線/上存在點P,使AABP為等邊三角形，求直線48的方程.

12.設。為坐標原點，A(—p0),點”在定直線x=—/?(p>0)上移動，點N在線段M。

的延長線上，且滿足^=志?

(I)求動點N的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？

(II)若L4M的最大值W，求p的取值范圍.

13.中心在原點的雙曲線G的一個焦點與拋物線C2：y2=8x的焦點F重合，拋物線C2的

準線/與雙曲線Ci的一個交點為A,且L4FI=5.

(I)求雙曲線G的方程；

(II)若過點8(0,1)的直線機與雙曲線Ci相交于不同兩點M,N,且

①求直線m的斜率k的變化范圍；

②當直線m的斜率不為0時，問在直線y=x上

是否存在一定點c,使o/aCA/TCN>)?

若存在，求出點c的坐標；若不存在，請說明理由.

14.已知正項數列｛%｝滿足灑+S“-尸扇+2(〃22,>0),。|=1,其中已是數列｛%｝的前”

項和.

(I)求通項斯;

(II)記數歹(]｛—^｝的前”項和為7"，若T“V2對所有的“GN*都成立.求證：0<Kl.

15.已知函數式》)=/+農3+汝2+,,其圖象在y軸上的截距為一5,在區間[0,1]上單調遞

增，在

[1,2]上單調遞減，又當x=0,x=2時取得極小值.

(I)求函數/U)的解析式；

(II)能否找到垂直于X軸的直線，使函數大X)的圖象關于此直線對稱，并證明你的結論；

*(III)設使關于x的方程式》)=武『—5恰有三個不同實根的實數2的取值范圍為集合A,

且兩個非零實根為x卜也.試問：是否存在實數，"，使得不等式X2I對任

意te|-3,3],4EA恒成立？若存在，求，"的取值范圍；若不存在，請說明理由.

16.某工廠有一個容量為300噸的水塔，每天從早上6時起到晚上10時止供應該廠的生產

和生活用水，已知該廠生活用水為每小時10噸，工業用水量W(噸)與時間r(小時，且

規定早上6時f=0)的函數關系為W=100水塔的進水量分為10級，第一級每小時進

水10噸，以后每提高一級，每小時進水量就增加10噸.若某天水塔原有水100噸，在開始

供水的同時打開進水管，間進水量選擇為第幾級時，既能保證該廠的用水(水塔中水不空)

又不會使水溢出？

17.已知等差數列｛4｝的首項為a,公差為/,；等比數列｛"｝的首項為6,公比為a,其中

a,匕eN+,且為<仇<a2<%%.

(I)求a的值；

(II)若對于任意“eN*,總存在機eN”,使。“,+3=2，求6的值；

(HI)甲說：一定存在。使得2冊>“2對〃eN*恒成立；乙說：?定存在。使得2"”<"2對

〃eN*恒成立.你認為他們的說法是否正確？為什么？

10?(I)解：；㈱+g(x)=l0t①，；.1/(一x)+g(-x)=103為奇函數，g(x)為偶函

數.?小-x)=-_/W，g(—x)=g(x),/W+g(X)=l()r②，由①，②解得加)=；(1O'一擊)，

g(x)=^(10'+-^j).

(II)由y=T(10'一由)得，(10v)2-2yl0'-l=0,解得10工=)，±正百，

V10v>0,110'=/+1y+1,X=1的，+>/+1),.Mx)的反函數為尸(x)=[g(x+4？率I).x

eR.

(ni)解法一：g(xD+g3)=|(ioV|++)+/10"+七)=；(io'1+1

乙1U41U/乙1U1U

IX|十七.

*2410"X10,舊X2、*X^=102+y^=2g("與.

"102

Xi+.門

V2-102

解法二：fe(xi)+^(x2)]-2g(^-Y^)=^(10"+TZT)+1(10+i)(+-JrD

乙乙1U410

10

X|十s

(10''+4+1)(10"+10")10"+”+1(10v'+4+1)(10"+10*)—2?(10"+>+1)102

2-10>,+%2J。中2/0*+*

.+*2

(10''+為+1)[10"+104-2-102]>([0$+的+])[2410''義104—270、]0

2.10&+8?2-10',+JCZ'

(IV)汽修一X2)=_/(Xl)g(X2)—g(Xl次X2),g(Xl+x2)=g(Xl)g(X2)―/(4才(孫).

命題意圖：考查函數的函數解析式，奇函數，單調性，反函數等常規問題的處理方法，第(ni)

問，第(IV)間把函數與不等式的證明，函數與指對式的化簡變形結合起來，考查學生綜合

應用知識的能力.

11.解法一：VF(一\[2,0),/：X——2\[2,離心率e=；.

(1)當AB垂直x軸時，4(一也，1),B(一啦，-1)....148=2,又此時線段AB的垂直平

分線與直線/的交點為P(—26，0),P,A,B不構成等邊三角形，不合題意.

22

(2)當A8不垂直x軸時，設A8的方程為曠=攵。+也)(k#0),代入，+5=1得，(1+2戶)￥

2,

+4*\「4x+4(k?—1)=0,且兩+12=—?V^7Z-丁座2=[?.j),設48中點為M,

1I乙K1I乙K

則M(一番手罌前線段A8的垂直平分線方程為y-^%=-：(x+需5),此直線

1I/K1I/K1I乙KK1I/K

與I的交點為尸，則P的坐標為(一2啦，普裳*+y3等)，

1+（—S2kM—Xpl=2/（1+好）

（或

W/PI=1+2爐

啦4&爐4(1+爐)

而L48I=（exi+2）+（紈2+2）=+苫2)+4=乎*(-七)+4=年聲.

△ABP為等邊三角形=￥l4BI=IMPI,

碌船A嗯閃至譽5可解得2士叵

所以直線4B的方程為y=±啦(x+也).

解法二：：如圖，（一6，0）,/：x=-2<2,離心率e=乎.設過點尸的弦AB的中點為

M,分別過A,B,M向準線/作垂線，垂足分別為A”Bi，必，則+

__

=5（-----+-----）=~f=\AB\f又因為為等邊二角形u>IPMI==-L48l,所以大7荷=七，

2.ee2\MP\3

即cos/PMM]=乎，

sinZPA/Mi=^~，tamNPMM]=乎，

.\[2

又kPM=±tamZPM[M]=±2

9**AB1-PM,?*?=~

KpM

又48過點尸（一也，0）,所以48的方程為），=±也。+也）.

命題意圖：考查圓錐曲線的基本幾何量的求法，如焦點、準線、離心率等.考查直線與圓錐

曲線的基本問題的研究方法，如弦長計算、弦中點坐標求法等.考查圓錐曲線的定義的靈活

應用.

12.（I）解:設Mx。，yo）f（x0>0）,則直線ON方程為y=嗎，與直線x=-p交于點M（一

41+0篇一（一P?4。。+9+%2

化簡得（P?—l）X（）2+p2y（J=p2—[.

把跖見換成x,y得點N的軌跡方程為面一l）/+p2），=p2—1.（x>0）

2

（1）當0Vp<l時，方程化為x?一冒『=1表示焦點在x軸上的雙曲線的右支;

（2）當p=l時，方程化為y=0,表示一條射線（不含端點）；

2

（3）當P>1時，方程化為工2+土7=1表示焦點在X軸上的橢圓的右半部分.

P一1

2

P

（H）解：由（1）可知L4NI=d（沏+》2+%2=4（Xo+；）2+1—'—（1—'）刖2

=[*+i。+1=%。+1?

當OVpVl時，因XoG[l,+8）,故1AM無最大值，不合題意.

當p=l,因x（）G（0,+8）,故L4NI無最大值，不合題意.

113

當p>l時，xoG（O,1],故當刈=1時，IANI有最大值/+1,由題意得j+lW菱，

解得p22.所以0的取值范圍為[2,+8）.

命題意圖：通過用設點，代換，化簡，檢驗等步驟求曲線方程，考查解析幾何中已知曲線求

方程的能力，并結合含參數的方程表示的曲線類型的討論考查學生的分類討論思想的應用.

22

13.解：（I）由條件得尸（2,0）,/：x=-2.設所求雙曲線方程為，一^7=l（a>0,i>>0）,

X'+X2=^3'

②不妨設M,N的坐標分別為（X”力）,（X2，丫2），由上面可得

XiX2=k2-y

由MB=45N得(―R，1—yi)=4(M，力-D，=>X\=—Ax2.

設存在點C（z,r）,則CA/TCN>=3—3月一/）一“小一心力一。=（即一芥2+葭丸—1），y\

一辦為+從幾—1）），又。8=（0，1），從而由。3，（CM一義CN）得>1一加2+，（義一1）=0,

因直線機的斜率不為零，故4W1.

所以解得f=445+1-45+1)X]一泰2

=1+%

1-Z1—A1—2

Zt]X2

因為2=—"，代入得r=l+k=1+。

*2Xl+%2)

X2

\,-2A-

知+m=正三，

因為J4代入得，=一3,即存在點C（-3,-3）,滿足要求.

"=一?

命題意圖：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的

位置關系處理，考查學生的運算能力.通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題

的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想.

=

14.解：*?Q\=1由S2+S]=S8+2,得。2=t(Af02。(舍)或“2=7,

S〃+S“-]=f￡+2①|+5〃-2=柩〃-1+2(〃23)②

①一②得。〃+〃“_[=，(ai-an-])(〃N3),(即+即-i)[1—/(〃”一斯-1)]=0,

由數列｛斯｝為正項數列，〃-1#),故一。〃-1=7(〃23),

即數列｛斯｝從第二項開始是公差為:的等差數列.

[1〃=1

2222]_?

(2)

：4=1<2,當"e2時，北=/+8+聶+聶+…+^^=r+『(i—/^+t-

要使。<2,對所有的〃GN*恒成立，只要7；=r+f2T<什*W2成立，.?.()<￡1.

命題意圖:考查數列前"項和與數列通項公式的關系、等差數列、裂項求和法等。

15.(I)解：?函數/(x)=x4+ax3+6x2+c,在y軸上的截距為一5,；.c=-5.

?.?函數1Ax)在區間[0,1]上單調遞增,在[1,2]上單調遞減，

；.x=l時取得極大值，又當x=0,x=2時函數式的取得極小值.

.'.x=0,x=\,x=2為函數?x)的三個極值點，

即/'(x)=0的三個根為0,1,2,：.f\x)=4?+3ax2+=4x(x-1)(x-2))=4x3-12x2+.

：.a=~4,b=4,二函數Ax)的解析式：X^)=^4-4?+4X2-5.

(II)解：若函數"r)存在垂直于x軸的對稱軸，設對稱軸方程為x=t,

則f(t+x)=/(Lx)對xeR恒成立.

即：。+X)4-4(/+X)3+4(/+X)2-5=(/-X)4-4(/-X)3+4(/-X)2-5.

化簡得。-l)x3+(?-3t2+2r)x=0對xeR恒成立.

.p-l=0,._

,,鋁_3『+2/=0.‘'=L

即函數Kv)存在垂直于x軸的對稱軸x=l.

(Ill)解：x‘一4.1+4/—5恰好有三個不同的根，

即十一4d+4?—片產=0恰好有三個不同的根，

即f(X2—4x+4—X2)=0,,.?尤=0是—個根,

/.方程f—4x+4一爐=0應有兩個非零的不相等的實數根，

...△=16—4(4—九，=4入2>0,且尤因=4—/I2#。，；.4#0,—2,2.

若存在實數小，使得不等式〃J+m?+2Wk|-X2I對任意fG[-3,3]/GA恒成立.

：H—X2I="\](Xi+?)2—4X]X2=2I力>0,

要使加②+行j+2Wki一孫1對任意t&[-3,3|,zGA恒成立，

只要蘇+sm+2W0對任意fG[-3,3]恒成立，

令+m2+2,則g⑺是關于t的線性函數.

?只要卜(一3)&°,解得

望lg⑶W0.解『―2W〃W—L

?二不存在實數m,使得不等式加之+加+2口的一也1對任意.[-3,3],2^A恒成立.

命題意圖：考查多項式的導數、函數的圖象性質、二次方程根的判斷，等價轉換、化歸思想

等數學思想方法。

16.解：設進水量選第x級，貝山小時后水塔中水的剩余量為:

y=100+10w—10r-10()VF,且0W/W16.

根據題意0<yW300,/.0<100+10xr-10/-100V/<300.

當f=0時，結論成立.

由左邊得x>l+10（」-1

當心0時,)

班7

人1V4

令”,由0<rW16>m2---，

4

j|Al4-

記用)=1+10(.——)=1+\0m2—10/77\(m2---),

獷t4

2

則f(0=20/7/—30陽2=0得加=0或機=§.

V422

???當彳V一時，/⑺>0；當機>一時，/(/)<0,

,所以時(此時r=WL),最大值=1+10(-)2-io(-)3=—-2.4以

383327

2711

當片一時，1+10(-^-一)有最大值2.48.Ax>2.48,即x23.

8獷t

由右邊得xW---1--j=+1,

t師

當f=16時，型+JL+1有最小值型+，2=+1=2+速e（3,4）.即xW3.

t肝16詬44

綜合上述，進水量應選為第3級.

命題意圖：本題考查數學建模的基本思想，怎么樣把實際問題轉化為數學問題，進而用已有

的數學知識求這個數學問題的解。水塔中的水不空又不會使水溢出等到價于進出水量的平

衡，進水量與選擇的進水級別與進水時間相關，出水量有生活用水與工業用水兩部分構成,

故水塔中水的存量是一個關于進水級別與用水時間的函數,而容量為300噸的水塔就構成一

個不等式，解之得問題的解。

17.解：（I）*/a<h<a-\-h<a<ba+2b,a,bwN琛,

b1

a>-----，a>1+------,

a+b<ab

b-\?h-\

*<

ah<a+2b.2bc2

a<-----.a<2+------

b-\b-\

:.<?。=2或。=3.

a<4

:當a=3時，由出?<〃+2b得力<a,即々<外,與〃]<々矛盾，故〃=3不合題意.

，〃=3舍去，.\a=2.

(II)對“=2+(加一1迫，4=>2"T,由冊+3="可得5+(〃?-1)8=6?2"T.

b(2n~l-+1)=5.b是5的約數,Xb>3,/.b—5.

(Ill)若甲正確,則存在6(/?23)使22+("-皿>/.22"-2,即22+5732)>〃對〃N*恒

成立，

當”=1時，22>b2,無解，所以甲所說不正確.

若乙正確,則存在b(623)使22+5f”</.22"-2,即22+5TQ2)<〃對〃eN*恒成立,

當〃=2時-，2h<b2,只有在8=3時成立，

而當〃=3時2’<3?不成立，所以乙所說也不成立.

命題意圖：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的

處理問題，用兩邊夾的方法確定整數參數.第IH小題對數學思維的要求比較高，要求學生理

解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性.

3(江蘇省南京師范大學附屬中學)

16.已知函數yCOTY—ax—waeR,/,#。)，給出以下三個條件：

(1)存在/eR,使得/(-x0)牛/(x0)；

(2)/(3)=/(0)成立；

(3)/(x)在區間[-凡+8)上是增函數.

若/(x)同時滿足條件和(填入兩個條件的編號)，則/(x)的一個可能的解

析式為f(x)—.

答案：滿足條件⑴⑵時,>=卜2—3x+l|等；滿足條件(1)(3)時,y=,+2x+l|等；滿足條

件⑵(3)時,丁=卜2+3了一9|等.

4(山西省實驗中學)

11.已知二面角口一/一尸的平面角為a(aw(O,乃)),PA_La,PBJ.夕,A,8為垂足，設

PA=4,

PB=5,設4、B到棱/的距離分別為x,y,當。變化時，點(x,y)的軌跡是下列圖形中

的D)

12.如圖，OM〃48,點P在由射線。M,線段08及4B的延長線圍成的陰影區域內(不含

邊界)，且0尸=8。4+)，。5,則實數對(x,y)可以是(

￡322

A.B.

4'4353M

1_7_L2

C.D.

53454

16.如圖，對于函數圖象上

任意兩點4(。,a2),B(b,b?),設點C分A3

的比為；1(4>0),則由圖象上點C在點C'

2

2

上方，可得不等式.>a+Ab

1+幾1+2

請分析函數y=lgx(x>0)的圖象，類比上

述不等式可得__________

lga+21gZ?。+勸

16.—F+I—<81+2

22.(14分)正項數列｛%｝滿足q=1,na^+(n-l)anan_t-a^_t=0(n>2)

(1)求明;

(2)試確定一個正整數N,使當心N時，不等式6+%+2%+3%+…+>—

I/J4'7II121

成立；

(3)求證：lid--I<1+6Z]+。2+…+。”.

1■><>dCl

22.解：(1)na；+(〃—i)cincin_^—=0n(n---1)(--—F1)=0

%%

,,a?1,11

又???61>0,%〉0,故---=一,為=1,e=-=—

n22!

111

4分

〃3=-3!，〃4=一4!~n\

k-\11〃、c、

(2)由(攵—----=----------(kN2)

k\(I)!k\

…+2%+3%+…+("”=l+,f)+…-f=2.

“h士c1241

從而有2——>——,

n\121

-<上,即”!>121,5!=120,6!=720

〃！121

.?.〃>5取汽=5,〃〉初^,原不等式成立.......9分

rrnr+1

(3)將(1+3"展開，rr+1=c?(-)=?.￡zl.ZLz2...-.l<l

nnnnnnr!r!

r=0,1,2,???,/!

(1+—)<-+-=—+—+???+—=l+?,+&+…+a“14分

n0!1!2!3!〃！12"

5(山東省青島市)

21.(本小題滿分12分)

對于函數f(x)-ax3+hx2-3x,

(1)若/(x)在x=l和x=3處取得極值，且/(x)的圖象上每一點的切線的斜率均不超

過2sinfcost-Zj^cos?f+Ji,試求實數t的取值范圍;

(2)若/(x)為實數集R上的單調函數，且aN-1,設點P的坐標為(b,a),試求出

點P的軌跡所形成的圓形的面積S。

22.(本不題滿分14分)

已知定點A(-2,0),魂8是圓尸：(x-2)2+丁=64(尸為圓心)上一點,

線段AB的垂直平分線交BF于P。

(1)求動點P的軌跡方程;

(2)直線yjlr+l交P點的軌跡于M,N兩點,若P點的軌跡上存在點C,使

而+加求實數機的值；

—"—*16

(3)是否存在過點E(0,-4)的直線1交P點的軌跡于點R,7,且滿足OROR=—

7

(。為原點)，若存在，求直線/的方程，若不存在，請說明理由。

21.解：(1)n/'(x)=3ax2+2bx—3,因為/(x)在x=l和x=3處取得極值，

所以x=I和x=3是/'(X)的兩個根，

1x3=---b=2

、3a

.-./'(X)=-X2+4X-3....................3分

因為f(x)的圖象上每一點的切線的斜率均不超過2sinrcos/-26cos2，+JL所

/(x)<2sinfcosf-2A/3cos21+百恒成立，

而/(x)=-(x-2)2+1,其最大值為1,故2sinfcos『—ZV^cos?r+V3>1

TTTT7T

=>2sin(2/---)NlnZ/rd——<t<ICTT+——,keZ................6分

3412

(2)當a=0時，由f(x)在R上單調，知b=0................7分

當aWO時，

由f(x)在R上單調Of'(x)20恒成立，或者恒成立

f(x)=3ax2+2bx-3

由判別式A=4b2+36a<0可得a<--b2......10分

9

從而知滿足條件的點P(b,a)在直角坐標平面bOa上形成的軌跡所圍成的圖形是由曲

線y=-[x2與直線>=一1所圍成的封閉圖形，其面積為

S=￡(1--X2)JX=4.........................12分

22.解：(1)由題意：21PAl=IPBI且IPBI+IPFI=r=8

.,.IPAI+IPFI=8>IAFI

；.P點軌跡為以A、F為焦點的橢圓....................2分

設方程為二+5=1（。＞匕〉0）

ab-

la=8,a=4,a2—b~~c2-2~—4

:.b2=12

22

：.尸點軌跡方程為二+二=1...........4分

1612

（2）設例（X],y]）N（X2，y2）C（Xo，yo）：OM+0N-mOC

???（占+*2，⑦+為）=加。0，打）

.丫一的+々、，J+乃

??汽0_，＞0_

mm

y=V3x+1

由＜丫22，得：15》2+8底-44=0

—+^v-=1

11612

873

???Xj+x2=---,

分

%+為=+x2）+2=—6

8732

「?x=—Jo=丁

015m5m

?.?c在橢圓《+片=1上,

1612

64x34

,--------------------------1-----------------------

16x255m212x25小

8分

1515

（3）假設存在滿足題意的直線/,其斜率存在，設為k,設/?（西，弘）,732，為）

——16

OROT^—

7

16

再看十月乃=萬

y=kx-4

由，x?產得(3+4%2)、2—32匕+16=0

---1---=1

〔1612

1632k

X]?x,x,+x-

23+4公23+4公

2

必?>2=(鋪一4)(履2-4)=kxtx2-4A(X]+x2)+16...11分

1616k2128人216

/々H?必=-----7+16=—

3+4女23+4423+4k27

:.k2=1攵=±1代入?A>0

左=±1,

???/的方程為y=±x—4

/.存在/x+y+4=。或尤一y-4=0滿足題意......14分

6(江蘇省東臺市)

20.(本題16分.第⑴題6分,第⑵題10分)

已知sin(2a+P)=3sinB.設tana=x>tanB=y,記y=f(x).

⑴求①f(x)的表達式，②[f⑴+f⑵+???+€*(n)]+Ef(-2)+f(-3)+--+f(-n)]的值.

⑵定義函數g(X)=(1+2x2)[x2_〃x+(02—l)]f(X)在(-00,0)和(1,+00)上都是增函數.

求。的取值范圍.

21.(本題15分.第⑴題5分,第⑵題10分)

q,4，…，。20是首項為1，公比為2的等比數列.對于滿足0<kW20的整數k,數列

a,,+k

伉，①，…,h20由或=['2°一％)，確定記c=為也?求：

122。，，儲…。(20-火<〃420)白…

⑴k=l時,C的值(保留基的形式)；

(2)C最小時,k的值.

20

(注：工見也,=%瓦+a2b2+-+a2()b20)

71=1

1

20.簡解與答案：(I)①f(x)=-LY^,②由f(x)是奇函數可求得值為一.

1+2/3

(II)求得g(x)=x3-ax2+(a2-l)x.Mgf(x)=3x2-2ax+(a?-i),其△=12-8n2.

(1)A=0得:。二土半，這時g'(x)在(-oo,+8)上非負,g(x)在(-8,+oo)上為增函數.，a-

±⑵當△VO時，恒有g’(x)>0,g(x)在(-8,+00)上為增函數.，Q￡(-8,-等)

U(乎，+8)；⑶當A>o時,得-乎<亭，令g'(x)=0,解得X|=aJ；2a2

/c2

X2=――；2〃.當x￡(-00,X])或xe(X2,+8)時，g'(X)>0,g(x)為增函數.由題設

V6

知Xj20且x?<1.這樣可得V

2

綜上所述，。的取值范圍為:—00,—U[l,+co).

21.簡解：⑴可求得a“=2"T(lWn<20),k=l時，2=

q(〃=20).

/720_1A720

22"------，當且僅當丁=2人時，即22*=22°,1<=10時,(：最小.

I3)2k

7(2007屆天津市六校模擬考試)

20.(本題滿分12分)

(理)已知函數/i(x)=+ax2+l,g(x)=61nx+m

(I)若y=/i(x)在(L+00)單調遞減，求Q的取值范圍。

(H)當。=4時，設〃x)=//(x),是否存在實數機，使得y=/(x)的圖象與y=g(x)

的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出機的取值范圍；若不存在，說明理由.

20.(1)hr(x)=-x2+2ax=