第三章課后練習(xí)答案

1.解：如果被解釋變量(因變量)y與k個(gè)解釋變量(自變量)斗,々，…，毛之間有線性相關(guān)關(guān)系，那

么它們之間的多元線性總體回歸模型可以表示為

x

y=-0+夕內(nèi)+夕2尤2+…+Pkk+?

其中，凡，川,4,…是k+1個(gè)未知參數(shù)，又稱為回歸系數(shù)；，，是隨機(jī)誤差項(xiàng)。

2.解：多元線性回歸模型的基本有：

(1)隨機(jī)誤差項(xiàng)％.的條件期望值為零。即￡?，2,，…41=°，(i=l，2,.

(2)隨機(jī)誤差項(xiàng)％的條件方差相同。即區(qū)”出,…，/he：,(i=l,2,….

(3)隨機(jī)誤差項(xiàng)與之間無序列相關(guān)。即。。可％.,勺)=0,(。_/=1,2,--,〃"*_/).

(4)自變量為與隨機(jī)誤差項(xiàng)％獨(dú)立。即。。丫(〃“為)=0,(，=1,2「-,〃;/=1,2「、女).

(5)隨機(jī)誤差項(xiàng)％服從正態(tài)分布。即外?N(0,cr“2).

(6)各解釋變量之間不存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系。即rank(X)=Z+1<〃，也就是說矩陣X的秩等于參

數(shù)個(gè)數(shù),換句話說就是自變量之間不存在多重共線性.

Z/>,(〉［-%)2

22i=

3.解：bj的無偏估計(jì)量的計(jì)算公式為：au=Se=''=^———

n-k-\n-k-\

4.解:如果一個(gè)樣本回歸方程的樣本決定系數(shù)為0.98,我們不能判定這個(gè)樣本回歸方程就很理想.因?yàn)閷?/p>

于多元模型而言,樣本決定系數(shù)接近1,只能說明模型的擬合度很高，總體線性性顯著,但模型中每個(gè)解釋變

量是否是顯著的無法判定,所以還需要進(jìn)行單個(gè)解釋變量的顯著性檢驗(yàn),即t檢驗(yàn).

5.解：根據(jù)例3.1數(shù)據(jù)，得到OLS的正規(guī)方程組：

'A'

219.9=12^+312.4^+629.24^-29.48"

?7114.19=312.4/。+10346.262+16816.8?2求解得到：B=及=0.597

11810.51=629.24^0+16816.8^,+33090.37A_A_0.665

所以樣本回歸方程為：y=-29.48+0.497%I+0.665x2

6.解：(1)利用0LS對數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸得到回歸方程如下:

1=879950.3+0.206/+16.223x2

t=(15.657)(0.072)(1.021)

R2=0.9431=57.953

(2)由上述檢驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出方程總體線性性顯著，單單個(gè)解釋變量并不顯著。

(3)因?yàn)榉匠虜M合程度較高，總體線性性顯著，所以模型可以用來進(jìn)行預(yù)測：

當(dāng)工業(yè)產(chǎn)量達(dá)到130000億元，農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值達(dá)到25000億元時(shí)，貨運(yùn)量能達(dá)到：

y,.=879950.3+0.206x130000+16.223x25000=1312305(萬噸)

7.解：案例的方差分解結(jié)果所缺數(shù)據(jù)如下:

AN0VA

Model1SumofSquaresdfMeanSquareFSig.

Regression42555.46176079.3524.785.002

Residual29221.490231270.502

Total71776.95130

8.解：從該案例的分析數(shù)據(jù)來看，結(jié)果不滿意。因?yàn)榈珡哪Ｐ偷臄M合優(yōu)度(R2=0.8528)和總體線性顯著

性(F=l1.5874,F-statistic=0.0066)來看，結(jié)果還令人滿意，但具體到每個(gè)解釋變量的顯著性時(shí)，可以看

到xl(t=0.5788,P=0.5838)和x3(t=-1.4236,P=0.1978)甚至都無法通過a=l5%的顯著性檢驗(yàn),所以這

兩個(gè)解釋變量顯然不顯著。

第四章課后練習(xí)答案

1.解：古典線性回歸模型的一個(gè)很重要的假定是隨機(jī)項(xiàng)的同方差性，即對于每個(gè)毛，“，的方差都是同一

個(gè)常數(shù)，當(dāng)此假定不能滿足時(shí)，則對的方差在不同次的觀測中不再是一個(gè)常數(shù)，而是取得不同的數(shù)值，即

|xj=er；W常數(shù)(i=l,2,…，〃)

則稱隨機(jī)項(xiàng)《具有異方差性(Heteroscedasticity)?

例如，考慮家庭的可支配收入和儲蓄的關(guān)系，如建立如下模型

其中，又為第i個(gè)家庭的儲蓄，士為第i個(gè)家庭的收入。從二者的關(guān)系不難看出，當(dāng)收入增加時(shí)，儲蓄平

均也會隨之增加。如果我們對不同收入水平家庭的儲蓄進(jìn)行觀察，同樣也會發(fā)現(xiàn)，低收入的家庭儲蓄差異

性較小，而高收入的家庭儲蓄的差異性較大。這是因?yàn)榈褪杖氲募彝ィ涫杖胫锌鄢匾纳钪С鲆酝?

用于其他支出和儲蓄的部分也較少，因此隨機(jī)項(xiàng)波動的程度小，即方差小；而高收入家庭，其收入中扣除

必要的生活支出以外，剩余的就較多，就有更大的使用選擇余地，這樣儲蓄的差異就較大，因而隨機(jī)項(xiàng)波

動的程度就大，即方差大。因此，對于家庭儲蓄模型，隨機(jī)項(xiàng)均具有異方差性。

2.解：模型(1)無法使用0LS進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，因?yàn)殡S機(jī)誤差項(xiàng)%=△%：+匕，即隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量的

平方之間有著顯著地相關(guān)關(guān)系，這樣會造成隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差現(xiàn)象，所以0LS不可以使用。

3.解：

yX樣本是否存在異方差

(a)公司利潤凈財(cái)富《財(cái)富》前500強(qiáng)存在

(b)嬰兒死亡率人均收入100個(gè)發(fā)達(dá)國家和發(fā)展中國家不存在

(c)通貨膨脹率貨幣增長率美國、加拿大和15個(gè)拉美國家不存在

(d)收入水平年齡1000名經(jīng)濟(jì)學(xué)家存在：

(e)差錯(cuò)率上機(jī)時(shí)間200名電腦初學(xué)者存在

4.解：對某沿海地區(qū)家庭每年生活開支和每年收入進(jìn)行抽樣研究，調(diào)查了20個(gè)家庭，其中每五個(gè)家庭收

入相同，共分作四組，數(shù)據(jù)列表如下:

組家庭生活開支(千元)家庭收入(千元)

11.82222.15

233.23.53.53.610

34.24.24.55.8515

44.855.766.220

家庭生活開支模型設(shè)定為

%=鳳+川玉+%

式中：％表示家庭生活開支，王表示家庭收入

⑴利用OLS求回歸方程:y,.=0.89+0.2412天。

⑵做散點(diǎn)圖，觀察家庭生活開支離差量的變化情況。

散點(diǎn)圖

由圖形可以看出隨著收入的增加，家庭生活開支的波動幅度逐漸增大。

⑶把數(shù)據(jù)分作兩個(gè)子樣本，第一子樣本包括收入為5000元與10000元的家庭，即低收入家庭。第二個(gè)子

樣本包括收入為15000元和20000元的家庭，即高收入的家庭。進(jìn)行Goldfeld—Q“andt檢驗(yàn)。

⑷設(shè)點(diǎn)?〃,)=女2年，其中42為一非零常數(shù)，變換原模型求回歸方程。

5.解：在古典假設(shè)下，線性回歸模型中參數(shù)的最小二乘估計(jì)量具有線性、無偏和有效性。其中，有效性不

僅依賴于古典假設(shè)中關(guān)于隨機(jī)項(xiàng)的同方差假定，還依賴與隨機(jī)項(xiàng)不存在序列自相關(guān)假定，即

Co心“町)=0gj=1,2,???,?)

這表明隨機(jī)項(xiàng)〃在不同觀測點(diǎn)下取值不相關(guān)。若這個(gè)假定違背，CoV(Ui,Uj)H0,即M在不同觀測點(diǎn)下

的取值相關(guān)聯(lián)，則稱〃存在序列相關(guān)或叫自相關(guān)(Autoregression)?

自相關(guān)產(chǎn)生的原因很多，主要有：

(1)被解釋變量的自相關(guān)，許多經(jīng)濟(jì)變量往往會有自相關(guān)，使用時(shí)間序列數(shù)據(jù)更是如此，其本期值往往

受滯后值的影響。

(2)模型省略了自相關(guān)的解釋變量。在建立回歸模型時(shí)，總是要略去某些次要的解釋變量。如果略去的

解釋變量有一些存在自相關(guān)，它必然在隨機(jī)項(xiàng)中反映出來，從而使隨機(jī)項(xiàng)具有自相關(guān)性。

(3)隨機(jī)項(xiàng)本身存在自相關(guān)。在許多情況下，隨機(jī)因素(如干旱、暴風(fēng)雨、戰(zhàn)爭、地震等)所產(chǎn)生的影

響，常常持續(xù)好長時(shí)間。

(4)回歸模型的數(shù)學(xué)形式不正確。若回歸模型所采用的數(shù)學(xué)形式與所研究問題的真實(shí)關(guān)系不一致，隨機(jī)

項(xiàng)就可能存在自相關(guān)。

(5)經(jīng)濟(jì)變量的慣性作用。大多數(shù)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都有一個(gè)明顯的特點(diǎn)，就是他們的慣性。由于經(jīng)濟(jì)變

量的慣性，使得許多經(jīng)濟(jì)變量前后期總是相互關(guān)聯(lián)的。

自相關(guān)產(chǎn)生的后果，如果模型中的隨機(jī)項(xiàng)存在自相關(guān)，仍然采用普通最小二乘法，會有以下后果：

(1)最小二乘估計(jì)量仍然是線性的和無偏的，但不具有最小方差性，即不是最優(yōu)的。

(2)最小二乘估計(jì)量的方差估計(jì)是有偏的，用來估計(jì)隨機(jī)項(xiàng)的方差和回歸參數(shù)的方差公式會嚴(yán)重低估真

實(shí)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，導(dǎo)致f值偏大，使得某些參數(shù)顯著不為零，即高估了部分參數(shù)的顯著性。

(3)因變量的預(yù)測精度降低。

6.利用以下給定的d統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行序列相關(guān)檢驗(yàn)。(k=自變量數(shù)目，〃=樣本容量)

(1)d=0.81,k=3,n=21,顯著性水平a=5%：DL=1.03,Du=1.67,因?yàn)?=0.81<DL,所以存在一

階正自相關(guān)。

(2)d=3.48,k=2,〃=15,顯著性水平a=5%：DL=0.95,Du=1.54,因?yàn)閐=3.48>4-DL,所以存在

一階負(fù)自相關(guān)。

(3)d=1.56,k=5,n=30,顯著性水平a=5%：DL=1.07,Du=1.83,因?yàn)镈'd=1.56<Du,所以無

法判斷。

(4)J=2.64,k=4,〃=35,顯著性水平a=5%：DL=1.22,Du=1.73,因?yàn)?4-Du)<d=2.64<(4-DL),

所以無法判斷。

(5)d=1.75,k=l,n=45,顯著性水平a=5%：DL=1.48,Du=1.57,因?yàn)镈(j=1.75<(4-Du),所

以不存在自相關(guān)。

(6)J=0.91,k=2,〃=28,顯著性水平a=5%：0^1.26,0^1.56,因?yàn)閐=0.9l<DL,所以存在一

階正自相關(guān)。

(7)4=1.03,k=5,n=26,顯著性水平a=5%：DL=0.98,D^l.88,因?yàn)镈^d=1.03<Du,所以無

法判斷。

7.解：⑴用。LS估計(jì)％關(guān)于玉的回歸方程為：y,=-0.879+0.173x,

⑵用O—W檢驗(yàn)分析隨機(jī)項(xiàng)的一階自相關(guān)性：因?yàn)镈W=1.662,DL=1.20,DU=1.41,DU<DW<(4-DU),

所以不存在自相關(guān)。

⑶用Durbin兩步法估計(jì)回歸模型的參數(shù)：

⑷直接用差分法估計(jì)回歸模型參數(shù)。

8.解：古典線性回歸模型的假定之一是，模型中包含的解釋變量的觀測值矩陣X(包括常數(shù)項(xiàng))其秩等

于模型中解釋變量的個(gè)數(shù)加1，即泳(X)=A+1,此時(shí)就稱解釋變量X,(j=l,2,…，“)之間不存在

多重共線性。但如果狄(X)〈攵+1,說明觀測值矩陣X是降秩的，即矩陣X的列向量存在某種線性相關(guān)

關(guān)系，也就是解釋變量之間存在某種線性相關(guān)，稱為存在多重共線性(Multicollinearity)。

多重共線性存在的原因主要是經(jīng)濟(jì)活動經(jīng)濟(jì)變量之間復(fù)雜的相互聯(lián)系。另外在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究中，

將某些解釋變量的滯后值作為單獨(dú)的新解釋變量包含在模型中，已得到廣泛的應(yīng)用。這樣由于解釋變量的

前后期數(shù)值相關(guān)使得產(chǎn)生多重共線性。

后果：多元線性回歸模型中如果存在完全的多重共線性（CompleteMulticollinearity,或Exact

Multicollinearity）則參數(shù)的最小二乘估計(jì)量是不確定的，其標(biāo)準(zhǔn)差為無窮大；如果存在接近的多重共

線性（NearMulticollinearity）,則參數(shù)的最小二乘估計(jì)量是確定的，而且具有無偏性，但其方差較大，

常產(chǎn)生以下結(jié)果：（1）參數(shù)估計(jì)值不精確，也不穩(wěn)定，樣本觀測值稍有變動，增加或減少解釋變量等都

會使參數(shù)估計(jì)值發(fā)生較大變化，甚至出現(xiàn)符號錯(cuò)誤，從而不能正確反映解釋變量對因變量的影響。（2）

參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差較大，使參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)增加了接受零假設(shè)的可能，從而舍去對因變量有顯著影響

的解釋變量。（3）難以區(qū)分每個(gè)解釋變量的單獨(dú)影響。計(jì)量經(jīng)濟(jì)研究中經(jīng)常需要利用回歸系數(shù)定量分析

各個(gè)解釋變量對因變量的單獨(dú)影響程度。而在多重共線性的情況下，解釋變量的相關(guān)性將無法“保持其他

變量不變”，從而也難以分離出每個(gè)解釋變量的單獨(dú)影響。

9.解：它們之間不存在多重共線性，這是因?yàn)殡m然/和丁是％的函數(shù)，但它們之間并沒有顯著地線性相

關(guān)關(guān)系。

io.解：（1）將22=54代入原模型得：c=&）+夕1w+5自〃+〃=4）+61（卬+5〃）+〃

（2）可以考慮將相對價(jià)格2引入模型，建立如下模型：。=川+￡江+/2+“

Ps'Ps

11.解：（1）利用SPSS對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸得到以下結(jié)果：

ModelSummary(b)

AdjustedRStd.Errorof

ModelRRSquareSquaretheEstimate

1.990⑻.980.963.23611

aPredictors:(Constant),x4,x3,x2,x1

bDependentVariable:y

ANOVA(b)

Sumof

ModeldfMeanSquareFSig.

Squares

1Regression13.42243.35660.189.000(a)

Residual.2795.056

Total13.7019

aPredictors:(Constant),x4,x3,x2,x1

bDependentVariable:y

Coefficients(a)

UnstandardizedStandardizedCollinearity

ModelCoefficientsCoefficientstSig.Statistics

BStd.ErrorBetaToleranceVIF

1(Constant)3.9141.9522.005.101

x1.060.048.4801.246.268.02736.448

x2.089.037.4072.397.062.1417.074

x3-.013.018-.051-.693.519.7381.356

x4.007.018.123.420.692.04820.948

aDependentVariable:y

山多重共線性的經(jīng)典判斷法可以看出該模型擬合優(yōu)度及總體線性顯著性都非常好，但單個(gè)解釋變量顯

著性卻都不理想，所以模型存在多重共線性。此外從解釋變量的方差擴(kuò)大因子（VIF|=36.448,VIF4=20.948,

二者均遠(yuǎn)大于10）也可以看出解釋變量之間存在多重共線性。

（2）利用SPSS中逐步回歸分析法確定一個(gè)較好的回歸模型如下:

ModelSummary(c)

AdjustedRStd.Errorof

ModelRRSquareSquaretheEstimateDurbin-Watson

1.972(a).945.938.30660

2.988(b).975.968.219952.264

aPredictors:(Constant),x1

bPredictors:(Constant),x1,x2

cDependentVariable:y

ANOVA(c)

SumofMean

ModelSquaresdfSquareFSig.

1Regression12.949112.949137.751.000(a)

Residual.7528.094

Total13.7019

2Regression13.36226.681138.106.000(b)

Residual.3397.048

Total13.7019

aPredictors:(Constant),x1

bPredictors:(Constant),x1,x2

cDependentVariable:y

Coefficients(a)

ModelUnstandardizedStandardized

CollinearityStatistics

CoefficientsCoefficientstSig.

BStd.ErrorBetaToleranceVIF

1(Constant).942.5731.645.139

x1.122.010.97211.737.0001.0001.000

2(Constant)2.323.6263.710.008

x1.082.016.6515.220.001.2274.411

x2.080.027.3652.923.022,2274.411

aDependentVariable:y

通過以上分析可以看出，選取修，數(shù)作為解釋變量就可以很好的消除多